q-разностный полином - q-difference polynomial

В комбинаторный математика, то q-разностные полиномы или же q-гармонические многочлены площадь полиномиальная последовательность определяется с точки зрения q-производный. Они представляют собой обобщенный тип Полином Бренке, и обобщить Полиномы Аппеля. Смотрите также Последовательность Шеффера.

Определение

Q-разностные многочлены удовлетворяют соотношению

{ displaystyle left ({ frac {d} {dz}} right) _ {q} p_ {n} (z) = { frac {p_ {n} (qz) -p_ {n} (z) } {qz-z}} = { frac {q ^ {n} -1} {q-1}} p_ {n-1} (z) = [n] _ {q} p_ {n-1} ( z)}

где символ производной слева - это q-производная. В пределах ${ displaystyle q to 1}$ , это становится определением полиномов Аппеля:

{ displaystyle { frac {d} {dz}} p_ {n} (z) = np_ {n-1} (z).}

Обобщенный производящая функция для этих многочленов относится к типу производящей функции для многочленов Бренке, а именно

{ displaystyle A (w) e_ {q} (zw) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {p_ {n} (z)} {[n] _ {q}!} } w ^ {n}}

куда ${ displaystyle e_ {q} (t)}$ это q-экспонента:

{ displaystyle e_ {q} (t) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {[n] _ {q}!}} = sum _ { n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}}.}.}

Здесь, ${ displaystyle [n] _ {q}!}$ это q-факториал и

{ Displaystyle (д; д) _ {п} = (1-д ^ {п}) (1-д ^ {п-1}) cdots (1-д)}

это символ q-Pochhammer. Функция ${ Displaystyle А (ш)}$ произвольно, но предполагается, что имеет расширение

{ displaystyle A (w) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} w ^ {n} { mbox {with}} a_ {0} neq 0.}

Любая такая ${ Displaystyle А (ш)}$ дает последовательность q-разностных многочленов.