Тета-функции Якоби (варианты обозначений) - Jacobi theta functions (notational variations)

Существует ряд систем обозначений для Тета-функции Якоби. Обозначения, приведенные в статье Википедии, определяют исходную функцию

${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}$

что эквивалентно

${\displaystyle \vartheta _{00}(z,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp(2\pi inz)}$

Однако аналогичные обозначения определены несколько иначе в Уиттакер и Ватсон, п. 487:

${\displaystyle \vartheta _{0,0}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp(2\pi inx/a)}$

Эти обозначения приписываются «Эрмиту, Г. Дж. С. Смиту и некоторым другим математикам». Они также определяют

${\displaystyle \vartheta _{1,1}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}\exp(\pi i(2n+1)x/a)}$

Это фактор я от определения ${\displaystyle \vartheta _{11}}$ как определено в статье Википедии. Эти определения можно сделать по крайней мере пропорциональными: Икс = за, но другие определения не могут. Уиттакер и Ватсон, Абрамовиц и Стегун, Градштейн и Рыжик - все следуют за Кожевником и Молком, в которых

${\displaystyle \vartheta _{1}(z)=-i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}\exp((2n+1)iz)}$

${\displaystyle \vartheta _{2}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\exp((2n+1)iz)}$

${\displaystyle \vartheta _{3}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp(2niz)}$

${\displaystyle \vartheta _{4}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\exp(2niz)}$

Обратите внимание, что в аргументе нет множителя π, как в предыдущих определениях.

Уиттакер и Ватсон ссылаются еще на другие определения ${\displaystyle \vartheta _{j}}$. Предупреждение Абрамовица и Стегуна: «Существует поразительное разнообразие обозначений ... в консультационных книгах следует проявлять осторожность», можно рассматривать как преуменьшение. В любом выражении вхождение ${\displaystyle \vartheta (z)}$ не следует предполагать, что оно имеет какое-либо конкретное определение. Автор должен указать, какое определение ${\displaystyle \vartheta (z)}$ предназначен.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 16.27ff.". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич (1980). «8.18.». В Джеффри, Алан (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Переведено Scripta Technica, Inc. (4-е исправленное и дополненное изд.). Academic Press, Inc. ISBN  0-12-294760-6. LCCN  79027143.
• Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон, Курс современного анализа, четвертое издание, Cambridge University Press, 1927. (Историю θ-функций Якоби см. В главе XXI)