Суперконформная алгебра - Superconformal algebra

В теоретическая физика, то суперконформная алгебра это градуированная алгебра Ли или же супералгебра который сочетает в себе конформная алгебра и суперсимметрия. В двух измерениях суперконформная алгебра бесконечномерна. В более высоких измерениях суперконформные алгебры конечномерны и порождают суперконформная группа (в двух евклидовом измерении Супералгебра Ли не генерирует никаких Супергруппа Ли ).

Суперконформная алгебра в размерности больше 2

Конформная группа ${\displaystyle (p+q)}$-мерное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ является ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$ и его алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$. Суперконформная алгебра - это супералгебра Ли, содержащая бозонный фактор ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ и чьи нечетные генераторы преобразуются в спинорные представления ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$. Учитывая классификацию Кача конечномерных простых супералгебр Ли, это может произойти только при малых значениях ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$. Список (возможно, неполный)

• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)}$ в 3 + 0D благодаря ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)}$ в 2 + 1D благодаря ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)}$ в 4 + 0D благодаря ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)}$ в 3 + 1D благодаря ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)}$ в 2 + 2D благодаря ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}$;
• реальные формы ${\displaystyle F(4)}$ в пяти измерениях
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)}$ в 5 + 1D, благодаря тому, что спинорные и фундаментальные представления ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}$ отображаются друг в друга внешними автоморфизмами.

Суперконформная алгебра в 3 + 1D

В соответствии с ^[1][2] суперконформная алгебра с ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ суперсимметрии в 3 + 1 измерениях задаются бозонными генераторами ${\displaystyle P_{\mu }}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$, ${\displaystyle K_{\mu }}$, U (1) R-симметрия ${\displaystyle A}$, SU (N) R-симметрия ${\displaystyle T_{j}^{i}}$ и фермионные генераторы ${\displaystyle Q^{\alpha i}}$, ${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$, ${\displaystyle S_{i}^{\alpha }}$ и ${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$. Здесь, ${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots }$ обозначают пространственно-временные индексы; ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots }$ левые спинорные индексы Вейля; ${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots }$ правые спинорные индексы Вейля; и ${\displaystyle i,j,\dots }$ индексы внутренней R-симметрии.

Сверхскобки Ли бозонной конформная алгебра даны

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$

где η - Метрика Минковского; а фермионные генераторы:

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$

Бозонные конформные генераторы не несут никаких R-зарядов, поскольку они коммутируют с генераторами R-симметрии:

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

Но фермионные генераторы несут R-заряд:

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$

При бозонных конформных преобразованиях фермионные генераторы преобразуются как:

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$

Суперконформная алгебра в 2D

Основная статья: супер алгебра Вирасоро

Есть две возможные алгебры с минимальной суперсимметрией в двух измерениях; алгебра Невё – Шварца и алгебра Рамона. Возможна дополнительная суперсимметрия, например N = 2 суперконформная алгебра.

Смотрите также

• Конформная симметрия
• Супер алгебра Вирасоро
• Алгебра суперсимметрии

Рекомендации

1. Запад, Питер С. (1997). «Введение в жесткие суперсимметричные теории». arXiv:hep-th / 9805055.
2. Гейтс, С. Дж .; Грисару, Маркус Т .; Рочек, М.; Сигель, В. (1983). «Суперпространство, или тысяча и один урок суперсимметрии». Границы физики. 58: 1–548. arXiv:hep-th / 0108200. Bibcode:2001hep.th .... 8200G.