Супер алгебра Вирасоро - Super Virasoro algebra

В математическая физика, а супер алгебра Вирасоро является расширение из Алгебра Вирасоро к Супералгебра Ли. Есть два расширения, которые особенно важны в теория суперструн: the Алгебра Рамона (названный в честь Пьер Рамон )^[1] и Алгебра Невё – Шварца (названный в честь Андре Невё и Джон Генри Шварц ).^[2] Обе алгебры имеют N = 1 суперсимметрия и четная часть, заданная алгеброй Вирасоро. Они описывают симметрии суперструны в двух разных секторах, называемых Рамондовый сектор и Сектор Невё – Шварца.

В N = 1 супералгебры Вирасоро

Есть два минимальных расширения алгебры Вирасоро с N = 1 суперсимметрия: алгебра Рамона и алгебра Невё – Шварца. Обе они являются супералгебрами Ли, чья четная часть - алгебра Вирасоро: эта алгебра Ли имеет базис, состоящий из центральный элемент C и генераторы L_м (для целого м) удовлетворение

${ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + { frac {c} {12}} m (m ^ {2} -1) delta _ {m + n, 0}}$

куда ${ displaystyle delta _ {я, j}}$ это Дельта Кронекера.

Нечетная часть алгебры имеет базис ${ displaystyle G_ {r}}$ , куда ${ displaystyle r}$ является либо целым числом (случай Рамона), либо половинным нечетным целым числом (случай Невё – Шварца). В обоих случаях, ${ displaystyle c}$ является центральным в супералгебре, а дополнительные градуированные скобки задаются формулами

${ displaystyle [L_ {m}, G_ {r}] = left ({ frac {m} {2}} - r right) G_ {m + r}}$

${ displaystyle {G_ {r}, G_ {s} } = 2L_ {r + s} + { frac {c} {3}} left (r ^ {2} - { frac {1} { 4}} right) delta _ {r + s, 0}}$

Обратите внимание, что эта последняя скобка является антикоммутатор, не коммутатор, поскольку оба генератора нечетные.

Алгебра Рамона имеет презентация в виде 2 генераторов и 5 условий; а алгебра Невё-Шварца представлена в терминах 2 образующих и 9 условий.^[3]

Представления

Унитарный представления наивысшего веса Классификация этих алгебр аналогична классификации алгебры Вирасоро, с континуумом представлений вместе с бесконечной дискретной серией. О существовании этих дискретных серий предположил Даниэль Фридан, Zongan Qiu и Стивен Шенкер (1984). Это было доказано Питер Годдард, Адриан Кент и Дэвид Олив (1986), используя суперсимметричное обобщение конструкция смежного класса или строительство ГКО.

Приложение к теории суперструн

В теории суперструн фермионные поля на закрытая строка может быть периодическим или антипериодическим на окружности струны. Государства в «секторе Рамона» допускают один вариант (периодические условия называются Рамон граничные условия), описываемые алгеброй Рамона, а те, что находятся в «секторе Невё – Шварца», допускают другое (антипериодические условия называются Граничные условия Невё – Шварца), описываемый алгеброй Невё – Шварца.

Для фермионное поле, периодичность зависит от выбора координат на мировой лист. в W-образная рама, в котором мировой лист состояния одиночной струны описывается как длинный цилиндр, состояния в секторе Невё – Шварца антипериодичны, а состояния в секторе Рамона являются периодическими. в z-рамка, в котором мировой лист состояния одиночной струны описывается как бесконечная перфорированная плоскость, верно и обратное.

Сектор Невё – Шварца и сектор Рамона также определены в открытой струне и зависят от граничных условий фермионное поле по краям открытой струны.

Смотрите также

Примечания

^ Рамонд П. (1971-05-15). «Двойственная теория свободных фермионов». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 3 (10): 2415–2418. Дои:10.1103 / Physrevd.3.2415. ISSN 0556-2821.
^ Neveu, A .; Шварц, Дж. (1971). «Бестахионная дуальная модель с положительной траекторией пересечения». Письма по физике B. Elsevier BV. 34 (6): 517–518. Дои:10.1016/0370-2693(71)90669-1. ISSN 0370-2693.
^ Fairlie, D. B .; Nuyts, J .; Захос, К. К. (1988). «Презентация алгебр Вирасоро и супервирасоро». Коммуникации по математической физике. 117 (4): 595. Bibcode:1988CMaPh.117..595F. Дои:10.1007 / BF01218387.

Рекомендации

Беккер, К .; Беккер, М .; Шварц, Дж. (2007), Теория струн и М-теория: современное введение, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-86069-5
Годдард, П.; Kent, A .; Олив, Д. (1986), «Унитарные представления алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро», Comm. Математика. Phys., 103: 105–119, Bibcode:1986CMaPh.103..105G, Дои:10.1007 / bf01464283, заархивировано из оригинал на 2012-12-09
Грин, Майкл Б.; Шварц, Джон Х.; Виттен, Эдвард (1988a), Теория суперструн, Том 1: Введение, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0521357527
Kac, Victor G .; Тодоров, Иван Т. (1985), "Суперконформные алгебры токов и их унитарные представления", Comm. Математика. Phys., 102: 337–347, Bibcode:1985CMaPh.102..337K, Дои:10.1007 / bf01229384
Казама, Йоичи; Сузуки, Хисао (1989), "Новое N = 2 суперконформные теории поля и компактификация суперструн », Ядерная физика B, 321: 232–268, Bibcode:1989НуФБ.321..232К, Дои:10.1016/0550-3213(89)90250-2
Mezincescu, L .; Непомечье, И .; Захос, К. К. (1989). «(Супер) конформная алгебра на (супер) торе». Ядерная физика B. 315: 43. Bibcode:1989НуФБ.315 ... 43М. Дои:10.1016/0550-3213(89)90448-3.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)

[1] Рамонд П. (1971-05-15). «Двойственная теория свободных фермионов». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 3 (10): 2415–2418. Дои:10.1103 / Physrevd.3.2415. ISSN 0556-2821.

[2] Neveu, A .; Шварц, Дж. (1971). «Бестахионная дуальная модель с положительной траекторией пересечения». Письма по физике B. Elsevier BV. 34 (6): 517–518. Дои:10.1016/0370-2693(71)90669-1. ISSN 0370-2693.

[3] Fairlie, D. B .; Nuyts, J .; Захос, К. К. (1988). «Презентация алгебр Вирасоро и супервирасоро». Коммуникации по математической физике. 117 (4): 595. Bibcode:1988CMaPh.117..595F. Дои:10.1007 / BF01218387.

[1]

[2]

[3]