Вершинная операторная алгебра - Vertex operator algebra

В математике алгебра вершинных операторов (VOA) представляет собой алгебраическую структуру, играющую важную роль в двумерная конформная теория поля и теория струн. Помимо физических приложений, алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических контекстах, таких как чудовищный самогон и геометрическое соответствие Ленглендса.

Связанное с этим понятие вершинная алгебра был представлен Ричард Борчердс в 1986 году, мотивированный конструкцией бесконечномерной алгебры Ли благодаря Игорь Френкель. В ходе этого строительства используется Пространство фока который допускает действие вершинных операторов, прикрепленных к векторам решетки. Борчердс сформулировал понятие вертексной алгебры, аксиоматизируя отношения между операторами вершин решетки, создав алгебраическую структуру, которая позволяет строить новые алгебры Ли, следуя методу Френкеля.

Понятие вертексной операторной алгебры было введено Френкелем как модификация понятия вертексной алгебры. Джеймс Леповски, и Арне Меурман в 1988 году в рамках проекта строительства модуль самогона. Они заметили, что многие вершинные алгебры, которые появляются в природе, имеют полезную дополнительную структуру (действие алгебры Вирасоро) и удовлетворяют свойству ограниченного снизу по отношению к оператору энергии. Мотивированные этим наблюдением, они добавили действие Вирасоро и свойство ограниченного снизу в качестве аксиом.

Теперь у нас есть апостериорная мотивация для этих понятий из физики, а также несколько интерпретаций аксиом, которые изначально не были известны. Физически вершинные операторы, возникающие из вставок голоморфных полей в точках (т. Е. Вершинах) в двумерной конформной теории поля, допускают расширение продукта оператора когда вставки сталкиваются, и они точно удовлетворяют соотношениям, указанным в определении алгебры вершинных операторов. Действительно, аксиомы алгебры вершинных операторов являются формальной алгебраической интерпретацией того, что физики называют киральные алгебры, или «алгебры киральных симметрий», где эти симметрии описывают тождества Уорда, которым удовлетворяет данная конформная теория поля, включая конформную инвариантность. Другие формулировки аксиом вертексной алгебры включают более позднюю работу Борчердса по сингулярным коммутативным кольцам, алгебрам над определенными операдами на кривых, введенных Хуангом, Крисом и другими, и D-модуль -теоретические объекты, называемые киральными алгебрами, введенные Александр Бейлинсон и Владимир Дринфельд. Хотя эти киральные алгебры связаны между собой, они не совсем то же самое, что объекты с тем же именем, которое используют физики.

Важные базовые примеры алгебр вершинных операторов включают решеточные ВОА (моделирующие решеточные конформные теории поля), ВОА, заданные представлениями аффинных Алгебры Каца – Муди (от Модель WZW ), ВОА Вирасоро (т. е. ВОА, соответствующие представлениям Алгебра Вирасоро ) и модуль самогона V^♮, который отличается чудовищной симметрией. Более сложные примеры, такие как аффинные W-алгебры и хиральный комплекс де Рама на комплексном многообразии возникают в геометрической теории представлений и математическая физика.

Формальное определение

Вершинная алгебра

А вершинная алгебра представляет собой набор данных, удовлетворяющих определенным аксиомам.

Данные

• а векторное пространство V, называемое пространством состояний. В качестве основного поля обычно принимают комплексные числа, хотя первоначальная формулировка Борчердса допускала произвольное коммутативное кольцо.
• единичный элемент 1 ∈ V, иногда написано ${\displaystyle |0\rangle }$ или Ω для обозначения состояния вакуума.
• ан эндоморфизм Т : V → V, называется «перевод». (Первоначальная формулировка Борчердса включала систему разделенных полномочий Т, потому что он не предполагал, что кольцо заземления делимо.)
• карта линейного умножения Y : V ⊗ V → V((z)), где V((z)) это пространство всего формальная серия Laurent с коэффициентами в V. Эта структура альтернативно представлена ​​как бесконечный набор билинейных произведений ты_пv, или как карта умножения слева V → Конец (V)[[z^±1]], называемое соответствием состояния поля. Для каждого ты ∈ Vоператорнозначное формальное распределение Y(ты, z) называется вершинным оператором или полем (вставленным в ноль), а коэффициент при z^−п−1 оператор ты_п. Стандартное обозначение умножения:

${\displaystyle u\otimes v\mapsto Y(u,z)v=\sum _{n\in \mathbf {Z} }u_{n}vz^{-n-1}}$.

Аксиомы

Эти данные необходимы для выполнения следующих аксиом:

• Личность. Для любого ты ∈ V, Y(1, z)ты = ты = уз⁰ и Y(ты, z)1 ∈ ты + zV[[z]].^{[необходимо определение ]}
• Перевод. Т(1) = 0, и для любого ты, v ∈ V,

${\displaystyle [T,Y(u,z)]v=TY(u,z)v-Y(u,z)Tv={\frac {d}{dz}}Y(u,z)v}$

• Местность (идентичность Якоби или идентичность Борчердса). Для любого ты, v ∈ V, существует натуральное число N такой, что:

${\displaystyle (z-x)^{N}Y(u,z)Y(v,x)=(z-x)^{N}Y(v,x)Y(u,z).}$

Эквивалентные формулировки аксиомы локальности

Аксиома локальности имеет несколько эквивалентных формулировок в литературе, например, Френкель-Леповски-Меурман ввел тождество Якоби:

${\displaystyle \forall u,v,w\in V:\qquad z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y(u,x)Y(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y(v,y)Y(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y(Y(u,z)v,y)w,}$

где мы определяем формальный дельта-ряд следующим образом:

${\displaystyle \delta \left({\frac {y-x}{z}}\right):=\sum _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s}}(-1)^{s}y^{r-s}x^{s}z^{-r}.}$

Borcherds^[1] изначально использовались следующие два тождества: для любых векторов ты, v, и ш, и целые числа м и п у нас есть

${\displaystyle (u_{m}(v))_{n}(w)=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m}{i}}\left(u_{m-i}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+n-i}(u_{i}(w))\right)}$

и

${\displaystyle u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}}v_{m+i}u}$.

Позже он дал более обширную версию, эквивалентную, но более простую в использовании: для любых векторов ты, v, и ш, и целые числа м, п, и q у нас есть

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+n-i}(w)=\sum _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{\binom {q}{i}}\left(u_{m+q-i}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+q-i}\left(u_{m+i}(w)\right)\right)}$

Наконец, есть формальная функциональная версия локальности: для любого ты, v, ш ∈ V, есть элемент

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]]\left[z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}\right]}$

такой, что Y(ты, z)Y(v, Икс)ш и Y(v, Икс)Y(ты, z)ш соответствующие разложения ${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$ в V((z))((Икс)) и V((Икс))((z)).

Вершинная операторная алгебра

А алгебра вершинных операторов - вертексная алгебра, снабженная конформный элемент ω, такая, что вершинный оператор Y(ω, z) поле Вирасоро с двумя весами L(z):

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

и удовлетворяет следующим свойствам:

• [L_м, L_п] = (м − п)L_{т + п} + (δ_{т + п, 0}/12) (м³ − м)c Мне бы_V, где c константа, называемая центральный заряд, или ранг из V. В частности, коэффициенты этого вершинного оператора дают V с действием алгебры Вирасоро с центральным зарядом c.
• L₀ действует полупросто на V с целыми собственными числами, ограниченными снизу.
• При градуировке, обеспечиваемой собственными значениями L₀, умножение на V однородна в том смысле, что если ты и v однородны, то ты_пv однороден по степени град (ты) + град (v) − п − 1.
• Тождество 1 имеет степень 0, а конформный элемент ω имеет степень 2.
• L₋₁ = Т.

Гомоморфизм вершинных алгебр - это карта лежащих в основе векторных пространств, которая уважает дополнительную структуру идентичности, трансляции и умножения. Гомоморфизмы вертексных операторных алгебр имеют «слабую» и «сильную» формы в зависимости от того, уважают ли они конформные векторы.

Коммутативные вершинные алгебры

Вершинная алгебра V коммутативна, если все вершинные операторы коммутируют друг с другом. Это эквивалентно тому, что все продукты Y(ты,z)v роды V[[z]]. Учитывая коммутативную вертексную алгебру, постоянные члены умножения наделяют векторное пространство коммутативной кольцевой структурой, и Т является производным. Наоборот, любое коммутативное кольцо V с выводом Т имеет каноническую структуру вертексной алгебры, где мы положили Y(ты,z)v = ты_–1v z⁰ = УФ. Если вывод Т обращается в нуль, мы можем положить ω = 0, чтобы получить вершинную операторную алгебру, сосредоточенную в нулевой степени.

Любая конечномерная вертексная алгебра коммутативна. В частности, даже самые маленькие примеры некоммутативных вершинных алгебр требуют значительного введения.

Основные свойства

Оператор перевода Т в вершинной алгебре индуцирует бесконечно малые симметрии на структуре произведения и удовлетворяет следующим свойствам:

• Y(ты,z)1 = е^zTты
• Вт = ты_–21, так что Т определяется Y.
• Y(Вт,z) = d(Y(ты,z))/дз
• е^xTY(ты,z)е^−xT = Y(е^xTты,z) = Y(ты,z+Икс)
• (кососимметрия) Y(ты,z)v = е^zTY(v,–z)ты

Для вершинной операторной алгебры другие операторы Вирасоро обладают аналогичными свойствами:

• Икс^L₀Y(ты,z)Икс^−L₀ = Y(Икс^L₀ты,xz)
• е^xL₁Y(ты,z)е^−xL₁ = Y(е^{x (1 – xz) L₁}(1–xz)^−2L₀ты,z(1–xz)⁻¹)
• (квазиконформность) ${\displaystyle [L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)}$ для всех м≥–1.
• (Ассоциативность, или свойство кузена): для любого ты, v, ш ∈ V, элемент

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

данное в определении также расширяется до Y(Y(ты,z–Икс)v,Икс)ш в V((Икс))((z–Икс)).

Свойство ассоциативности вершинной алгебры следует из того, что коммутатор Y(ты,z) и Y(v,Икс) уничтожается конечной степенью z–Икс, т.е. его можно разложить как конечную линейную комбинацию производных формальной дельта-функции по (z–Икс), с коэффициентами в End (V).

Реконструкция: Пусть V - вершинная алгебра, и пусть {J^а} набор векторов с соответствующими полями J^а(z) ∈ End (V)[[z^±1]]. Если V натянута на одночлены от положительных весовых коэффициентов полей (т. е. конечные произведения операторов J^а_п применяется к 1, где п отрицательно), то операторное произведение такого монома можно записать в виде обычно заказываемый товар разделенных степенных производных полей (здесь нормальный порядок означает, что полярные члены слева перемещаются вправо). В частности,

${\displaystyle Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:}$

В более общем смысле, если дано векторное пространство V с эндоморфизмом Т и вектор 1, и один присваивается набору векторов J^а набор полей J^а(z) ∈ End (V)[[z^±1]], которые являются взаимно локальными, положительные весовые коэффициенты которых порождают V, и которые удовлетворяют условиям тождества и трансляции, то предыдущая формула описывает структуру вершинной алгебры.

Пример: свободный бозон ранга 1

Базовым примером некоммутативной вертексной алгебры является свободный бозон ранга 1, также называемый вертексной операторной алгеброй Гейзенберга. Он «генерируется» одним вектором б, в том смысле, что применяя коэффициенты поля б(z) = Y(б,z) к вектору 1, получаем остовное множество. Основное векторное пространство - это кольцо многочленов с бесконечной переменной C[Икс₁,Икс₂, ...], где для положительных п, коэффициент б_–N из Y(б,z) действует как умножение на Икс_п, и б_п выступает в качестве п умножить на частную производную в Икс_п. Действие б₀ умножение на ноль, дающее представление Фока "нулевого импульса" V₀ алгебры Ли Гейзенберга (порожденной б_п для целых чисел п, с коммутационными соотношениями [б_п,б_м]=п δ_{n, –m}), т.е. индуцированный тривиальным представлением подалгебры, натянутой на б_п, п ≥ 0.

Пространство Фока V₀ может быть преобразована в вертексную алгебру следующей реконструкцией:

${\displaystyle Y(x_{n_{1}+1}x_{n_{2}+1}x_{n_{3}+1}...x_{n_{k}+1},z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}b(z)\partial ^{n_{2}}b(z)...\partial ^{n_{k}}b(z):}$

где: ..: обозначает нормальный порядок (т.е. перемещение всех производных в Икс Направо). Вершинные операторы также могут быть записаны как функционал от функции многих переменных f как:

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

если мы понимаем, что каждый член в разложении f нормально упорядочен.

Звание п свободный бозон дается взятием п-кратное тензорное произведение свободного бозона ранга 1. Для любого вектора б в п-мерное пространство, есть поле б(z), коэффициенты которого являются элементами ранга п Алгебра Гейзенберга, коммутационные соотношения которой имеют дополнительный член внутреннего произведения: [б_п,c_м]=п (б, в) δ_{n, –m}.

Пример: вертексные операторные алгебры Вирасоро

Вершинные операторные алгебры Вирасоро важны по двум причинам: во-первых, конформный элемент в алгебре вершинных операторов канонически индуцирует гомоморфизм из алгебры вершинных операторов Вирасоро, поэтому они играют универсальную роль в теории. Во-вторых, они тесно связаны с теорией унитарных представлений алгебры Вирасоро и играют важную роль в конформная теория поля. В частности, унитарные минимальные модели Вирасоро являются простыми факторами этих вершинных алгебр, а их тензорные произведения обеспечивают способ комбинаторного построения более сложных алгебр вершинных операторов.

Алгебра вертексных операторов Вирасоро определяется как индуцированное представление Алгебра Вирасоро: Если мы выберем центральную плату c, существует единственный одномерный модуль для подалгебры C[z] ∂_z + K для которого K действует cId и C[z] ∂_z действует тривиально, и соответствующий индуцированный модуль натянут на многочлены от L_–N = –Z^{−n – 1}∂_z так как п колеблется от целых чисел больше 1. В этом случае модуль имеет функцию распределения

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$.

Это пространство имеет структуру алгебры вертексных операторов, в которой вершинные операторы определяются:

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

и ${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$. Дело в том, что месторождение Вирасоро L (z) является локальным по отношению к самому себе, можно вывести из формулы для его самокоммутатора:

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

где c это центральный заряд.

Для гомоморфизма вершинной алгебры из вершинной алгебры Вирасоро с центральным зарядом c Для любой другой вершинной алгебры вершинный оператор, связанный с образом ω, автоматически удовлетворяет соотношениям Вирасоро, т.е. образ ω является конформным вектором. И наоборот, любой конформный вектор в вертексной алгебре индуцирует выделенный гомоморфизм вертексной алгебры из некоторой вершинной операторной алгебры Вирасоро.

Алгебры вершинных операторов Вирасоро просты, за исключением случаев, когда c имеет вид 1–6 (п–q)²/pq для взаимно простых целых чисел п,q строго больше единицы - это следует из формулы определителя Каца. В этих исключительных случаях имеется единственный максимальный идеал, и соответствующий фактор называется минимальной моделью. Когда п = q+1, вершинные алгебры являются унитарными представлениями Вирасоро, а их модули известны как представления дискретных серий. Они играют важную роль в конформной теории поля отчасти потому, что они необычайно сговорчивы, а для малых п, они соответствуют известным статистическая механика системы в критическом состоянии, например, Модель Изинга, то трикритическая модель Изинга, три государства Модель Поттса и др. Работой Вэйкан Ван^[2] что касается правила слияния, мы имеем полное описание тензорных категорий унитарных минимальных моделей. Например, когда c= 1/2 (Изинг), существует три неприводимых модуля с младшим L₀-вес 0, 1/2 и 1/16, а его плавильное кольцо Z[Икс,у]/(Икс²–1, у²–Икс–1, ху–у).

Пример: вакуумные модули WZW

Заменив Алгебра Ли Гейзенберга с раскрученным аффинная алгебра Каца – Муди (т.е. универсальный центральное расширение из алгебра петель на конечномерном простом Алгебра Ли ), можно построить вакуумное представление во многом так же, как строится вертексная алгебра свободных бозонов. Здесь WZW означает Модель Весса – Зумино – Виттена., что дает аномалия это интерпретируется как центральное расширение.

Конкретно, отводя центральную пристройку

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

по включению ${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$ дает расщепленное расширение, и вакуумный модуль индуцируется из одномерного представления последнего, на котором центральный базисный элемент действует посредством некоторой выбранной константы, называемой «уровнем». Поскольку центральные элементы можно отождествить с инвариантными скалярными произведениями на алгебре Ли конечного типа ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, обычно уровень нормализуется так, чтобы Форма убийства имеет уровень вдвое выше двойного Число Кокстера. Эквивалентно первый уровень дает внутренний продукт, для которого самый длинный корень имеет норму 2. Это соответствует алгебра петель соглашение, где уровни дискретизируются третьими когомологиями односвязных компактных групп Ли.

Выбирая основу J^а алгебры Ли конечного типа, можно сформировать базис аффинной алгебры Ли, используя J^а_п = J^а т^п вместе с центральным элементом K. По реконструкции мы можем описать вершинные операторы как нормально заказанный продукты производных от месторождений

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

Когда уровень некритичен, то есть внутренний продукт не минус половина формы Киллинга, вакуумное представление имеет конформный элемент, задаваемый Строительство Сугавара.^[а] Для любого выбора двойных баз J^а, J_а относительно внутреннего продукта уровня 1 конформный элемент

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

и дает алгебру вершинных операторов, центральный заряд является ${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$. На критическом уровне конформная структура разрушается, поскольку знаменатель равен нулю, но можно производить операторы L_п для п ≥ –1, взяв предел как k приближается критичность.

Эту конструкцию можно изменить, чтобы она работала для свободного бозона ранга 1. Фактически векторы Вирасоро образуют однопараметрическое семейство ω_s = 1/2 Икс₁² + с Икс₂, наделяя полученные вершинные операторные алгебры центральным зарядом 1−12s². Когда s= 0, мы имеем следующую формулу для градуированной размерности:

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

Это известно как производящая функция для перегородки, а также записывается как q^1/24 умноженный на вес −1/2 модулярной формы 1 / η ( Функция Дедекинда эта ). Звание п свободный бозон тогда имеет п семейство параметров векторов Вирасоро, и когда эти параметры равны нулю, символ q^{п / 24} раз больше веса -п/ 2 модульная форма η⁻ⁿ.

Модули

Как и обычные кольца, вершинные алгебры допускают понятие модуля или представления. Модули играют важную роль в конформной теории поля, где их часто называют секторами. Стандартное предположение в физической литературе состоит в том, что полная Гильбертово пространство конформной теории поля разлагается на сумму тензорных произведений левостороннего и правостороннего секторов:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}}$

То есть, конформная теория поля имеет алгебру вертексных операторов левосторонних киральных симметрий, вертексную операторную алгебру правых киральных симметрий, а секторы, движущиеся в заданном направлении, являются модулями соответствующей вертексной операторной алгебры.

Учитывая вершинную алгебру V с умножением Y, а V-модуль - векторное пространство M оснащен действием Y^M: V ⊗ M → M((z)), удовлетворяющие следующим условиям:

(Личность) Y^M(1, z) = Id_M

(Ассоциативность, или тождество Якоби) Для любого ты, v ∈ V, ш ∈ M, есть элемент

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

такой, что Y^M(ты,z)Y^M(v,Икс)ш и Y^M(Y(ты,z–Икс)v,Икс)шсоответствующие разложения ${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$ в M((z))((Икс)) и M((Икс))((z–Икс)). Эквивалентно следующее "Личность Якоби "держит:

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

Модули вершинной алгебры образуют абелева категория. При работе с алгебрами вершинных операторов предыдущему определению присваивается имя "слабый модуль ", и V-модули требуются для выполнения дополнительного условия, что L₀ действует полупросто с конечномерными собственными подпространствами и ограниченными снизу собственными значениями в каждом классе смежности Z. Работа Хуанга, Леповски, Миямото и Чжана показала на различных уровнях общности, что модули алгебры вершинных операторов допускают операцию тензорного произведения слияния и образуют плетеная тензорная категория.

Когда категория V-модули полупросты с конечным числом неприводимых объектов, алгебра вершинных операторов V называется рациональным. Алгебры рациональных вершинных операторов, удовлетворяющие дополнительной гипотезе конечности (известной как Чжу C₂-собенности), как известно, ведут себя особенно хорошо и называются «регулярными». Например, теорема Чжу 1996 г. о модульной инвариантности утверждает, что характеры модулей регулярной ВОА образуют векторнозначное представление SL₂(Z). В частности, если VOA голоморфный, т.е. его категория представления эквивалентна категории векторных пространств, то его статистическая сумма равна SL₂(Z) -инвариантно с точностью до константы. Хуанг показал, что категорией модулей регулярной ВОА является модульная тензорная категория, и его правила слияния удовлетворяют Формула Верлинде.

Чтобы связать с нашим первым примером, неприводимые модули свободного бозона ранга 1 имеют вид Пространства Фока V_λ с некоторым фиксированным импульсом λ, т.е. индуцированные представления Алгебра Ли Гейзенберга, где элемент б₀ действует скалярным умножением на λ. Пространство можно записать как C[Икс₁,Икс₂,...]v_λ, где v_λ - выделенный вектор основного состояния. Категория модулей не является полупростой, поскольку можно индуцировать представление абелевой алгебры Ли, где б₀ действует нетривиальным Иорданский блок. Для звания п свободный бозон, имеется неприводимый модуль V_λ для каждого вектора λ в комплексе п-мерное пространство. Каждый вектор б ∈ C^п дает оператор б₀, и пространство Фока V_λ отличается тем, что каждое такое б₀ действует как скалярное умножение на внутренний продукт (б, λ).

В отличие от обычных колец, вершинные алгебры допускают понятие скрученного модуля, присоединенного к автоморфизму. Для автоморфизма σ порядка N, действие имеет вид V ⊗ M → M((z^{1 / N})) со следующими монодромия состояние: если ты ∈ V удовлетворяет σ ты = exp (2πik/N)ты, тогда ты_п = 0, если п удовлетворяет п+k/N ∈ Z (Есть разногласия по поводу знаков среди специалистов). Геометрически скрученные модули могут быть прикреплены к точкам ветвления на алгебраической кривой с разветвленный Обложка Галуа. В литературе по конформной теории поля скрученные модули называют скрученные сектора, и тесно связаны с теорией струн на орбифолды.

Алгебра вершинных операторов, заданная четной решеткой

Конструкция решетчатой ​​вершинной алгебры была исходной мотивацией для определения вершинных алгебр. Он строится путем взятия суммы неприводимых модулей для свободного бозона, соответствующего векторам решетки, и определения операции умножения путем задания операторов сплетения между ними. То есть, если Λ является четной решеткой, решеточная вершинная алгебра V_Λ распадается на свободные бозонные модули как:

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

Решеточные вершинные алгебры канонически присоединены к двойным покрытиям четные целые решетки, а не сами решетки. Хотя каждая такая решетка имеет единственную решеточную вершинную алгебру с точностью до изоморфизма, конструкция вершинной алгебры не является функториальной, поскольку решеточные автоморфизмы имеют неоднозначность в подъеме.^[1]

Рассматриваемые двойные накрытия однозначно определяются с точностью до изоморфизма по следующему правилу: элементы имеют вид ± е_α для векторов решетки α ∈ Λ (т.е. есть карта для Λ отправка е_α к α, который забывает знаки), а умножение удовлетворяет соотношениям е_αе_β = (–1)^{(α, β)}е_βе_α. Другой способ описать это: если задана четная решетка Λсуществует единственная (с точностью до кограницы) нормированная коцикл ε(α, β) с ценностями ±1 такой, что (−1)^(α,β) = ε(α, β) ε(β, α), где условием нормировки является ε (α, 0) = ε (0, α) = 1 для всех α ∈ Λ. Этот коцикл индуцирует центральное расширение Λ группой порядка 2, и мы получаем скрученное групповое кольцо C_ε[Λ] с основанием е_α (α ∈ Λ), и правило умножения е_αе_β = ε(α, β)е_α+β - условие коцикла на ε обеспечивает ассоциативность кольца.^[3]

Вершинный оператор, связанный с вектором младшего веса v_λ в пространстве Фока V_λ является

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

где z^λ является сокращением для линейного отображения, которое принимает любой элемент α-фоковского пространства V_α к одночлену z^(λ,α). Затем посредством реконструкции определяются вершинные операторы для других элементов пространства Фока.

Как и в случае свободного бозона, можно выбрать конформный вектор, задаваемый элементом s векторного пространства Λ ⊗ C, но условие целочисленности лишних фоковских пространств L₀ собственные значения ограничивают выбор s: для ортонормированного базиса Икс_я, вектор 1/2 Икс_{я, 1}² + s₂ должен удовлетворить (s, λ) ∈ Z для всех λ ∈ Λ, т. е. s лежит в двойственной решетке.

Если четная решетка Λ порождается его «корневыми векторами» (удовлетворяющими (α, α) = 2), и любые два корневых вектора соединены цепочкой корневых векторов с последовательными скалярными произведениями, отличными от нуля, то алгебра вершинных операторов является единственным простым частным вакуумного модуля аффинной алгебры Каца – Муди соответствующей простой простой алгебры Ли на уровне 1. Это известно как Френкель-Кац (или Френкель –Kac –Сегал ) и основан на более ранней конструкции Серджио Фубини и Габриэле Венециано из тахионный вершинный оператор в модель двойного резонанса. Среди других особенностей нулевые режимы вершинных операторов, соответствующих корневым векторам, дают конструкцию базовой простой алгебры Ли, связанной с представлением, первоначально из-за Жак Титс. В частности, строятся все группы Ли типа ADE непосредственно из их корневых решеток. И это обычно считается самым простым способом построить 248-мерную группу. E₈.^[3][4]

Вершинные операторные супералгебры

Позволяя лежащему в основе векторному пространству быть суперпространством (т.е. Z/2Z-градуированное векторное пространство ${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}$) можно определить вершинная супералгебра по тем же данным, что и вершинная алгебра, с 1 в V₊ и Т четный оператор. Аксиомы по сути те же, но нужно включить подходящие знаки в аксиому локальности или в одну из эквивалентных формулировок. То есть, если а и б однородны, сравнивается Y(а,z)Y(б,ш) с εY(б,ш)Y(а,z), где ε равно –1, если оба а и б нечетные и 1 в противном случае. Если дополнительно в четной части есть элемент Вирасоро ω V₂, и обычные ограничения градуировки выполнены, то V называется супералгебра вершинных операторов.

Один из простейших примеров - супералгебра вершинных операторов, порожденная одним свободным фермионом ψ. Как представление Вирасоро, оно имеет центральный заряд 1/2 и разлагается как прямая сумма модулей Изинга наименьшего веса 0 и 1/2. Его также можно описать как спиновое представление алгебры Клиффорда на квадратичном пространстве т^1/2C[т,т⁻¹](dt)^1/2 с остаточным спариванием. Вершинная операторная супералгебра голоморфна в том смысле, что все модули являются прямыми суммами самих себя, т. Е. Категория модулей эквивалентна категории векторных пространств.

Тензорный квадрат свободного фермиона называется свободным заряженным фермионом, и в силу бозон-фермионного соответствия он изоморфен решеточной вершинной супералгебре, присоединенной к нечетной решетке Z.^[3] Это соответствие было использовано Дате-Джимбо-Кашивара-Мива для построения солитон решения для Иерархия КП нелинейных УЧП.

Суперконформные структуры

Алгебра Вирасоро имеет некоторые суперсимметричные расширения которые естественно появляются в суперконформная теория поля и теория суперструн. В N= 1, 2 и 4 суперконформные алгебры имеют особое значение.

Бесконечно малые голоморфные суперконформные преобразования сверхкривая (с одной четной локальной координатой z и N нечетные локальные координаты θ₁, ..., θ_N) порождаются коэффициентами тензора сверхнапряжения – энергии Т(z, θ₁, ..., θ_N).

Когда N=1, Т имеет нечетную часть, заданную полем Вирасоро L(z), и даже часть, заданная полем

${\displaystyle G(z)=\sum _{n}G_{n}z^{-n-3/2}}$

с учетом коммутационных отношений

• ${\displaystyle [G_{m},L_{n}]=(m-n/2)G_{m+n}}$
• ${\displaystyle [G_{m},G_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c}$

Изучая симметрию операторных произведений, можно найти две возможности для поля г: индексы п либо все целые числа, что дает Алгебра Рамона, или все полуцелые числа, что дает Алгебра Невё – Шварца. Эти алгебры имеют представления унитарных дискретных серий в центральный заряд

${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8}{m(m+2)}}\quad m\geq 3}$

и унитарные представления для всех c больше 3/2, с наименьшим весом час только сдерживается час≥ 0 для Невё – Шварца и час ≥ c/ 24 для Рамона.

An N= 1 суперконформный вектор в вершинной операторной алгебре V центрального заряда c является нечетным элементом τ ∈ V веса 3/2, что

${\displaystyle Y(\tau ,z)=G(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},}$

г_−1/2τ = ω, а коэффициенты при г(z) дают действие N= 1 алгебра Невё – Шварца при центральном заряде c.

Для N= 2 суперсимметрии, получаем четные поля L(z) и J(z) и нечетные поля г⁺(z) и г⁻(z). Поле J(z) порождает действие алгебр Гейзенберга (описываемое физиками как U(1) ток). Есть и Рамон, и Невё – Шварц. N= 2 суперконформных алгебры, в зависимости от того, выполняется ли индексация на г поля целочисленные или полуцелые. Однако U(1) ток порождает однопараметрическое семейство изоморфных суперконформных алгебр, интерполирующих между Рамоном и Невё-Шварцем, и эта деформация структуры известна как спектральный поток. Унитарные представления даются дискретными рядами с центральным зарядом c = 3-6/м для целых чисел м не менее 3 и континуум наименьших весов для c > 3.

An N= 2 суперконформной структурой на вершинной операторной алгебре является пара нечетных элементов τ⁺, τ⁻ веса 3/2, и четный элемент µ веса 1 такой, что τ^± генерировать г^±(z), а µ порождает J(z).

Для N= 3 и 4, унитарные представления имеют только центральные заряды в дискретном семействе с c=3k/ 2 и 6kсоответственно, как k пробегает положительные целые числа.

Дополнительные конструкции

• Подалгебры с фиксированной точкой: учитывая действие группы симметрии на алгебру вершинных операторов, подалгебра фиксированных векторов также является алгеброй вертексных операторов. В 2013 году Миямото доказал, что два важных свойства конечности, а именно условие Чжу C₂ и регулярность, сохраняются при взятии неподвижных точек при конечных разрешимых действиях группы.
• Текущие расширения: учитывая вершинную операторную алгебру и некоторые модули с целочисленным конформным весом, можно при благоприятных обстоятельствах описать структуру вертексной операторной алгебры на прямой сумме. Решеточные вершинные алгебры являются стандартным примером этого. Другое семейство примеров - это VOA с фреймами, которые начинаются с тензорных произведений моделей Изинга и добавляют модули, соответствующие соответственно четным кодам.
• Орбифолды: дана конечная циклическая группа, действующая на голоморфной ВОА, предполагается, что можно построить вторую голоморфную ВОА, присоединив неприводимые скрученные модули и взяв неподвижные точки при индуцированном автоморфизме, если эти скрученные модули имеют подходящий конформный вес. Как известно, это верно в частных случаях, например, в группах порядка не выше 3, действующих на решетчатые ВОА.
• Конструкция смежных классов (благодаря Годдарду, Кенту и Оливии): дана вершинная операторная алгебра V центрального заряда c и набор S векторов, можно определить коммутант C(V,S) как подпространство векторов v строго коммутируют со всеми полями из S, т.е. такие, что Y(s,z)v ∈ V [[z]] для всех s ∈ S. Оказывается, это вершинная подалгебра с Y, Т, и идентичность унаследована от V. и если S VOA центрального заряда c_S, коммутант представляет собой ВОА центрального заряда c–c_S. Например, встраивание SU(2) на уровне k+1 в тензорное произведение двух SU(2) алгебры на уровнях k а 1 дает дискретный ряд Вирасоро с п=k+2, q=k+3, и это было использовано для доказательства их существования в 1980-х годах. Снова с SU(2) вложение уровня k+2 в тензорное произведение уровня k а уровень 2 дает N= 1 суперконформная дискретная серия.
• Редукция BRST: для любого вектора степени 1 v удовлетворение v₀²= 0, когомологии этого оператора имеют структуру градуированной вершинной супералгебры. В более общем смысле, можно использовать любое поле веса 1, остаток которого имеет квадрат ноль. Обычный метод - тензор с фермионами, так как тогда получается канонический дифференциал. Важным частным случаем является применение квантовой редукции Дринфельда-Соколова к аффинным алгебрам Каца – Муди для получения аффинных W-алгебры как когомологии степени 0. Эти W алгебры также допускают конструкции как вершинные подалгебры свободных бозонов, заданные ядрами операторов экранирования.

Дополнительные примеры

• В монстр вершинная алгебра ${\displaystyle V^{\natural }}$ (также называемый «модулем самогона»), ключ к доказательству Борчердса Чудовищный самогон гипотез, был построен Френкелем, Леповски и Меурманом в 1988 году. Он примечателен тем, что его статистическая сумма является модулярным инвариантом. j–744, и его группа автоморфизмов является самой большой спорадической простой группой, известной как группа монстров. Он построен путем орбифолдинга решетки Лича VOA с помощью автоморфизма порядка 2, индуцированного отражением решетки Лича в начале координат. То есть формируется прямая сумма решетки Лича VOA со скрученным модулем и выбираются неподвижные точки при индуцированной инволюции. Френкель, Леповски и Меурман в 1988 г. предположили, что ${\displaystyle V^{\natural }}$ - единственная голоморфная вершинная операторная алгебра с центральным зарядом 24 и статистической суммой j–744. Это предположение остается открытым.
• Киральный комплекс де Рама: Маликов, Шехтман и Вайнтроб показали, что методом локализации можно канонически присоединить систему bcβγ (бозон-фермионное суперполе) к гладкому комплексному многообразию. Этот комплекс пучков имеет выделенный дифференциал, а глобальные когомологии являются вершинной супералгеброй. Бен-Цви, Хелуани и Щесны показали, что риманова метрика на многообразии индуцирует N= 1 суперконформная структура, которая превращается в N= 2, если метрика кэлерова и Риччи-плоская, а гиперкэлерова структура индуцирует N= 4 структура. Борисов и Либгобер показали, что можно получить двухпеременную эллиптический род компактного комплексного многообразия из когомологий Кирала де Рама - если многообразие является многообразием Калаби-Яу, то этот род является слабым Форма Якоби.^[5]

Связанные алгебраические структуры

• Если рассматривать только сингулярную часть ОПЕ в вершинной алгебре, можно прийти к определению Конформная алгебра Ли. Поскольку часто интересует только особая часть ОПЕ, это делает конформные алгебры Ли естественным объектом для изучения. Существует функтор из вершинных алгебр в конформные алгебры Ли, который забывает регулярную часть ОПЕ, и он имеет левый сопряженный, называемый функтором «универсальной вертексной алгебры». Вакуумные модули аффинных алгебр Каца – Муди и вершинных алгебр Вирасоро являются универсальными вершинными алгебрами, и, в частности, их можно очень кратко описать после разработки базовой теории.
• В литературе есть несколько обобщений понятия вершинной алгебры. Некоторые мягкие обобщения включают ослабление аксиомы локальности, чтобы позволить монодромию, например, абелевы сплетающие алгебры Донга и Леповского. Их можно грубо рассматривать как объекты вершинной алгебры в плетеной тензорной категории градуированных векторных пространств, во многом так же, как вершинная супералгебра является таким объектом в категории супервекторных пространств. Более сложные обобщения относятся к q-деформации и представления квантовых групп, например, в работах Френкеля – Решетихина, Этингофа – Каждана и Ли.
• Бейлинсон и Дринфельд ввели теоретико-пучковое понятие киральная алгебра это тесно связано с понятием вершинной алгебры, но определяется без использования каких-либо видимых степенных рядов. Учитывая алгебраическая кривая Икс, киральная алгебра на Икс это D_Икс-модуль А оснащена операцией умножения ${\displaystyle j_{*}j^{*}(A\boxtimes A)\to \Delta _{*}A}$ на Икс×Икс который удовлетворяет условию ассоциативности. Они также ввели эквивалентное понятие факторизационная алгебра то есть система квазикогерентных пучков на всех конечных произведениях кривой, вместе с условием совместимости, включающим откаты к дополнению различных диагоналей. Любую трансляционно-эквивариантную киральную алгебру на аффинной прямой можно отождествить с вертексной алгеброй, взяв слой в точке, и есть естественный способ присоединить киральную алгебру на гладкой алгебраической кривой к любой вершинной операторной алгебре.

Смотрите также

• Операторная алгебра

Заметки

1. История постройки Сугавары сложна, потребовалось несколько попыток, чтобы получить правильную формулу.[1]

Цитаты

1. Borcherds 1986.
2. Ван 1993.
3. Кац 1998.
4. Френкель, Леповски и Меурман, 1988 г..
5. Борисов и Либгобер (2000).

Источники

• Борчердс, Ричард (1986), "Вершинные алгебры, алгебры Каца-Муди и монстр", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 83: 3068–3071, Bibcode:1986PNAS ... 83.3068B, Дои:10.1073 / pnas.83.10.3068, ЧВК  323452, PMID  16593694
• Борисов, Лев А .; Либгобер, Анатолий (2000), "Эллиптические роды торических многообразий и приложения к зеркальной симметрии", Inventiones Mathematicae, 140 (2): 453–485, arXiv:математика / 9904126, Дои:10.1007 / s002220000058, Г-Н  1757003
• Френкель, Эдвард; Бен-Цви, Давид (2001), Вершинные алгебры и алгебраические кривые, Математические обзоры и монографии, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2894-0
• Френкель, Игорь; Леповски, Джеймс; Меурман, Арне (1988), Вершинные операторные алгебры и монстр, Чистая и прикладная математика, 134, Academic Press, ISBN  0-12-267065-5
• Кац Виктор (1998), Вершинные алгебры для начинающих, Серия университетских лекций, 10 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1396-X
• Ван, Вэйцян (1993), "Рациональность алгебр вершинных операторов Вирасоро", Duke Math. J. IMRN, 71: 197–211
• Сюй, Сяопин (1998), Введение в супералгебры вершинных операторов и их модули, Спрингер, ISBN  079235242-4