Обобщенная сложная структура - Generalized complex structure

В области математика известный как дифференциальная геометрия, а обобщенная сложная структура является собственностью дифференциальный коллектор это включает в качестве особых случаев сложная структура и симплектическая структура. Обобщенные сложные структуры были введены Найджел Хитчин в 2002 году и далее разработанные его учениками Марко Гуальтьери и Гил Кавальканти.

Эти структуры впервые возникли в программе Хитчина по описанию геометрических структур с помощью функционалы из дифференциальные формы, соединение, которое легло в основу Робберт Дейкграаф, Сергей Гуков, Эндрю Нейтцке и Джумрун Вафа предложение 2004 г. топологические теории струн являются частными случаями топологическая M-теория. Сегодня обобщенные сложные структуры также играют ведущую роль в физическом теория струн, в качестве суперсимметричный компактификации потока, которые связывают 10-мерную физику с 4-мерными мирами, такими как наш, требуют (возможно, искаженных) обобщенных сложных структур.

Определение

Обобщенное касательное расслоение

Рассмотрим N-многообразие M. В касательный пучок из M, который обозначим Т, это векторный набор над M волокна которого состоят из всех касательные векторы к M. А раздел из Т это векторное поле на M. В котангенсный пучок из M, обозначенный Т^*, - векторное расслоение над M чьи разделы одноформный на M.

В сложная геометрия рассматриваются структуры на касательных расслоениях многообразий. В симплектическая геометрия вместо этого человек интересуется внешние силы котангенсного пучка. Обобщенная геометрия объединяет эти два поля, рассматривая разделы обобщенное касательное расслоение, какой прямая сумма ${displaystyle mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*}}$ касательных и кокасательных расслоений, которые являются формальными суммами векторного поля и одной формы.

Волокна наделены натуральным внутренний продукт с подпись (N, N). Если Икс и Y векторные поля и ξ и η являются одноформными, то внутренний продукт X + ξ и Y + η определяется как

${displaystyle langle X+xi ,Y+eta angle ={frac {1}{2}}(xi (Y)+eta (X)).}$

А обобщенная почти сложная структура это просто почти сложная структура обобщенного касательного пучка, сохраняющего естественный внутренний продукт:

${displaystyle {mathcal {J}}:mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*} o mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*}}$

такой, что ${displaystyle {mathcal {J}}^{2}=-{m {Id}},}$ и

${displaystyle langle {mathcal {J}}(X+xi ),{mathcal {J}}(Y+eta )angle =langle X+xi ,Y+eta angle .}$

Как и в случае с обычным почти сложная структура, обобщенная почти комплексная структура однозначно определяется своим ${displaystyle {sqrt {-1}}}$-собственное расслоение, т. е. подгруппа ${displaystyle L}$ комплексифицированного обобщенного касательного расслоения ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} }$данный

${displaystyle L={X+xi in (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} : {mathcal {J}}(X+xi )={sqrt {-1}}(X+xi )}}$

Такая подгруппа L удовлетворяет следующим свойствам:

(i) пересечение с его комплексно сопряженный это нулевой участок: ${displaystyle Lcap {overline {L}}=0}$;

(ii) L является максимальный изотропный, т.е. его комплекс классифицировать равно N и ${displaystyle langle ell ,ell 'angle =0}$ для всех ${displaystyle ell ,ell 'in L.}$

И наоборот, любая подгруппа L удовлетворяющий (i), (ii), является ${displaystyle {sqrt {-1}}}$-собственное расслоение единственной обобщенной почти комплексной структуры, так что свойства (i), (ii) можно рассматривать как альтернативное определение обобщенной почти комплексной структуры.

Кронштейн Куранта

В обычной сложной геометрии почти сложная структура является интегрируемый к сложная структура если и только если Кронштейн лжи двух секций голоморфный подрасслоение - это еще один раздел голоморфного подрасслоения.

В обобщенной комплексной геометрии человека интересуют не векторные поля, а формальные суммы векторных полей и одноформ. Своеобразная скобка Ли для таких формальных сумм была введена в 1990 г. и называется Кронштейн Куранта который определяется

${displaystyle [X+xi ,Y+eta ]=[X,Y]+{mathcal {L}}_{X}eta -{mathcal {L}}_{Y}xi -{frac {1}{2}}d(i(X)eta -i(Y)xi )}$

куда ${displaystyle {mathcal {L}}_{X}}$ это Производная Ли вдоль векторного поля Икс, d это внешняя производная и я это интерьерный продукт.

Определение

А обобщенная сложная структура является обобщенной почти сложной структурой, такой что пространство гладких сечений L закрывается скобкой Куранта.

Максимальные изотропные подгруппы

Классификация

Существует взаимно однозначное соответствие между максимальными изотропными подгруппа из ${displaystyle mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*}}$ и пары ${displaystyle (mathbf {E} ,varepsilon )}$ куда E это часть Т и ${displaystyle varepsilon }$ это 2-форма. Это соответствие прямо распространяется на сложный случай.

Учитывая пару ${displaystyle (mathbf {E} ,varepsilon )}$ можно построить максимально изотропное подрасслоение ${displaystyle L(mathbf {E} ,varepsilon )}$ из ${displaystyle mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*}}$ следующее. Элементами подгруппы являются формальные суммы ${displaystyle X+xi }$ где векторное поле Икс это раздел E и одноформный ξ ограничено двойное пространство ${displaystyle mathbf {E} ^{*}}$ равно однозначной ${displaystyle varepsilon (X).}$

Чтобы увидеть это ${displaystyle L(mathbf {E} ,varepsilon )}$ изотропен, обратите внимание, что если Y это раздел E и ${displaystyle xi }$ ограниченный ${displaystyle mathbf {E} ^{*}}$ является ${displaystyle varepsilon (X)}$ тогда ${displaystyle xi (Y)=varepsilon (X,Y),}$ как часть ${displaystyle xi }$ ортогонален ${displaystyle mathbf {E} ^{*}}$ уничтожает Y. Поэтому, если ${displaystyle X+xi }$ и ${displaystyle Y+eta }$ это разделы ${displaystyle mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*}}$ тогда

${displaystyle langle X+xi ,Y+eta angle ={frac {1}{2}}(xi (Y)+eta (X))={frac {1}{2}}(varepsilon (Y,X)+varepsilon (X,Y))=0}$

и так ${displaystyle L(mathbf {E} ,varepsilon )}$ изотропен. Более того, ${displaystyle L(mathbf {E} ,varepsilon )}$ максимально, потому что есть ${displaystyle dim(mathbf {E} )}$ (сложные) параметры выбора для ${displaystyle mathbf {E} ,}$ и ${displaystyle varepsilon }$ не ограничивается дополнять из ${displaystyle mathbf {E} ^{*},}$ который имеет (комплексную) размерность ${displaystyle n-dim(mathbf {E} ).}$ Таким образом, общая (комплексная) размерность в п. Гуальтьери доказал, что все максимальные изотропные подрасслоения имеют вид ${displaystyle L(mathbf {E} ,varepsilon )}$ для некоторых ${displaystyle mathbf {E} }$ и ${displaystyle varepsilon .}$

Тип

В тип максимального изотропного подрасслоения ${displaystyle L(mathbf {E} ,varepsilon )}$ это реальная размерность подрасслоения, которое аннигилирует E. Эквивалентно 2N минус реальный размер проекция из ${displaystyle L(mathbf {E} ,varepsilon )}$ на касательный пучок Т. Другими словами, типом максимального изотропного подрасслоения является коразмерность его проекции на касательное расслоение. В сложном случае используется комплексное измерение, и тип иногда называют сложный тип. Хотя тип подгруппы в принципе может быть любым целым числом от 0 до 2N, обобщенные почти сложные структуры не могут иметь тип больше, чем N потому что сумма подрасслоения и его комплексно сопряженного элемента должна быть ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} .}$

Тип максимального изотропного подрасслоения: инвариантный под диффеоморфизмы а также при сменах B-поле, которые изометрии из ${displaystyle mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*}}$ формы

${displaystyle X+xi longrightarrow X+xi +i_{X}B}$

куда B - произвольная замкнутая 2-форма, называемая B-полем в теория струн литература.

Тип обобщенно-почти сложной структуры в общем случае непостоянен, он может перепрыгнуть на любой даже целое число. Однако это верхний полунепрерывный, что означает, что у каждой точки есть открытая окрестность, в которой тип не увеличивается. На практике это означает, что подмножества большего типа, чем объемлющий тип, встречаются на подмногообразиях с положительными коразмерность.

Реальный индекс

Реальный индекс р максимального изотропного подпространства L это комплексное измерение пересечение из L с его комплексно сопряженным. Максимальное изотропное подпространство в ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} }$ является обобщенно почти сложной структурой тогда и только тогда, когда р = 0.

Канонический комплект

Как и в случае с обычной сложной геометрией, существует соответствие между обобщенными почти сложными структурами и сложные линейные пучки. Комплексное линейное расслоение, соответствующее конкретной обобщенной почти сложной структуре, часто называют канонический пакет, поскольку он обобщает канонический пакет в обычном случае. Иногда его также называют чистый спинорный пучок, поскольку его разделы чистые спиноры.

Обобщенные почти сложные структуры

Каноническое расслоение - это одномерное комплексное подрасслоение расслоения ${displaystyle mathbf {Lambda } ^{*}mathbf {T} otimes mathbb {C} }$ сложных дифференциальных форм на M. Напомним, что гамма-матрицы определить изоморфизм между дифференциальными формами и спинорами. В частности, четные и нечетные формы отображаются на две киральности Спиноры Вейля. Векторы действуют на дифференциальные формы, создаваемые продуктом интерьера. Единые формы действуют на формы, заданные продуктом клина. Таким образом, разделы связки ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} }$ действуют по дифференциальным формам. Это действие представление действия Алгебра Клиффорда на спинорах.

Спинор называется чистый спинор если он аннигилирует половиной набора образующих алгебры Клиффорда. Спиноры - это разделы нашего пакета ${displaystyle mathbf {Lambda } ^{*}mathbf {T} ,}$ а генераторы алгебры Клиффорда являются слоями другого нашего расслоения ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} .}$ Следовательно, данный чистый спинор аннигилирует полумерным подрасслоением E из ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} .}$ Такие подгруппы всегда изотропны, поэтому для определения почти сложной структуры нужно только наложить, что сумма E и его комплексное сопряжение - это все ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} .}$ Это верно, когда клин чистого спинора и его комплексно сопряженного спинора содержит компоненту верхней размерности. Такие чистые спиноры определяют обобщенно-почти сложные структуры.

Учитывая обобщенную почти комплексную структуру, можно также определить чистый спинор с точностью до умножения на произвольный сложная функция. Эти выборы чистых спиноров определяются как сечения канонического расслоения.

Интегрируемость и другие структуры

Если чистый спинор, определяющий конкретную сложную структуру, есть закрыто или, в более общем смысле, если его внешняя производная равна действию гамма-матрицы на себя, то почти комплексная структура интегрируема, и поэтому такие чистые спиноры соответствуют обобщенным комплексным структурам.

Если далее наложить, что каноническое расслоение голоморфно тривиально, имея в виду, что это глобальные сечения, которые являются замкнутыми формами, то оно определяет обобщенную структуру Калаби-Яу и M считается обобщенное многообразие Калаби-Яу.

Местная классификация

Канонический комплект

Локально все чистые спиноры могут быть записаны в одном и том же виде, в зависимости от целого числа k, 2-форма B-поля B, невырожденная симплектическая форма ω и a k-форма Ω. В локальной окрестности любой точки a чистый спинор Ф, порождающее каноническое расслоение, всегда можно записать в виде

${displaystyle Phi =e^{B+iomega }Omega }$

где Ω разложимо как клин одноформ.

Обычная точка

Определите подгруппу E комплексифицированного касательного расслоения ${displaystyle mathbf {T} otimes mathbb {C} }$ быть проекцией голоморфного подрасслоения L из ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} }$ к ${displaystyle mathbf {T} otimes mathbb {C} .}$ В определении обобщенной почти комплексной структуры мы наложили, что пересечение L а его конъюгат содержит только начало, иначе они не смогли бы охватить все ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} .}$ Однако пересечение их проекций не должно быть тривиальным. Обычно это пересечение имеет вид

${displaystyle Ecap {overline {E}}=Delta otimes mathbb {C} }$

для некоторого подрасслоения Δ. Точка, имеющая открыто район в котором размер волокон Δ постоянен, называется обычная точка.

Теорема Дарбу

Основная статья: Теорема Дарбу

Каждая регулярная точка в обобщенном комплексном многообразии имеет открытую окрестность, которая после диффеоморфизма и сдвига B-поля имеет ту же обобщенную комплексную структуру, что и Декартово произведение из комплексное векторное пространство ${displaystyle mathbb {C} ^{k}}$ и стандартное симплектическое пространство ${displaystyle mathbb {R} ^{2n-2k}}$ со стандартной симплектической формой, которая является прямая сумма из двух двумя недиагональными матрицами с элементами 1 и −1.

Локальная голоморфность

Вблизи нерегулярных точек приведенная выше классификационная теорема неприменима. Однако в любой точке обобщенное комплексное многообразие с точностью до диффеоморфизма и B-поля является произведением симплектического многообразия на обобщенное комплексное многообразие, имеющее комплексный тип в этой точке, во многом подобно теореме Вайнштейна для локальной структуры Пуассоновы многообразия. Остается вопрос о локальной структуре: как выглядит обобщенная сложная структура около точки сложного типа? Фактически, он будет индуцирован голоморфным Структура Пуассона.

Примеры

Комплексные многообразия

Пространство сложных дифференциальных форм ${displaystyle mathbf {Lambda } ^{*}mathbf {T} otimes mathbb {C} }$ имеет операцию комплексного сопряжения, заданную комплексным сопряжением в ${displaystyle mathbb {C} .}$ Это позволяет определить голоморфный и антиголоморфный одноформные и (м, п) -формы, которые являются однородными многочленами от этих одноформ с м голоморфные факторы и п антиголоморфные факторы. В частности, все (п, 0) -формы связаны локально умножением на сложную функцию и, таким образом, образуют сложный линейный пучок.

(п, 0) -формы являются чистыми спинорами, так как они аннулируются антиголоморфными касательными векторами и голоморфными одноформами. Таким образом, это линейное расслоение можно использовать как каноническое расслоение для определения обобщенной сложной структуры. Ограничение аннигилятора от ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} }$ к комплексифицированному касательному расслоению получается подпространство антиголоморфных векторных полей. Следовательно, эта обобщенная комплексная структура на ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} }$ определяет обычный сложная структура на касательном расслоении.

Поскольку только половина базиса векторных полей голоморфна, эти сложные структуры имеют тип N. На самом деле комплексные многообразия и многообразия, полученные умножением чистого спинорного расслоения, определяющего комплексное многообразие, на комплекс, ${displaystyle partial }$-закрытые (2,0) -формы, являются единственным типом N обобщенные комплексные многообразия.

Симплектические многообразия

Чистое спинорное расслоение, порожденное

${displaystyle phi =e^{iomega }}$

для невырожденной двумерной формы ω определяет симплектическую структуру на касательном пространстве. Таким образом, симплектические многообразия также являются обобщенными комплексными многообразиями.

Вышеупомянутый чистый спинор определен глобально, поэтому каноническое расслоение тривиально. Это означает, что симплектические многообразия - это не только обобщенные комплексные многообразия, но на самом деле это обобщенные многообразия Калаби-Яу.

Чистый спинор ${displaystyle phi }$ связан с чистым спинором, который представляет собой просто число, посредством мнимого сдвига B-поля, который является сдвигом Кэлерова форма. Следовательно, эти обобщенные комплексные структуры того же типа, что и соответствующие скаляр чистый спинор. Скаляр аннулируется всем касательным пространством, поэтому эти структуры имеют тип 0.

Вплоть до сдвига B-поля, который соответствует умножению чистого спинора на экспоненту замкнутой вещественной 2-формы, симплектические многообразия являются единственными обобщенными комплексными многообразиями типа 0. Многообразия, симплектические с точностью до сдвига B-поля, иногда называют B-симплектический.

Отношение к G-структурам

Некоторые из почти структур в обобщенной сложной геометрии можно перефразировать на языке G-структуры. Слово «почти» удаляется, если структура интегрируема.

Пакет ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} }$ с указанным выше внутренним продуктом - это O (2п, 2п) структура. Обобщенная почти комплексная структура - это сведение этой структуры к U (п, п) структура. Следовательно, пространство обобщенных комплексных структур является смежным классом

${displaystyle {frac {O(2n,2n)}{U(n,n)}}.}$

А обобщенная почти кэлерова структура пара поездка на работу обобщенные комплексные структуры такие, что минус произведение соответствующих тензоров является положительно определенной метрикой на ${displaystyle (mathbf {T} oplus mathbf {T} ^{*})otimes mathbb {C} .}$ Обобщенные кэлеровы структуры - это редукции структурной группы к ${displaystyle U(n) imes U(n).}$ Обобщенные кэлеровы многообразия и их скрученные аналоги эквивалентны бигермитовы многообразия обнаружен Сильвестр Джеймс Гейтс, Крис Халл и Мартин Рочек в контексте 2-мерного суперсимметричный квантовые теории поля в 1984 г.

Наконец, обобщенная почти метрическая структура Калаби-Яу представляет собой дальнейшее сведение структурной группы к ${displaystyle SU(n) imes SU(n).}$

Калаби против метрики Калаби – Яу

Обратите внимание, что обобщенная метрическая структура Калаби, введенная Марко Гуальтьери, является более сильным условием, чем обобщенная структура Калаби – Яу, введенная Найджел Хитчин. В частности, обобщенная метрическая структура Калаби – Яу подразумевает существование двух коммутирующих обобщенных почти комплексных структур.

Рекомендации

• Хитчин, Найджел (2003). «Обобщенные многообразия Калаби-Яу». Ежеквартальный журнал математики. 54 (3): 281–308. Дои:10.1093 / qmath / hag025.
• Гуальтьери, Марко (2004). Обобщенная сложная геометрия (Кандидатская диссертация). arXiv:math.DG / 0401221.
• Гуальтьери, Марко (2011). «Обобщенная сложная геометрия». Анналы математики. (2). 174 (1): 75–123. Дои:10.4007 / летопись.2011.174.1.3.
• Гранья, Мариана (2006). «Компактификации потоков в теории струн: всесторонний обзор». Phys. Представитель. 423: 91–158. arXiv:hep-th / 0509003.
• Дейкграаф, Робберт; Гуков Сергей; Neitzke, Эндрю; Вафа, Джумрун (2005). «Топологическая М-теория как объединение форм теории гравитации». Успехи теоретической и математической физики. 9 (4): 603–665. Дои:10.4310 / ATMP.2005.v9.n4.a5.