Замкнутые и точные дифференциальные формы - Closed and exact differential forms

В математика, особенно векторное исчисление и дифференциальная топология, а закрытая форма это дифференциальная форма α чей внешняя производная равно нулю (dα = 0) и точная форма - дифференциальная форма, α, то есть внешняя производная другой дифференциальной формы β. Таким образом, точный форма находится в образ из d, а закрыто форма находится в ядро из d.

Для точной формы α, α = dβ для некоторой дифференциальной формы β степени на один меньше, чем у α. Форма β называется «потенциальной формой» или «примитивом» для α. Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не является уникальным, но может быть изменен добавлением любой закрытой формы степени на единицу меньше, чем у α.

Потому что d² = 0, каждая точная форма обязательно закрыта. Вопрос в том, каждый закрытая форма точна зависит от топология интересующей области. На стягиваемый домена, каждая закрытая форма точна Лемма Пуанкаре. Более общие вопросы такого рода о произвольной дифференцируемое многообразие являются предметом когомологии де Рама, что позволяет получить чисто топологический информация с использованием дифференциальных методов.

Примеры

Дальнейшая информация: Номер обмотки

Векторное поле, соответствующее dθ.

Простым примером закрытой, но не точной формы является 1-форма ${\displaystyle d\theta }$^{[примечание 1]} дается производной от аргумент на проколотый самолет ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}}$. С ${\displaystyle \theta }$ на самом деле не функция (см. следующий абзац) ${\displaystyle d\theta }$ это не точная форма. По-прежнему, ${\displaystyle d\theta }$ имеет нулевую производную и поэтому замкнута.

Обратите внимание, что аргумент ${\displaystyle \theta }$ определяется только до целого числа, кратного ${\displaystyle 2\pi }$ с единственной точки ${\displaystyle p}$ могут быть назначены разные аргументы ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle r+2\pi }$и т. д. Мы можем назначать аргументы локально согласованным образом вокруг ${\displaystyle p}$, но не глобально согласованным образом. Это потому, что если мы проследим цикл от ${\displaystyle p}$ против часовой стрелки вокруг начала координат и обратно к ${\displaystyle p}$, аргумент увеличивается на ${\displaystyle 2\pi }$. Как правило, аргумент ${\displaystyle \theta }$ изменения на

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

по петле, ориентированной против часовой стрелки ${\displaystyle S^{1}}$.

Хотя аргумент ${\displaystyle \theta }$ технически не является функцией, разные местный определения ${\displaystyle \theta }$ в какой-то момент ${\displaystyle p}$ отличаются друг от друга константами. Поскольку производная при ${\displaystyle p}$ использует только локальные данные, и поскольку функции, которые различаются константой, имеют одну и ту же производную, аргумент имеет глобально четко определенную производную "${\displaystyle d\theta }$".^{[заметка 2]}

В результате ${\displaystyle d\theta }$ является одной формой на ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ это на самом деле не производная какой-либо четко определенной функции ${\displaystyle \theta }$. Мы говорим что ${\displaystyle d\theta }$ не является точный. Ясно, ${\displaystyle d\theta }$ дается как:

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}}}$,

который при осмотре имеет нулевую производную. Потому что ${\displaystyle d\theta }$ имеет нулевую производную, мы говорим, что это закрыто.

Эта форма порождает группу когомологий де Рама ${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\})\cong \mathbf {R} ,}$ означает, что любая закрытая форма ${\displaystyle \omega }$ это сумма точной формы ${\displaystyle df}$ и несколько ${\displaystyle d\theta :}$ ${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta ,}$ где ${\displaystyle \textstyle {k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }}$ учитывает нетривиальный контурный интеграл вокруг начала координат, который является единственным препятствием для замкнутой формы на проколотой плоскости (локально производной потенциальная функция ) - производная от глобально определенной функции.

Примеры в малых размерах

Дифференциальные формы в р² и р³ были хорошо известны в математическая физика девятнадцатого века. На плоскости 0-формы - это просто функции, а 2-формы - это функции, умноженные на основной элемент площади. dx ∧ dy, так что это 1-формы

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

которые представляют реальный интерес. Формула для внешняя производная d вот

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

где нижние индексы обозначают частные производные. Следовательно, условие для ${\displaystyle \alpha }$ быть закрыто является

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

В этом случае, если час(Икс, у) функция, то

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

Таким образом, переход от «точного» к «закрытому» является следствием симметрия вторых производных, относительно Икс и у.

В градиентная теорема утверждает, что 1-форма точна тогда и только тогда, когда линейный интеграл формы зависит только от концов кривой, или, что то же самое, если интеграл вокруг любой гладкой замкнутой кривой равен нулю.

Аналогии с векторным полем

На Риманово многообразие, или в более общем смысле псевдориманово многообразие, k-формы соответствуют k-векторные поля (по двойственность через метрику ), поэтому существует понятие векторного поля, соответствующего замкнутой или точной форме.

В трехмерном пространстве точное векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) называется консервативное векторное поле, что означает, что это производная (градиент ) 0-формы (гладкого скалярного поля), называемой скалярный потенциал. Замкнутое векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) - это поле, производная которого (завиток ) обращается в нуль и называется безвихревое векторное поле.

Если рассматривать векторное поле как 2-форму, замкнутое векторное поле - это поле, производная которого (расхождение ) обращается в нуль и называется несжимаемый поток (иногда соленоидальное векторное поле ). Термин несжимаемый используется потому, что отличная от нуля дивергенция соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью.

Обобщение понятий консервативных и несжимаемых векторных полей на п размеров, потому что градиент и дивергенция обобщаются на п размеры; curl определяется только в трех измерениях, поэтому концепция безвихревого векторного поля не обобщается таким образом.

Лемма Пуанкаре

В Лемма Пуанкаре заявляет, что если B это открытый мяч в р^п, любая гладкая закрытая п-форма ω определено на B точно, для любого целого п с 1 ≤ п ≤ п.^[1]

Переводя при необходимости, можно предположить, что мяч B имеет центр 0. Пусть α_s быть потоком на р^п определяется α_s Икс = е^−s Икс. За s ≥ 0 он несет B в себя и индуцирует действие на функции и дифференциальные формы. Производная потока - векторное поле Икс определены на функциях ж к Xf = d(α_sж)/ds: это радиальное векторное поле −р ∂/∂р = −∑ Икс_я ∂/∂Икс_я. Производная потока по формам определяет Производная Ли относительно Икс данный L_Икс ω = d(α_sω) /ds. Особенно

${\displaystyle \displaystyle {{d \over ds}\alpha _{s}\omega =\alpha _{s}L_{X}\omega ,}}$

Теперь определим

${\displaystyle \displaystyle {h\,\omega =-\int _{0}^{\infty }\alpha _{t}\omega \,dt.}}$

Посредством основная теорема исчисления у нас есть это

${\displaystyle \displaystyle {L_{X}h\,\omega =-\int _{0}^{\infty }\alpha _{t}L_{X}\omega \,dt=-\int _{0}^{\infty }{d \over dt}(\alpha _{t}\omega )\,dt=-[\alpha _{t}\omega ]_{0}^{\infty }=\omega .}}$

С участием ${\displaystyle \displaystyle {\iota _{X}}}$ будучи внутреннее умножение или сжатие векторным полем Икс, Формула Картана утверждает, что^[2]

${\displaystyle \displaystyle {L_{X}=d\iota _{X}+\iota _{X}d.}}$

Используя тот факт, что d ездит с L_Икс, ${\displaystyle \alpha _{s}}$ и час, мы получаем:

${\displaystyle \displaystyle {\omega =L_{X}h\,\omega =(d\iota _{X}+\iota _{X}d)h\omega =d(\iota _{X}h\omega )+\iota _{X}hd\omega .}}$

Настройка

${\displaystyle g(\omega )=\iota _{X}h(\omega ),}$

ведет к идентичности

${\displaystyle (dg+gd)\,\omega =\omega .}$

Отсюда следует, что если ω закрыто, т.е. е. dω = 0, тогда d(грамм ω) = ω, так что ω точна, и лемма Пуанкаре доказана.

(На языке гомологическая алгебра, грамм это «договаривающаяся гомотопия».)

Тот же метод применяется к любому открытому множеству в р^п это звездообразный около 0, т.е. любое открытое множество, содержащее 0 и инвариантное относительно α_т за ${\displaystyle \displaystyle {1<t<\infty }}$.

Другое стандартное доказательство леммы Пуанкаре использует формулу гомотопической инвариантности и может быть найдено в Певица и Торп (1976), стр. 128-132), Ли (2012), Вт (2011) и Ботт и Ту (1982).^[3][4][5] Локальная форма гомотопического оператора описана в Эделен (2005) и связь леммы с Форма Маурера-Картана объясняется в Шарп (1997).^[6][7]

Эту формулировку можно сформулировать в терминах гомотопии между открытыми доменами U в р^м и V в р^п.^[8] Если F(т,Икс) является гомотопией из [0,1] x U к V, набор F_т(Икс) = F(т,Икс). За ${\displaystyle \omega }$ а п-форма на V, определять

${\displaystyle g(\omega )=\int _{0}^{1}\iota _{\partial _{t}}(F_{t}^{*}(\omega ))\,dt}$

потом

${\displaystyle (dg+gd)\,\omega =\int _{0}^{1}(d\iota _{\partial _{t}}+\iota _{\partial _{t}}d)F_{t}^{*}(\omega )\,dt=\int _{0}^{1}L_{\partial _{t}}F_{t}^{*}(\omega )\,dt=\int _{0}^{1}\partial _{t}F_{t}^{*}(\omega )\,dt=F_{1}^{*}(\omega )-F_{0}^{*}(\omega ).}$

пример: В двух измерениях лемма Пуанкаре доказывается непосредственно для замкнутых 1-форм и 2-форм следующим образом.^[9]

Если ω = п dx + q dy замкнутая 1-форма на (а, б) × (c, d), тогда п_у = q_Икс. Если ω = df тогда п = ж_Икс и q = ж_у. Набор

${\displaystyle \displaystyle {g(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt,}}$

так что грамм_Икс = п. потом час = ж − грамм должен удовлетворить час_Икс = 0 и час_у = q − грамм_у. Правая часть здесь не зависит от Икс так как его частная производная по Икс равно 0. Итак

${\displaystyle \displaystyle {h(x,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds-g(a,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds,}}$

и, следовательно

${\displaystyle \displaystyle {f(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt+\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds.}}$

Аналогично, если Ω = р dx ∧ dy тогда Ω = d(а dx + б dy) с б_Икс − а_у = р. Таким образом, решение дается а = 0 и

${\displaystyle \displaystyle {b(x,y)=\int _{a}^{x}r(t,y)\,dt.}}$

Формулировка как когомологии

Когда разница двух закрытых форм является точной формой, они называются когомологичный друг другу. То есть, если ζ и η закрытые формы, и можно найти некоторые β такой, что

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

тогда говорят, что ζ и η когомологичны друг другу. Иногда говорят, что точные формы когомологичен нулю. Множество всех форм, когомологичных данной форме (и, следовательно, друг другу), называется когомологии де Рама класс; общее изучение таких классов известно как когомология. Нет никакого смысла спрашивать, точна ли 0-форма (гладкая функция), поскольку d увеличивает степень на 1; но подсказки из топологии подсказывают, что «точной» следует называть только нулевую функцию. Классы когомологий отождествляются с локально постоянный функции.

Используя сжимающие гомотопии, подобные тем, которые использовались при доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что когомологии де Рама гомотопически инвариантны.^[10]

Применение в электродинамике

В электродинамике случай магнитного поля ${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$ произведенный стационарным электрическим током. Там речь идет о векторный потенциал ${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$ этого поля. Этот случай соответствует k = 2, а определяющая область - полная ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,.}$ Вектор плотности тока равен ${\displaystyle {\vec {j}}\,.}$ Это соответствует нынешней двухформатной

${\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}$

Для магнитного поля ${\displaystyle {\vec {B}}}$ один имеет аналогичные результаты: он соответствует индукционной двумерной форме ${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots ,}$ и может быть получена из векторного потенциала ${\displaystyle {\vec {A}}}$, или соответствующая одноформная ${\displaystyle \mathbf {A} }$,

${\displaystyle {\vec {B}}={\rm {curl\,\,}}{\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

Тем самым векторный потенциал ${\displaystyle {\vec {A}}}$ соответствует потенциальной одноформной

${\displaystyle \mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}$

Замкнутость двуформы магнитной индукции соответствует тому свойству магнитного поля, что оно не имеет источника: ${\displaystyle {\rm {div\,\,}}{\vec {B}}\equiv 0,}$ т.е. что нет магнитные монополи.

В специальной шкале, ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$, это означает, что дляя = 1, 2, 3

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}({\vec {r}}^{\,'})\,\,dx_{1}'dx_{2}'dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,'}|}}\,.}$

(Вот ${\displaystyle \mu _{0}}$ - постоянная магнитная проницаемость вакуума.)

Это уравнение примечательно тем, что полностью соответствует известной формуле для электрические поле ${\displaystyle {\vec {E}}}$, а именно для электростатический кулоновский потенциал ${\displaystyle \,\phi (x_{1},x_{2},x_{3})}$ из плотность заряда ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$. Здесь уже можно догадаться, что

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$ и ${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \,\phi }$ и ${\displaystyle {\vec {A}}}$

возможно единый в количествах с шестью rsp. четыре нетривиальных компонента, что составляет основу релятивистская инвариантность из Уравнения Максвелла.

Если оставить условие стационарности, на l.h.s. вышеупомянутого уравнения необходимо добавить в уравнения для ${\displaystyle A_{i}\,,}$ к трем пространственным координатам, в качестве четвертой переменной также время т, тогда как на r.h.s., в ${\displaystyle j_{i}'\,,}$ так называемое «замедленное время», ${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,'}|}{c}}\,,}$ должен использоваться, то есть добавляется к аргументу плотности тока. Наконец, как и раньше, интегрируют по трем штриховым координатам в пространстве. (Как обычноc - скорость света в вакууме.)

Примечания

1. Это злоупотребление обозначениями. Аргумент ${\displaystyle \theta }$ не является четко определенной функцией, и ${\displaystyle d\theta }$ не является дифференциалом какой-либо нулевой формы. Последующее обсуждение подробно рассматривает этот вопрос.
2. Статья покрытия пространства содержит больше информации о математике функций, которые четко определены только локально.

Сноски

1. Уорнер 1983, стр.155-156
2. Уорнер 1983, стр. 69-72
3. Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-1-4419-9982-5. OCLC  808682771.
4. Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-1-4419-7400-6. OCLC  682907530.
5. Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Тексты для выпускников по математике. 82. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. Дои:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN  978-1-4419-2815-3.
6. Эделен, Доминик Г. Б. (2005). Прикладной внешний исчисление (Ред. Ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-43871-6. OCLC  56347718.
7. Шарп, Р. У. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94732-9. OCLC  34356972.
8. Уорнер 1983, стр.157, 160
9. Напье и Рамачандран 2011, стр. 443-444
10. Уорнер 1983, п. 162-207

Рекомендации

• Фландрия, Харлей (1989) [1963]. Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-66169-8..
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 94, Спрингер, ISBN  0-387-90894-3
• Напье, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности, Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4693-6
• Певец, И.М.; Торп, Дж. А. (1976), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии, Университет Бангалора Press, ISBN  0721114784