G-функция Мейера - Meijer G-function

В математике G-функция был представлен Корнелис Саймон Мейер  (1936 ) как очень общий функция предназначен для включения большинства известных специальные функции как частные случаи. Это была не единственная попытка такого рода: обобщенная гипергеометрическая функция и МакРоберт E-функция преследовали ту же цель, но G-функция Мейера могла включать и их как частные случаи. Первое определение было сделано Мейером с использованием серии; в настоящее время принято более общее определение через линейный интеграл в комплексная плоскость, введенный в полной общности Артур Эрдейи в 1953 г.

Согласно современному определению, большинство установленных специальных функций можно представить в терминах G-функции Мейера. Примечательным свойством является закрытие множества всех G-функций не только при дифференцировании, но и при неопределенном интегрировании. В сочетании с функциональное уравнение что позволяет освободить от G-функции грамм(z) любой фактор z^ρ это постоянная сила его аргумента z, замыкание означает, что всякий раз, когда функция выражается как G-функция постоянного кратного некоторой постоянной мощности аргумента функции, ж(Икс) = грамм(сх^γ), производная и первообразный этой функции тоже можно выразить.

Широкий охват специальных функций также придает мощь использованию G-функции Мейера, помимо представления и манипулирования производными и первообразными. Например, определенный интеграл над положительная действительная ось любой функции грамм(Икс), который можно записать как произведение грамм₁(сх^γ)·грамм₂(dx^δ) двух G-функций с рациональный γ/δ равняется просто другой G-функции, и обобщения интегральные преобразования словно Преобразование Ганкеля и Преобразование Лапласа и их обратные результаты получаются, когда подходящие пары G-функций используются в качестве ядер преобразования.

Еще более общая функция, которая вводит дополнительные параметры в G-функцию Мейера, - это H-функция Фокса.

Определение G-функции Мейера

Общее определение G-функции Мейера дается следующим линейный интеграл в комплексная плоскость (Бейтман и Эрдели, 1953 г., § 5.3-1):

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds,}$

где Γ обозначает гамма-функция. Этот интеграл относится к так называемой Тип Меллина – Барнса, и может рассматриваться как обратный Преобразование Меллина. Определение справедливо при следующих предположениях:

• 0 ≤ м ≤ q и 0 ≤ п ≤ п, куда м, п, п и q целые числа
• а_k − б_j ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., п и j = 1, 2, ..., м, откуда следует, что нет столб любого Γ (б_j − s), j = 1, 2, ..., м, совпадает с любым полюсом любого Γ (1 - а_k + s), k = 1, 2, ..., п
• z ≠ 0

Обратите внимание, что по историческим причинам первый ниже и второй верхний индекс относится к верх строка параметров, а второй ниже и первый верхний индекс относится к Нижний строка параметров. Часто встречаются следующие более синтетические обозначения, использующие векторов:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Реализации G-функции в системы компьютерной алгебры обычно используют отдельные векторные аргументы для четырех (возможно, пустых) групп параметров а₁ ... а_п, а_п+1 ... а_п, б₁ ... б_м, и б_м+1 ... б_q, и, следовательно, может опустить заказы п, q, п, и м как избыточный.

В L в интеграле представляет собой путь, по которому следует идти при интегрировании. Для этого пути возможны три варианта:

1. L бежит из -яОт ∞ до +я∞ такое, что все полюсы Γ (б_j − s), j = 1, 2, ..., м, находятся справа от пути, а все полюса Γ (1 - а_k + s), k = 1, 2, ..., п, находятся слева. Тогда интеграл сходится при | arg z| < δ π, куда

${\displaystyle \delta =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);}$

очевидной предпосылкой для этого является δ > 0. Интеграл дополнительно сходится при | arg z| = δ π ≥ 0, если (q - p) (σ + ¹⁄₂)> Re (ν) + 1, где σ представляет собой Re (s) как переменную интегрирования s подходит как +я∞ и -я∞, а где

${\displaystyle \nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}.}$

Как следствие, для | arg z| = δ π и п = q интеграл сходится независимо от σ всякий раз, когда Re (ν) < −1.

2. L - петля, начинающаяся и заканчивающаяся в + ∞, охватывающая все полюса Γ (б_j − s), j = 1, 2, ..., м, ровно один раз в отрицательном направлении, но не охватывая ни один полюс Γ (1 - а_k + s), k = 1, 2, ..., п. Тогда интеграл сходится для всех z если q > п ≥ 0; он также сходится для q = п > 0 до тех пор, пока |z| <1. В последнем случае интеграл дополнительно сходится при |z| = 1, если Re (ν) <−1, где ν определяется как для первого пути.

3. L - петля, начинающаяся и заканчивающаяся в −∞ и охватывающая все полюса Γ (1 - а_k + s), k = 1, 2, ..., провно один раз в положительном направлении, но не охватывая ни один полюс графа Γ (б_j − s), j = 1, 2, ..., м. Теперь интеграл сходится для всех z если п > q ≥ 0; он также сходится для п = q > 0 до тех пор, пока |z| > 1. Как отмечено и для второго пути, в случае п = q интеграл также сходится при |z| = 1, когда Re (ν) < −1.

Условия сходимости легко устанавливаются применением Асимптотическое приближение Стирлинга к гамма-функциям в подынтегральном выражении. Когда интеграл сходится более чем для одного из этих путей, можно показать, что результаты интегрирования совпадают; если он сходится только для одного пути, то следует учитывать только этот. Фактически, численное интегрирование по траектории в комплексной плоскости представляет собой практичный и разумный подход к вычислению G-функций Мейера.

Как следствие этого определения G-функция Мейера является аналитическая функция из z с возможным исключением происхождения z = 0 и единичной окружности |z| = 1.

Дифференциальное уравнение

G-функция удовлетворяет следующим линейным дифференциальное уравнение порядка макс (п,q):

${\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}\;z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0.}$

Для фундаментального набора решений этого уравнения в случае п ≤ q можно взять:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,}$

и аналогично в случае п ≥ q:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p.}$

Эти частные решения являются аналитическими, за исключением возможного необычность в z = 0 (а также возможная особенность при z = ∞), а в случае п = q также неизбежная особенность при z = (−1)^п−м−п. Как мы сейчас увидим, их можно отождествить с обобщенные гипергеометрические функции _пF_q−1 аргумента (−1)^п−м−п z которые умножаются на мощность z^б_час, а с обобщенными гипергеометрическими функциями _qF_п−1 аргумента (−1)^q−м−п z⁻¹ которые умножаются на мощность z^{а_час−1}, соответственно.

Связь между G-функцией и обобщенной гипергеометрической функцией

Если интеграл сходится при вычислении по второй путь введено выше, и если нет слияния полюса оказываются среди Γ (б_j − s), j = 1, 2, ..., м, то G-функция Мейера может быть выражена как сумма остатки с точки зрения обобщенные гипергеометрические функции _пF_q−1 (Теорема Слейтера):

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times }$

${\displaystyle _{p}F_{q-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right).}$

Звездочка указывает, что член, соответствующий j = час опущено. Чтобы интеграл сходился по второму пути, необходимо либо п < q, или же п = q и |z| <1, и чтобы полюса были различны, среди б_j, j = 1, 2, ..., м, может отличаться целым числом или нулем. Звездочки в соотношении напоминают нам игнорировать вклад с индексом j = час следующим образом: в произведении это означает замену Γ (0) на 1, а в аргументе гипергеометрической функции, если вспомнить смысл векторных обозначений,

${\displaystyle 1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{q}),}$

это означает сокращение длины вектора от q к q−1.

Обратите внимание, что когда м = 0, второй путь не содержит полюсов, поэтому интеграл должен тождественно равен нулю,

${\displaystyle G_{p,q}^{\,0,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

если либо п < q, или же п = q и |z| < 1.

Аналогично, если интеграл сходится при вычислении по третий путь выше, и если между Γ (1 - а_k + s), k = 1, 2, ..., п, то G-функцию можно выразить как:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{h}-a_{j})^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle _{q}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-a_{h}+\mathbf {b_{q}} \\(1-a_{h}+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n}z^{-1}\right).}$

Для этого либо п > q, или же п = q и |z| > 1, и ни одна пара среди а_k, k = 1, 2, ..., п, может отличаться целым числом или нулем. За п = 0 следовательно:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

если либо п > q, или же п = q и |z| > 1.

С другой стороны, любую обобщенную гипергеометрическую функцию легко выразить через G-функцию Мейера:

${\displaystyle \;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,-z^{-1}\right),}$

где мы использовали векторные обозначения:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}).}$

Это верно, если неположительное целое значение хотя бы одного из его параметров а_п сводит гипергеометрическую функцию к конечному полиному, и в этом случае гамма-префактор любой G-функции обращается в нуль, а наборы параметров G-функций нарушают требование а_k − б_j ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., п и j = 1, 2, ..., м от определение над. Помимо этого ограничения, соотношение справедливо, если обобщенный гипергеометрический ряд _пF_q(z) сходится, т.е. е. для любого конечного z когда п ≤ q, а для |z| <1 когда п = q + 1. В последнем случае связь с G-функцией автоматически дает аналитическое продолжение _пF_q(z) к |z| ≥ 1 с ветвью, разрезанной от 1 до ∞ вдоль вещественной оси. Наконец, это отношение дает естественное распространение определения гипергеометрической функции на порядки п > q + 1. Таким образом, с помощью G-функции мы можем решить обобщенное гипергеометрическое дифференциальное уравнение для п > q +1 тоже.

Полиномиальные случаи

Чтобы выразить полиномиальные случаи обобщенных гипергеометрических функций через G-функции Мейера, в общем случае требуется линейная комбинация двух G-функций:

${\displaystyle \;_{p+1}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=h!\;{\frac {\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{j})\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle \left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)\right],}$

куда час = 0, 1, 2, ... равно степени многочлена _п+1F_q(z). Заказы м и п можно свободно выбирать в пределах 0 ≤ м ≤ q и 0 ≤ п ≤ п, что позволяет избежать конкретных целочисленных значений или целочисленных различий между параметрами. а_п и б_q полинома приводят к расходящимся гамма-функциям в префакторе или к конфликту с определение G-функции. Отметим, что первая G-функция обращается в нуль при п = 0, если п > q, а вторая G-функция обращается в нуль при м = 0, если п < q. Опять же, формулу можно проверить, выразив две G-функции в виде суммы остатки; нет случаев слияния полюса разрешенные определением G-функции, здесь необходимо исключить.

Основные свойства G-функции

Как видно из определение G-функции, если среди а_п и б_q После определения множителей в числителе и знаменателе подынтегрального выражения дробь может быть упрощена, а порядок функции тем самым уменьшен. Был ли порядок м или же п будет уменьшаться в зависимости от конкретного положения рассматриваемых параметров. Таким образом, если один из а_k, k = 1, 2, ..., п, равно одному из б_j, j = м + 1, ..., q, G-функция понижает порядок п, q и п:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n,p,q\geq 1.}$

По той же причине, если один из а_k, k = п + 1, ..., п, равно одному из б_j, j = 1, 2, ..., м, то G-функция понижает порядок п, q и м:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m,p,q\geq 1.}$

Исходя из определения, также можно получить следующие свойства:

${\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(p-q)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_{1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_{1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{h}}{h^{h(q-p)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .}$

Сокращения ν и δ были введены в определение G-функции над.

Производные и первообразные

Касательно производные G-функции, можно найти следующие отношения:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

Из этих четырех эквивалентных соотношений можно вывести просто вычисление производной слева и немного манипулируя. Например, можно получить:

${\displaystyle z{\frac {d}{dz}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)+(a_{1}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1.}$

Более того, для производных произвольного порядка час, надо

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,1-h\\1,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

которые держатся за час <0, что позволяет получить первообразный любой G-функции так же легко, как и производной. Выбирая один или другой из двух результатов, представленных в любой формуле, всегда можно предотвратить нарушение условия набором параметров в результате а_k − б_j ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., п и j = 1, 2, ..., м что навязано определение G-функции. Обратите внимание, что каждая пара результатов становится неравной в случае час < 0.

Из этих соотношений соответствующие свойства Гипергеометрическая функция Гаусса и других специальных функций.

Отношения рецидива

Приравнивая различные выражения для производных первого порядка, мы получаем следующие трехчленные рекуррентные соотношения между смежными G-функциями:

${\displaystyle (a_{p}-a_{1})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq n<p,}$

${\displaystyle (b_{1}-b_{q})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq m<q,}$

${\displaystyle (b_{1}-a_{1}+1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,\;m\geq 1,}$

${\displaystyle (a_{p}-b_{q}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p,\;m<q.}$

Аналогичные соотношения для пар диагональных параметров а₁, б_q и б₁, а_п следуйте подходящей комбинации вышеперечисленного. Опять же, соответствующие свойства гипергеометрических и других специальных функций могут быть получены из этих рекуррентных соотношений.

Теоремы умножения

При условии, что z 0 выполняются следующие соотношения:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+h,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{q}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+h\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-h,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{p}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-h\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

За ними следуют Расширение Тейлора о ш = 1, с помощью основные свойства обсуждалось выше. В радиусы схождения будет зависеть от стоимости z и о расширенной G-функции. Разложения можно рассматривать как обобщения аналогичных теорем для Бессель, гипергеометрический и сливной гипергеометрический функции.

Определенные интегралы с участием G-функции

Среди определенные интегралы с произвольной G-функцией:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}.}$

Обратите внимание, что ограничения, при которых существует этот интеграл, здесь опущены. Конечно, неудивительно, что Преобразование Меллина G-функции должна привести к подынтегральному выражению, входящему в определение над.

Эйлер Интегралы -типа для G-функции имеют вид:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-\alpha }\;(1-x)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\;(x-1)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Обширные ограничения, при которых существуют эти интегралы, можно найти на стр. 417 из "Таблиц интегральных преобразований", т. II (1954), под ред. А. Эрдели. Обратите внимание, что, учитывая их влияние на G-функцию, эти интегралы могут использоваться для определения операции дробное интегрирование для достаточно большого класса функций (Операторы Эрдейи – Кобера ).

Результат фундаментальной важности заключается в том, что произведение двух произвольных G-функций, проинтегрированных по положительной действительной оси, может быть представлено просто другой G-функцией (теорема свертки):

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\,\omega x\right)dx=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\eta }}\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\mu ,\,m+\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\omega }{\eta }}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\omega }}\;G_{p+\tau ,\,q+\sigma }^{\,m+\nu ,\,n+\mu }\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right).}$

Ограничения, при которых существует интеграл, можно найти в Meijer, C. S., 1941: Nederl. Акад. Wetensch, Proc. 44, с. 82-92. Обратите внимание, как преобразование Меллина результата просто собирает гамма-факторы из преобразований Меллина двух функций в подынтегральном выражении.

Формулу свертки можно получить, подставив определяющий интеграл Меллина – Барнса для одной из G-функций, изменив порядок интегрирования на противоположный и вычислив интеграл внутреннего преобразования Меллина. Аналогично следуют предыдущие интегралы типа Эйлера.

Преобразование Лапласа

Используя вышеуказанное интеграл свертки и основные свойства можно показать, что:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;x^{-\alpha }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx=\omega ^{\alpha -1}\;G_{p+1,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right),}$

где Re (ω)> 0. Это Преобразование Лапласа функции грамм(ηx) умноженное на степень Икс^−α; если мы положим α = 0 получаем преобразование Лапласа G-функции. Как обычно, обратное преобразование определяется следующим образом:

${\displaystyle x^{-\alpha }\;G_{p,\,q+1}^{\,m,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right)d\omega ,}$

куда c является реальной положительной константой, которая помещает путь интегрирования справа от любого столб в подынтегральном выражении.

Другая формула преобразования Лапласа G-функции:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x^{2}\right)dx={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\omega }}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {4\eta }{\omega ^{2}}}\right),}$

где снова Re (ω)> 0. Детали ограничений, при которых существуют интегралы, опущены в обоих случаях.

Интегральные преобразования на основе G-функции

В общем, две функции k(z,у) и час(z,у) называются парой ядер преобразований, если для любой подходящей функции ж(z) или любую подходящую функцию грамм(z) одновременно выполняются следующие два соотношения:

${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)\,f(y)\;dy,\quad f(z)=\int _{0}^{\infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.}$

Пара ядер называется симметричной, если k(z,у) = час(z,у).

Преобразование Нараина

Руп Нараин (1962, 1963a, 1963b ) показал, что функции:

${\displaystyle k(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,m,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right),}$

${\displaystyle h(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,n,\,q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\-\mathbf {d_{n}} ,-\mathbf {c_{m}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right)}$

являются асимметричной парой ядер преобразований, где γ > 0, п − п = м − q > 0, и:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}a_{j}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}=\sum _{j=1}^{m}c_{j}+\sum _{j=1}^{n}d_{j},}$

вместе с дальнейшими условиями сходимости. В частности, если п = q, м = п, а_j + б_j = 0 для j = 1, 2, ..., п и c_j + d_j = 0 для j = 1, 2, ..., м, то пара ядер становится симметричной. Известный Преобразование Ганкеля является симметричным частным случаем преобразования Нарайна (γ = 1, п = q = 0, м = п = 1, c₁ = −d₁ = ^ν⁄₂).

Преобразование слабака

Реактивный слабак (1964 ) показал, что эти функции представляют собой асимметричную пару ядер преобразований:

${\displaystyle k(z,y)=G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\nu +iz,1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;y\right),}$

${\displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi })\right],}$

где функция А(·) определяется как:

${\displaystyle A(\alpha ,\beta \,|\,z)=G_{p+2,\,q}^{\,q-m,\,p-n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,-a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\dots ,-b_{m}\end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Обобщенное преобразование Лапласа

В Преобразование Лапласа можно обобщить по аналогии с обобщением Нараина преобразования Ханкеля:

${\displaystyle g(s)=2\gamma \int _{0}^{\infty }(st)^{\gamma +\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,q+1,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\0,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(st)^{2\gamma }\right)f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\gamma }{\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{\gamma -\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {a_{p}} \\0,-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-(ts)^{2\gamma }\right)g(s)\;ds,}$

куда γ > 0, п ≤ q, и:

${\displaystyle (q+1-p)\,{\rho \over 2\gamma }=\sum _{j=1}^{p}a_{j}-\sum _{j=1}^{q}b_{j},}$

и где постоянная c > 0 помещает второй путь интегрирования справа от любого полюса подынтегрального выражения. За γ = ¹⁄₂, ρ = 0 и п = q = 0, это соответствует известному преобразованию Лапласа.

Преобразование Мейера

Два частных случая этого обобщения были приведены К.С. Мейером в 1940 и 1941 годах. γ = 1, ρ = −ν, п = 0, q = 1 и б₁ = ν может быть написано (Meijer1940 ):

${\displaystyle g(s)={\sqrt {2/\pi }}\int _{0}^{\infty }(st)^{1/2}\,K_{\nu }(st)\,f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{1/2}\,I_{\nu }(ts)\,g(s)\;ds,}$

и случай, полученный для γ = ¹⁄₂, ρ = −м − k, п = q = 1, а₁ = м − k и б₁ = 2м может быть написано (Meijer1941a ):

${\displaystyle g(s)=\int _{0}^{\infty }(st)^{-k-1/2}\,e^{-st/2}\,W_{k+1/2,\,m}(st)\,f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma (1-k+m)}{2\pi i\,\Gamma (1+2m)}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{k-1/2}\,e^{ts/2}\,M_{k-1/2,\,m}(ts)\,g(s)\;ds.}$

Здесь я_ν и K_ν являются модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно, M_k,м и W_k,м являются Функции Уиттекера, и постоянные масштабные коэффициенты были применены к функциям ж и грамм и их аргументы s и т в первом случае.

Представление других функций через G-функцию

В следующем списке показано, как знакомые элементарные функции результат как частный случай G-функции Мейера:

${\displaystyle e^{x}=G_{0,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \cos x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \sin x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \cosh x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \sinh x=-{\sqrt {\pi }}i\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle \arcsin x={\frac {-i}{2{\sqrt {\pi }}}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-x^{2}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle \arctan x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,2,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \ln(1+x)=G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\1,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle H(1-|x|)=G_{1,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle H(|x|-1)=G_{1,1}^{\,0,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

Здесь, ЧАС обозначает Ступенчатая функция Хевисайда.

The subsequent list shows how some higher functions can be expressed in terms of the G-function:

${\displaystyle \gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,1,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle J_{\nu }(x)=G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle Y_{\nu }(x)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle I_{\nu }(x)=i^{-\nu }\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle K_{\nu }(x)={\frac {1}{2}}\;G_{0,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \Phi (x,n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,1-a,\dots ,1-a\\0,-a,\dots ,-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (x,-n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,-a,\dots ,-a\\0,1-a,\dots ,1-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

Даже derivatives of γ(α,Икс) и Γ (α,Икс) with respect to α can be expressed in terms of the Meijer G-function. Here, γ and Γ are the lower and upper incomplete gamma functions, J_ν и Y_ν являются Функции Бесселя of the first and second kind, respectively, я_ν и K_ν are the corresponding modified Bessel functions, and Φ is the Lerch transcendent.

Смотрите также

• Градштейн и Рыжик

Рекомендации

• Andrews, L. C. (1985). Special Functions for Engineers and Applied Mathematicians. Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN  978-0-02-948650-4.
• Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Meijer G-function", в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953). Higher Transcendental Functions, Vol. я (PDF). Нью-Йорк: МакГроу – Хилл. (see § 5.3, "Definition of the G-Function", p. 206)
• Beals, Richard; Szmigielski, Jacek (2013). "Meijer G-Functions: A Gentle Introduction" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 60 (7): 866. Дои:10.1090/noti1016.
• Brychkov, Yu. А .; Prudnikov, A. P. (2001) [1994], "Meijer transform", Энциклопедия математики, EMS Press
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. "9.3.". В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Klimyk, A. U. (2001) [1994], "Meijer G-functions", Энциклопедия математики, EMS Press
• Luke, Yudell L. (1969). The Special Functions and Their Approximations, Vol. я. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  978-0-12-459901-7. (see Chapter V, "The Generalized Hypergeometric Function and the G-Function", p. 136)
• Meijer, C. S. (1936). "Über Whittakersche bzw. Besselsche Funktionen und deren Produkte". Nieuw Archief voor Wiskunde (2) (на немецком). 18 (4): 10–39. JFM  62.0421.02.
• Meijer, C. S. (1940). "Über eine Erweiterung der Laplace-Transformation – I, II". Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (на немецком). 43: 599–608 and 702–711. JFM  66.0523.01.
• Meijer, C. S. (1941a). "Eine neue Erweiterung der Laplace-Transformation – I, II". Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (на немецком). 44: 727–737 and 831–839. JFM  67.0396.01.
• Meijer, C. S. (1941b). "Multiplikationstheoreme für die Funktion ${\displaystyle \scriptstyle G_{p,q}^{\,m,n}(z)}$". Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (на немецком). 44: 1062–1070. JFM  67.1016.01.
• Narain, Roop (1962). "The G-functions as unsymmetrical Fourier kernels – I" (PDF). Труды Американского математического общества. 13 (6): 950–959. Дои:10.1090/S0002-9939-1962-0144157-5. МИСТЕР  0144157.
• Narain, Roop (1963a). "The G-functions as unsymmetrical Fourier kernels – II" (PDF). Труды Американского математического общества. 14 (1): 18–28. Дои:10.1090/S0002-9939-1963-0145263-2. МИСТЕР  0145263.
• Narain, Roop (1963b). "The G-functions as unsymmetrical Fourier kernels – III" (PDF). Труды Американского математического общества. 14 (2): 271–277. Дои:10.1090/S0002-9939-1963-0149210-9. МИСТЕР  0149210.
• Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; Brychkov, Yu. A. (1990). Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach. ISBN  978-2-88124-682-1. (see § 8.2, "The Meijer G-function", p. 617)
• Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-06483-5. (there is a 2008 paperback with ISBN  978-0-521-09061-2)
• Wimp, Jet (1964). "A Class of Integral Transforms". Труды Эдинбургского математического общества. Серия 2. 14: 33–40. Дои:10.1017/S0013091500011202. МИСТЕР  0164204. Zbl  0127.05701.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Meijer G-Function". MathWorld.
• гипергеома на GitLab