Конформная симметрия - Conformal symmetry

В математическая физика, то конформная симметрия из пространство-время выражается расширением Группа Пуанкаре. Расширение включает специальные конформные преобразования и расширение. В трех пространственных плюс одном временном измерении конформная симметрия имеет 15 степени свободы: десять для группы Пуанкаре, четыре для специальных конформных преобразований и один для растяжения.

Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем первыми исследовали конформную симметрию Уравнения Максвелла. Они назвали общее выражение конформной симметрии a преобразование сферической волны. Общая теория относительности в двух измерениях пространства-времени также обладает конформной симметрией.^[1]

Генераторы

В конформная группа имеет следующие представление:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ являются Лоренц генераторы, ${\displaystyle P_{\mu }}$ генерирует переводы, ${\displaystyle D}$ генерирует масштабные преобразования (также известные как дилатации или дилатации) и ${\displaystyle K_{\mu }}$ генерирует специальные конформные преобразования.

Коммутационные отношения

В коммутация отношения следующие:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$

другие коммутаторы исчезают. Вот ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ это Метрика Минковского тензор.

Дополнительно, ${\displaystyle D}$ скаляр и ${\displaystyle K_{\mu }}$ ковариантный вектор относительно Преобразования Лоренца.

Специальные конформные преобразования даются формулами^[3]

${\displaystyle x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$

где ${\displaystyle a^{\mu }}$ - параметр, описывающий преобразование. Это специальное конформное преобразование также можно записать как ${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }}$, где

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$

что показывает, что он состоит из инверсии, за которой следует перевод, за которым следует вторая инверсия.

Координатная сетка до специального конформного преобразования

Та же сетка после специального конформного преобразования

В двухмерном пространство-время, преобразования конформной группы - это конформные преобразования. Есть бесконечно много их.

Более чем в двух измерениях Евклидовы конформные преобразования отображать окружности в окружности, а гиперсферы в гиперсферы с прямой линией, считающейся вырожденной окружностью, а гиперплоскость - вырожденной гиперокружностью.

Более чем через два Лоренцевы измерения, конформные преобразования отображают нулевые лучи в нулевые лучи, а световые конусы - в световые конусы, причем нулевая гиперплоскость является вырожденный световой конус.

Приложения

Конформная теория поля

В релятивистских квантовых теориях поля возможность симметрий строго ограничена Теорема Коулмана – Мандулы при физически разумных предположениях. Максимально возможный глобальный группа симметрии не-суперсимметричный взаимодействующий теория поля это прямой продукт конформной группы с внутренняя группа.^[4] Такие теории известны как конформные теории поля.

Фазовые переходы второго рода

Основная статья: фазовые переходы

Одно конкретное приложение - критические явления в системах с локальным взаимодействия. Колебания^{[требуется разъяснение ]} в таких системах конформно инвариантны в критической точке. Это позволяет классифицировать классы универсальности фазовых переходов с точки зрения конформные теории поля

Конформная инвариантность также присутствует в двумерной турбулентности при высоких Число Рейнольдса.

Физика высоких энергий

Многие теории изучались в физика высоких энергий допускают конформную симметрию^{[Зачем? ]}. Знаменитый^{[Зачем? ]} пример - это N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса. Так же мировой лист в теория струн описывается двумерная конформная теория поля связан с двумерной гравитацией.

Смотрите также

• Конформная карта
• Конформная группа
• Теорема Коулмана – Мандулы
• Ренормализационная группа
• Масштабная инвариантность
• Суперконформная алгебра
• Конформное уравнение Киллинга

использованная литература

1. "гравитация - что делает конформный вариант общей теории относительности?". Обмен физическими стеками. Получено 2020-05-01.
2. Ди Франческо; Матье, Сенешаль (1997). Конформная теория поля. Тексты для выпускников по современной физике. Springer. п. 98. ISBN  978-0-387-94785-3.
3. Ди Франческо; Матье, Сенешаль (1997). Конформная теория поля. Тексты для выпускников по современной физике. Springer. п. 97. ISBN  978-0-387-94785-3.
4. Хуан Малдасена; Александр Жибоедов (2013). «Ограничение конформных теорий поля с более высокой спиновой симметрией». Журнал физики A: математический и теоретический. 46 (21): 214011. arXiv:1112.1016. Bibcode:2013JPhA ... 46u4011M. Дои:10.1088/1751-8113/46/21/214011.