Полиномы Мотта - Mott polynomials

В математике Полиномы Мотта s_п(Икс) - многочлены, введенные Н. Ф. Мотт (1932, п. 442), который применил их к задаче теории электронов. Они задаются экспоненциальной производящей функцией

{ displaystyle e ^ {x ({ sqrt {1-t ^ {2}}} - 1) / t} = sum _ {n} s_ {n} (x) t ^ {n} / n !. }

Поскольку множитель в экспоненте имеет степенной ряд

{ displaystyle { frac {{ sqrt {1-t ^ {2}}} - 1} {t}} = - sum _ {k geq 0} C_ {k} left ({ frac {t } {2}} right) ^ {2k + 1}}

с точки зрения Каталонские числа ${ displaystyle C_ {k}}$ , коэффициент перед ${ displaystyle x ^ {k}}$ полинома можно записать как

{ displaystyle [x ^ {k}] s_ {n} (x) = (- 1) ^ {k} { frac {n!} {k! 2 ^ {n}}} sum _ {n = l_ {1} + l_ {2} + cdots l_ {k}} C _ {(l_ {1} -1) / 2} C _ {(l_ {2} -1) / 2} cdots C _ {(l_ {k } -1) / 2}}

,

по общей формуле для обобщенные полиномы Аппеля, где сумма по всем композиции ${ Displaystyle п = l_ {1} + l_ {2} + cdots l_ {k}}$ из ${ displaystyle n}$ в ${ displaystyle k}$ положительные нечетные целые числа. Пустой продукт появляется для ${ Displaystyle к = п = 0}$ равно 1. Специальные значения, где все участвующие каталонские числа равны 1, являются

{ displaystyle [x ^ {n}] s_ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n}}}.}.

{ Displaystyle [x ^ {n-2}] s_ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n} n (n-1) (n-2)} {2 ^ {n} }}.}

При дифференцировании рекуррентность первой производной становится

{ displaystyle s '(x) = - sum _ {k = 0} ^ { lfloor (n-1) / 2 rfloor} { frac {n!} {(n-1-2k)! 2 ^ {2k + 1}}} C_ {k} s_ {n-1-2k} (x).}

Первые несколько из них (последовательность A137378 в OEIS )

{ Displaystyle s_ {0} (х) = 1;}

{ displaystyle s_ {1} (x) = - { frac {1} {2}} x;}

{ displaystyle s_ {2} (x) = { frac {1} {4}} x ^ {2};}

{ displaystyle s_ {3} (x) = - { frac {3} {4}} x - { frac {1} {8}} x ^ {3};}

{ displaystyle s_ {4} (x) = { frac {3} {2}} x ^ {2} + { frac {1} {16}} x ^ {4};}

{ displaystyle s_ {5} (x) = - { frac {15} {2}} x - { frac {15} {8}} x ^ {3} - { frac {1} {32}} х ^ {5};}

{ displaystyle s_ {6} (x) = { frac {225} {8}} x ^ {2} + { frac {15} {8}} x ^ {4} + { frac {1} { 64}} x ^ {6};}

Полиномы s_п(Икс) образуют связанный Последовательность Шеффера для –2т/ (1 – t²) (Роман 1984, стр.130) .Артур Эрдейи, Вильгельм Магнус, и Фриц Оберхеттингер и др. (1955, п. 251) дают для них явное выражение через обобщенная гипергеометрическая функция ₃F₀:

{ displaystyle s_ {n} (x) = (- x / 2) ^ {n} {} _ {3} F_ {0} (- n, { frac {1-n} {2}}, 1- { frac {n} {2}} ;; - { frac {4} {x ^ {2}}})}

Полиномы Мотта - Mott polynomials

Рекомендации