Эллиптический гипергеометрический ряд - Elliptic hypergeometric series
В математике эллиптический гипергеометрический ряд является рядом Σc п c п c п −1эллиптическая функция из п , аналогично обобщенный гипергеометрический ряд где отношение равно рациональная функция из п , и базовый гипергеометрический ряд где отношение является периодической функцией комплексного числа п . Их представили Датэ-Джимбо-Куниба-Мива-Окадо (1987) и Френкель и Тураев (1997) в своем исследовании эллиптических 6-j символы .
Обзоры эллиптических гипергеометрических рядов см. В Гаспер и Рахман (2004) , Спиридонов (2008) или же Розенгрен (2016) .
Определения В символ q-Pochhammer определяется
( а ; q ) п = ∏ k = 0 п − 1 ( 1 − а q k ) = ( 1 − а ) ( 1 − а q ) ( 1 − а q 2 ) ⋯ ( 1 − а q п − 1 ) . {displaystyle displaystyle (a; q) _ {n} = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1-aq ^ {2}) cdots (1-aq ^ {n-1}).} ( а 1 , а 2 , … , а м ; q ) п = ( а 1 ; q ) п ( а 2 ; q ) п … ( а м ; q ) п . {displaystyle displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ { n} ldots (a_ {m}; q) _ {n}.} Модифицированная тета-функция Якоби с аргументом Икс и ном п определяется
θ ( Икс ; п ) = ( Икс , п / Икс ; п ) ∞ {displaystyle displaystyle heta (x; p) = (x, p / x; p) _ {infty}} θ ( Икс 1 , . . . , Икс м ; п ) = θ ( Икс 1 ; п ) . . . θ ( Икс м ; п ) {displaystyle displaystyle heta (x_ {1}, ..., x_ {m}; p) = heta (x_ {1}; p) ... heta (x_ {m}; p)} Эллиптический сдвинутый факториал определяется как
( а ; q , п ) п = θ ( а ; п ) θ ( а q ; п ) . . . θ ( а q п − 1 ; п ) {displaystyle displaystyle (a; q, p) _ {n} = heta (a; p) heta (aq; p) ... heta (aq ^ {n-1}; p)} ( а 1 , . . . , а м ; q , п ) п = ( а 1 ; q , п ) п ⋯ ( а м ; q , п ) п {displaystyle displaystyle (a_ {1}, ..., a_ {m}; q, p) _ {n} = (a_ {1}; q, p) _ {n} cdots (a_ {m}; q, p) _ {n}} Тета-гипергеометрический ряд р +1E р
р + 1 E р ( а 1 , . . . а р + 1 ; б 1 , . . . , б р ; q , п ; z ) = ∑ п = 0 ∞ ( а 1 , . . . , а р + 1 ; q ; п ) п ( q , б 1 , . . . , б р ; q , п ) п z п {displaystyle displaystyle {} _ {r + 1} E_ {r} (a_ {1}, ... a_ {r + 1}; b_ {1}, ..., b_ {r}; q, p; z ) = сумма _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, ..., a_ {r + 1}; q; p) _ {n}} {(q, b_ {1} , ..., b_ {r}; q, p) _ {n}}} z ^ {n}} Очень хорошо сбалансированный тета-гипергеометрический ряд р +1V р
р + 1 V р ( а 1 ; а 6 , а 7 , . . . а р + 1 ; q , п ; z ) = ∑ п = 0 ∞ θ ( а 1 q 2 п ; п ) θ ( а 1 ; п ) ( а 1 , а 6 , а 7 , . . . , а р + 1 ; q ; п ) п ( q , а 1 q / а 6 , а 1 q / а 7 , . . . , а 1 q / а р + 1 ; q , п ) п ( q z ) п {displaystyle displaystyle {} _ {r + 1} V_ {r} (a_ {1}; a_ {6}, a_ {7}, ... a_ {r + 1}; q, p; z) = сумма _ {n = 0} ^ {infty} {frac {heta (a_ {1} q ^ {2n}; p)} {heta (a_ {1}; p)}} {frac {(a_ {1}, a_ { 6}, a_ {7}, ..., a_ {r + 1}; q; p) _ {n}} {(q, a_ {1} q / a_ {6}, a_ {1} q / a_ {7}, ..., a_ {1} q / a_ {r + 1}; q, p) _ {n}}} (qz) ^ {n}} Двусторонний тета-гипергеометрический ряд р грамм р
р грамм р ( а 1 , . . . а р ; б 1 , . . . , б р ; q , п ; z ) = ∑ п = − ∞ ∞ ( а 1 , . . . , а р ; q ; п ) п ( б 1 , . . . , б р ; q , п ) п z п {displaystyle displaystyle {} _ {r} G_ {r} (a_ {1}, ... a_ {r}; b_ {1}, ..., b_ {r}; q, p; z) = сумма _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, ..., a_ {r}; q; p) _ {n}} {(b_ {1}, ..., b_ { r}; q, p) _ {n}}} z ^ {n}} Определения аддитивных эллиптических гипергеометрических рядов Эллиптические числа определяются как
[ а ; σ , τ ] = θ 1 ( π σ а , е π я τ ) θ 1 ( π σ , е π я τ ) {displaystyle [a; sigma, au] = {frac {heta _ {1} (pi sigma a, e ^ {pi i au})} {heta _ {1} (pi sigma, e ^ {pi i au}) }}} где Тета-функция Якоби определяется
θ 1 ( Икс , q ) = ∑ п = − ∞ ∞ ( − 1 ) п q ( п + 1 / 2 ) 2 е ( 2 п + 1 ) я Икс {displaystyle heta _ {1} (x, q) = sum _ {n = -infty} ^ {infty} (- 1) ^ {n} q ^ {(n + 1/2) ^ {2}} e ^ {(2n + 1) ix}} Аддитивные эллиптические сдвинутые факториалы определяются как
[ а ; σ , τ ] п = [ а ; σ , τ ] [ а + 1 ; σ , τ ] . . . [ а + п − 1 ; σ , τ ] {displaystyle [a; sigma, au] _ {n} = [a; sigma, au] [a + 1; sigma, au] ... [a + n-1; sigma, au]} [ а 1 , . . . , а м ; σ , τ ] = [ а 1 ; σ , τ ] . . . [ а м ; σ , τ ] {displaystyle [a_ {1}, ..., a_ {m}; sigma, au] = [a_ {1}; sigma, au] ... [a_ {m}; sigma, au]} Аддитивный тета-гипергеометрический ряд р +1е р
р + 1 е р ( а 1 , . . . а р + 1 ; б 1 , . . . , б р ; σ , τ ; z ) = ∑ п = 0 ∞ [ а 1 , . . . , а р + 1 ; σ ; τ ] п [ 1 , б 1 , . . . , б р ; σ , τ ] п z п {displaystyle displaystyle {} _ {r + 1} e_ {r} (a_ {1}, ... a_ {r + 1}; b_ {1}, ..., b_ {r}; сигма, au; z ) = сумма _ {n = 0} ^ {infty} {frac {[a_ {1}, ..., a_ {r + 1}; sigma; au] _ {n}} {[1, b_ {1}, ..., b_ {r}; sigma, au] _ {n}}} z ^ {n}} Добавочный очень хорошо сбалансированный тета-гипергеометрический ряд р +1v р
р + 1 v р ( а 1 ; а 6 , . . . а р + 1 ; σ , τ ; z ) = ∑ п = 0 ∞ [ а 1 + 2 п ; σ , τ ] [ а 1 ; σ , τ ] [ а 1 , а 6 , . . . , а р + 1 ; σ , τ ] п [ 1 , 1 + а 1 − а 6 , . . . , 1 + а 1 − а р + 1 ; σ , τ ] п z п {displaystyle displaystyle {} _ {r + 1} v_ {r} (a_ {1}; a_ {6}, ... a_ {r + 1}; sigma, au; z) = сумма _ {n = 0} ^ {infty} {frac {[a_ {1} + 2n; sigma, au]} {[a_ {1}; sigma, au]}} {frac {[a_ {1}, a_ {6}, ... , a_ {r + 1}; sigma, au] _ {n}} {[1,1 + a_ {1} -a_ {6}, ..., 1 + a_ {1} -a_ {r + 1} ; сигма, а.е.] _ {n}}} z ^ {n}} дальнейшее чтение Спиридонов, В. П. (2013). «Аспекты эллиптических гипергеометрических функций». В Берндт, Брюс С. (ред.). Наследие Шринивасы Рамануджана Труды международной конференции, посвященной 125-летию со дня рождения Рамануджана; Университет Дели, 17-22 декабря 2012 г. . Серия конспектов лекций Математического общества Рамануджана. 20 . Математическое общество Рамануджана. С. 347–361. arXiv :1307.2876 Bibcode :2013arXiv1307.2876S . ISBN 9789380416137 Розенгрен, Яльмар (2016). «Эллиптические гипергеометрические функции». arXiv :1608.06161 math.CA ]. Рекомендации Френкель, Игорь Б .; Тураев, Владимир Г. (1997), "Эллиптические решения уравнения Янга-Бакстера и модулярные гипергеометрические функции", Математические семинары Арнольда-Гельфанда ISBN 978-0-8176-3883-2 Г-Н 1429892 Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Базовый гипергеометрический ряд , Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-83357-8 Г-Н 2128719 Спиридонов, В. П. (2002), "Тета-гипергеометрический ряд", Асимптотическая комбинаторика в приложении к математической физике (Санкт-Петербург, 2001). , NATO Sci. Сер. II Math. Phys. Chem., 77 , Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., Pp. 307–327, arXiv :математика / 0303204 Bibcode :2003математика ...... 3204S , Г-Н 2000728 Спиридонов, В. П. (2003), "Тета-гипергеометрические интегралы", Российская Академия Наук. Алгебра и анализ , 15 (6): 161–215, arXiv :математика / 0303205 Дои :10.1090 / S1061-0022-04-00839-8 , Г-Н 2044635 Спиридонов, В. П. (2008), "Очерки теории эллиптических гипергеометрических функций", Российская Академия Наук. Московское математическое общество. Успехи математических наук. , 63 (3): 3–72, arXiv :0805.3135 Bibcode :2008RuMaS..63..405S , Дои :10.1070 / RM2008v063n03ABEH004533 , Г-Н 2479997 Варнаар, С. Оле (2002), "Формулы суммирования и преобразования для эллиптических гипергеометрических рядов", Конструктивная аппроксимация. Международный журнал приближений и расширений , 18 (4): 479–502, arXiv :математика / 0001006 Дои :10.1007 / s00365-002-0501-6 , Г-Н 1920282
![[a; sigma, au] = {frac {heta _ {1} (pi sigma a, e ^ {{pi i au}})} {heta _ {1} (pi sigma, e ^ {{pi i au}) })}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d8d0bb1b97924ff5cb8dcb7862b623aa311ce)
![[a; sigma, au] _ {n} = [a; sigma, au] [a + 1; sigma, au] ... [a + n-1; sigma, au]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2da38081b9cc727134b56777757ea212d8d0ca)
![[a_ {1}, ..., a_ {m}; sigma, au] = [a_ {1}; sigma, au] ... [a_ {m}; sigma, au]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b392b65337d21af3f4f57af588c903f192db9a35)
![displaystyle {} _ {{r + 1}} e_ {r} (a_ {1}, ... a _ {{r + 1}}; b_ {1}, ..., b_ {r}; sigma, au ; z) = сумма _ {{n = 0}} ^ {infty} {frac {[a_ {1}, ..., a _ {{r + 1}}; sigma; au] _ {n}} {[1, b_ {1}, ..., b_ {r}; sigma, au] _ {n}}} z ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58afdad63c4f0c8a067eb0dccafd04990a7f5a2)
![displaystyle {} _ {{r + 1}} v_ {r} (a_ {1}; a_ {6}, ... a _ {{r + 1}}; sigma, au; z) = сумма _ {{n = 0}} ^ {infty} {frac {[a_ {1} + 2n; sigma, au]} {[a_ {1}; sigma, au]}} {frac {[a_ {1}, a_ {6}] , ..., a _ {{r + 1}}; sigma, au] _ {n}} {[1,1 + a_ {1} -a_ {6}, ..., 1 + a_ {1} - a _ {{r + 1}}; сигма, au] _ {n}}} z ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ad1ba53fcbf4c2e9c7ba290172f33b9e441216)
Категория