Рамон-Рамонское месторождение - Ramond–Ramond field

В теоретическая физика, Рамон-Рамонские поля находятся дифференциальная форма поля в 10-мерном пространство-время типа II супергравитация теории, которые являются классическими пределами теория струн типа II. Ранги полей зависят от того, какая теория типа II рассматривается. В качестве Джозеф Полчински утверждал в 1995 году, D-браны являются заряженными объектами, которые действуют как источники для этих полей, в соответствии с правилами p-форма электродинамики. Было высказано предположение, что квантовые поля RR не являются дифференциальными формами, а вместо этого классифицируются скрученными K-теория.

Прилагательное «Рамонд – Рамонд» отражает тот факт, что в Формализм RNS, эти поля появляются в Рамон – Рамонский сектор в котором все векторные фермионы периодичны. Оба использования слова «Рамонд» относятся к Пьер Рамон, исследовавшие такие граничные условия (так называемые Граничные условия Рамона ) и полей, которые им удовлетворяют в 1971 г.^[1]

Определение полей

Поля в каждой теории

Как в Теория электромагнетизма Максвелла и его обобщение, p-форма электродинамики, Поля Рамона – Рамона (RR) попадают в пары, состоящие из p-форма потенциал C_п и (п + 1) -форма напряженность поля грамм_п+1. Напряженность поля, как обычно, определяется как внешняя производная потенциала грамм_п+1 = Округ Колумбия_п.

Как обычно в таких теориях, если допустить топологически нетривиальные конфигурации или заряженную материю (D-браны ), то связи определены только на каждом координата патч пространства-времени, а значения на различных участках склеиваются с помощью функций перехода. В отличие от электромагнетизма при наличии нетривиального Напряженность поля в трех формах Невё – Шварца напряженность поля, определенная выше, больше не является калибровочно-инвариантной, и поэтому ее также необходимо определять фрагментарно, при этом струна Дирака вне данного фрагмента интерпретируется как D-брана. Это дополнительное усложнение является причиной некоторых наиболее интересных явлений в теории струн, таких как Переход Ханани – Виттена.

Выбор допустимых значений p зависит от теории. В супергравитации типа IIA поля существуют для п = 1 и п = 3. В супергравитации типа IIB, с другой стороны, существуют поля для п = 0, п = 2 и п = 4, хотя п = 4 ограничено, чтобы удовлетворять условию самодуальности грамм₅ = *грамм₅ где Ходжа звезда. Условие самодуальности не может быть наложено лагранжианом без введения дополнительных полей или нарушения явной суперпуанкаре-инвариантности теории, поэтому супергравитация типа IIB считается нелагранжевой теорией. Третья теория, называемая массивной или Римлянам IIA супергравитация, включает напряженность поля грамм₀Римляне называли мессу. Будучи нулевой формой, он не имеет соответствующей связи. Кроме того, уравнения движения предполагают, что масса римлян постоянна. В квантовой теории Джозеф Полчински показал, что грамм₀ целое число, которое увеличивается на единицу при пересечении D8-брана.

Демократическая формулировка

Часто бывает удобно использовать демократическая формулировка теории струн типа II, которую ввел Пол Таунсенд в п-Брановая демократия. В Д-брана Действия Весса-Зумино, Т-дуальность и космологическая постоянная Майкл Грин, Крис Халл и Пол Таунсенд построили напряженности поля и нашли калибровочные преобразования, которые оставляют их инвариантными. Наконец в Новые формулировки суперсимметрии D = 10 и доменных стенок D8-O8 авторы завершили формулировку, предоставив лагранжиан и объяснив роль фермионов. В эту формулировку включаются все четные значения напряженности поля в IIA и все нечетные значения напряженности поля в IIB. Дополнительные напряженности поля определяются как звездное состояние грамм_п= * G_{10 − p}. В качестве проверки согласованности обратите внимание, что условие звезды совместимо с автодуальностью G₅, таким образом, демократическая формулировка содержит то же количество степеней свободы, что и исходная формулировка. Подобно попыткам одновременного включения электрического и магнитного потенциалов в электромагнетизм, потенциалы двойной калибровки не могут быть добавлены к демократически сформулированному лагранжиану таким образом, чтобы сохранить очевидную локальность теории. Это связано с тем, что двойные потенциалы получаются из исходных потенциалов путем интегрирования звездного состояния.

Калибровочные преобразования Рамона – Рамона.

Ланграгианы супергравитации типа II инвариантны относительно ряда локальные симметрии, Такие как диффеоморфизмы и местные суперсимметрия трансформации. Кроме того, различные поля формы преобразуются при калибровочных преобразованиях Невё – Шварца и Рамона – Рамона.

В демократической формулировке калибровочные преобразования Рамона – Рамона калибровочных потенциалов, оставляющие действие инвариантным, имеют вид

${\displaystyle C_{p}\rightarrow C_{p}+d\Lambda _{p-1}+H\wedge \Lambda _{p-3}}$

где H - напряженность поля 3-формы Невё-Шварца и калибровочные параметры ${\displaystyle \Lambda _{q}}$ являются q-формами. Поскольку калибровочные преобразования смешивают различные ${\displaystyle \Lambda _{q}}$необходимо, чтобы каждая форма RR преобразовывалась одновременно с использованием одного и того же набора параметров датчика. H-зависимые члены, не имеющие аналогов в электромагнетизме, необходимы для сохранения вклада в действие Черн – Саймонс термины, которые присутствуют в теориях супергравитации типа II.

Обратите внимание, что существует несколько калибровочных параметров, соответствующих одному и тому же калибровочному преобразованию, в частности, мы можем добавить любые (d + ЧАС) -закрытая форма для Lambda. Таким образом, в квантовой теории мы должны также калибровать калибровочные преобразования, а затем калибровать их и так далее, пока размерности не станут достаточно низкими. в Фадеев – Попов квантование это соответствует добавлению башни призраков. Математически, в случае, когда H обращается в нуль, результирующая структура является Когомологии Делиня пространства-времени. Для нетривиального H после включения Условие квантования Дирака, предполагается, что вместо этого дифференциальная K-теория.

Обратите внимание, что благодаря H-членам в калибровочных преобразованиях напряженности поля также нетривиально преобразуются

${\displaystyle G_{p+1}\rightarrow G_{p+1}+H\wedge d\Lambda _{p-3}.}$

Улучшенная напряженность поля

Часто вводят улучшенная напряженность поля

${\displaystyle F_{p+1}=G_{p+1}+H\wedge C_{p-2}}$

калибровочно-инвариантные.

Хотя они калибровочно-инвариантны, улучшенные напряженности поля не являются ни замкнутыми, ни квантованными, вместо этого они только скручены-замкнуты. Это означает, что они удовлетворяют уравнению движения ${\displaystyle dF_{p+1}=H\wedge F_{p-1}}$, что является Бьянки идентичность ${\displaystyle 0=d^{2}C_{p}}$. Они также «скручены-квантованы» в том смысле, что можно преобразовать обратно к исходной напряженности поля, интегралы которой по компактным циклам квантованы. Это исходная напряженность поля, источником которой является заряд D-браны, в том смысле, что интеграл исходной напряженности поля p-формы G_п по любому стягиваемому p-циклу равна заряду D (8-p) -браны, связанному этим циклом. Поскольку заряд D-браны квантован, G_п, а не улучшенная напряженность поля, квантуются.

Полевые уравнения

Уравнения и тождества Бьянки

Как обычно в p-формы калибровочные теории поля формы должны подчиняться классической уравнения поля и Бьянки идентичности. Первые выражают условие, что вариации действия по отношению к различным полям должны быть тривиальными. Теперь мы ограничим наше внимание теми полевыми уравнениями, которые возникают из-за вариации полей Рамона-Рамона (RR), но на практике их необходимо дополнить уравнениями поля, возникающими из вариаций поля B-поле Невё – Шварца, гравитон, дилатон и их суперпартнёры - гравитино и дилатино.

В демократической формулировке тождество Бианки для напряженности поля G_{п + 1} является классическим полевым уравнением для его двойственного по Ходжу G_{9 − п}, и поэтому достаточно наложить тождества Бианки для каждого поля RR. Это как раз те условия, при которых потенциалы КР C_п определены локально, поэтому действующая на них внешняя производная нильпотентна

${\displaystyle 0=d^{2}C_{p}=dG_{p+1}=dF_{p+1}+H\wedge G_{p-1}.}$

D-браны источники для полей RR

Во многих приложениях желательно добавить источники для полей RR. Эти источники называются D-браны. Как в классический электромагнетизм можно добавить источники, включив связь C_п${\displaystyle {\mathcal {J}}_{10-p}}$ потенциала p-формы в ток (10-p) -формы ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{10-p}}$ в Лагранжиан плотность. Обычно в литературе по теории струн принято не писать этот термин явно в действии.

Электрический ток ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{10-p}}$ изменяет уравнение движения, которое возникает из-за изменения C_п. Как и в случае с магнитные монополи в электромагнетизме этот источник также аннулирует двойную идентичность Бьянки, поскольку это точка, в которой двойственное поле не определено. В модифицированном уравнении движения ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{p+2}}$ появляется в левой части уравнения движения вместо нуля. Для простоты в будущем мы также будем менять местами п и 7 -п, то уравнение движения при наличии источника имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {J}}_{9-p}=d^{2}C_{7-p}=dG_{8-p}=dF_{8-p}+H\wedge G_{6-p}.}$

(9-p) -форма ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{9-p}}$ - ток Dp-браны, а значит, он Пуанкаре двойственный к мировому объему (п + 1) -мерный протяженный объект, называемый Dp-браной. Несоответствие одного в схеме именования является историческим и происходит из-за того, что один из п + 1 направления, охваченные Dp-браной, часто временноподобны, оставляя p пространственных направлений.

Вышеупомянутое тождество Бианки интерпретируется как означающее, что Dp-брана, по аналогии с магнитные монополи в электромагнетизме, магнитно заряженный под RR п-форма C_7−п. Если вместо этого рассматривать это тождество Бианки как уравнение поля для C_п+1, то говорят, что Dp-брана электрически заряжена под (п + 1) -форма C_{п + 1}.

Приведенное выше уравнение движения подразумевает, что есть два способа получить заряд Dp-браны из потоков окружающей среды. Во-первых, можно интегрировать dG_8-п над поверхностью, что даст заряд Dp-браны, пересекаемой этой поверхностью. Второй способ связан с первым соотношением Теорема Стокса. Можно интегрировать G_8-п в течение цикла это даст заряд Dp-браны, связанный этим циклом. Затем квантование заряда Dp-браны в квантовой теории подразумевает квантование напряженности поля G, но не улучшенной напряженности поля F.

Витая K-теория интерпретация

Было высказано предположение, что RR поля, как и D-браны, классифицируются скрученными K-теория. В этом контексте приведенные выше уравнения движения имеют естественную интерпретацию. Из уравнений движения без источника для улучшенной напряженности поля F следует, что формальная сумма всех F_п's является элементом H-скрученной когомологии де Рама. Это версия когомологий Де Рама, в которой дифференциалом является не внешняя производная d, а (d + H), где H - 3-форма Невё-Шварца. Обратите внимание на то, что (d + H), как это необходимо для корректного определения когомологий, стремится к нулю.

Улучшенные значения напряженности поля F живут в классической теории, где переход от квантовой к классической интерпретируется рациональными числами как тензор. Значит, F должна быть некоторой рациональной версией извращенной K-теории. Такая рациональная версия, по сути, характеристический класс скрученной K-теории, уже известна. Это скрученный класс Черна определено в Скрученная K-теория и K-теория расслоений гербов к Питер Баукнегт, Алан Л. Кэри, Варгезе Матхай, Майкл К. Мюррей и Дэнни Стивенсон и расширен в Характер Черна в скрученной K-теории: эквивариантный и голоморфный случаи. Авторы показали, что скрученные характеры Черна всегда являются элементами H-скрученных когомологий де Рама.

В отличие от улучшенных значений напряженности поля, исходные значения G представляют собой раскрученные интегральные классы когомологий. Кроме того, G не являются калибровочно-инвариантными, что означает, что они не определены однозначно, а могут быть определены только как классы эквивалентности. Они соответствуют классам когомологий в Спектральная последовательность Атьи Хирцебруха построение скрученной K-теории, которые определены только с точностью до членов, замкнутых относительно любого из ряда дифференциальные операторы.

Исходные члены, по-видимому, препятствуют существованию класса K-теории. Другие уравнения движения, например, полученные путем варьирования B-поля НЗ, не имеют интерпретаций K-теории. Включение этих поправок в рамки K-теории - открытая проблема. Чтобы узнать больше об этой проблеме, нажмите здесь.

Смотрите также

• Поле Калба – Рамона

Примечания

1. Рамонд П. (1971-05-15). «Двойственная теория свободных фермионов». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 3 (10): 2415–2418. Дои:10.1103 / Physrevd.3.2415. ISSN  0556-2821.

Рекомендации

• Хорошее введение в различные значения напряженности поля в теориях с членами Черна – Саймонса: Термины Черна-Саймонса и три понятия заряда к Дональд Марольф.
• Демократическую формулировку 10-мерной супергравитации можно найти в Новые формулировки суперсимметрии D = 10 и доменных стенок D8-O8 к Эрик Бергшофф, Рената Каллош, Томас Ортин, Дидерик Руст и Антуан Ван Проайен. Он включает многие детали, отсутствующие в исходной статье Таунсенда, но ограничивает внимание топологически тривиальной 3-формой Невё-Шварца.