Последовательность апелляций - Appell sequence

В математика, Последовательность апелляций, названный в честь Поль Эмиль Аппель, любой полиномиальная последовательность ${ displaystyle {p_ {n} (x) } _ {n = 0,1,2, ldots}}$ удовлетворение личности

{ displaystyle { frac {d} {dx}} p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x),}

и в котором ${ Displaystyle p_ {0} (х)}$ ненулевая константа.

Среди наиболее известных последовательностей Аппеля, помимо тривиального примера ${ Displaystyle {х ^ {п} }}$ являются Полиномы Эрмита, то Полиномы Бернулли, а Полиномы Эйлера. Каждая последовательность Аппеля - это Последовательность Шеффера, но большинство последовательностей Шеффера не являются последовательностями Аппеля.

Эквивалентные характеристики последовательностей Аппеля

Следующие условия на полиномиальные последовательности, как легко видеть, эквивалентны:

Для ${ Displaystyle п = 1,2,3, ldots}$ ,

{ displaystyle { frac {d} {dx}} p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x)}

и

{ Displaystyle p_ {0} (х)}

- ненулевая константа;

Для некоторой последовательности ${ textstyle {c_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$ скаляров с ${ displaystyle c_ {0} neq 0}$ ,

{ displaystyle p_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} c_ {k} x ^ {n-k};}

Для той же последовательности скаляров

{ displaystyle p_ {n} (x) = left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {k!}} D ^ {k} right) x ^ {n},}

где

{ displaystyle D = { frac {d} {dx}};}

Для ${ Displaystyle п = 0,1,2, ldots}$ ,

{ displaystyle p_ {n} (x + y) = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} p_ {k} (x) y ^ {n-k}.}

Формула рекурсии

Предположим

{ displaystyle p_ {n} (x) = left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} {c_ {k} over k!} D ^ {k} right) x ^ {n} = Sx ^ {n},}

где последнее равенство используется для определения линейного оператора ${ displaystyle S}$ на пространстве многочленов от ${ displaystyle x}$ . Позволять

{ displaystyle T = S ^ {- 1} = left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {k!}} D ^ {k} right) ^ {- 1} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {a_ {k}} {k!}} D ^ {k}}

- обратный оператор, коэффициенты ${ displaystyle a_ {k}}$ быть обычным аналогом формальный степенной ряд, так что

{ Displaystyle Tp_ {п} (х) = х ^ {п}. ,}

В соглашениях темный камень, часто рассматривают этот формальный степенной ряд ${ displaystyle T}$ как представляющий последовательность Аппеля ${ displaystyle p_ {n}}$ . Можно определить

{ displaystyle log T = log left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {a_ {k}} {k!}} D ^ {k} right)}

используя обычное разложение в степенной ряд ${ Displaystyle журнал (х)}$ и обычное определение композиции формальных степенных рядов. Тогда у нас есть

{ Displaystyle p_ {n + 1} (x) = (x - ( log T) ') p_ {n} (x). ,}

(Это формальное дифференцирование степенного ряда в дифференциальном операторе ${ displaystyle D}$ это пример Дифференциация Пинчерле.)

На случай, если Полиномы Эрмита, это сводится к обычной формуле рекурсии для этой последовательности.

Подгруппа полиномов Шеффера

Множество всех последовательностей Аппеля замкнуто относительно операции умбральной композиции полиномиальных последовательностей, определяемой следующим образом. Предположим ${ displaystyle {p_ {n} (x) двоеточие n = 0,1,2, ldots }}$ и ${ Displaystyle {q_ {n} (х) двоеточие п = 0,1,2, ldots }}$ являются полиномиальными последовательностями, задаваемыми

{ displaystyle p_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} x ^ {k} { text {and}} q_ {n} (x) = сумма _ {k = 0} ^ {n} b_ {n, k} x ^ {k}.}

Тогда умбральная композиция ${ displaystyle p circ q}$ - последовательность полиномов, ${ displaystyle n}$ -й член

{ displaystyle (p_ {n} circ q) (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} q_ {k} (x) = sum _ {0 leq k leq ell leq n} a_ {n, k} b_ {k, ell} x ^ { ell}}

(нижний индекс ${ displaystyle n}$ появляется в ${ displaystyle p_ {n}}$ , так как это ${ displaystyle n}$ -й член этой последовательности, но не в ${ displaystyle q}$ , поскольку это относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов).

При выполнении этой операции множество всех последовательностей Шеффера является неабелева группа, но набор всех последовательностей Аппеля является абелевский подгруппа. То, что это абелева, можно увидеть, если учесть тот факт, что каждая последовательность Аппеля имеет вид

{ displaystyle p_ {n} (x) = left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {k!}} D ^ {k} right) x ^ {n},}

и эта темная композиция последовательностей Аппеля соответствует умножению этих формальный степенной ряд в операторе ${ displaystyle D}$ .

Другое соглашение

Другое соглашение, которому следуют некоторые авторы (см. Чихара) определяет это понятие по-другому, что противоречит исходному определению Аппеля, используя тождество

{ displaystyle {d over dx} p_ {n} (x) = p_ {n-1} (x)}

вместо.

Смотрите также

использованная литература

Аппель, Пол (1880). "Sur une classe de polynômes". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 2e Série. 9: 119–144.
Роман, Стивен; Рота, Джан-Карло (1978). «Мрачное исчисление». Успехи в математике. 27 (2): 95–188. Дои:10.1016/0001-8708(78)90087-7..
Рота, Джан-Карло; Kahaner, D .; Одлызко, Андрей (1973). «Конечное операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений. 42 (3): 685–760. Дои:10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8. Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.
Стивен Роман. Темное исчисление. Dover Publications.
Теодор Сейо Чихара (1978). Введение в ортогональные многочлены. Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 978-0-677-04150-6.