Преобразование сферической волны - Spherical wave transformation

Преобразования сферических волн оставить форму сферические волны а также законы оптика и электродинамика инвариантен во всех инерциальные системы отсчета. Они были определены между 1908 и 1909 годами Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем, и Бейтман дал преобразованию название.^{[M 1]} Они соответствуют конформная группа «преобразований по обратным радиусам» по отношению к каркасу Геометрия сферы Ли, которые были известны уже в 19 веке. Время используется как четвертое измерение как в Пространство Минковского, поэтому преобразования сферических волн связаны с Преобразование Лоренца из специальная теория относительности, и оказывается, что конформная группа пространства-времени включает Группа Лоренца и Группа Пуанкаре как подгруппы. Однако только группы Лоренца / Пуанкаре представляют симметрии всех законов природы, включая механику, тогда как конформная группа связана с определенными областями, такими как электродинамика.^[1][2][3] Кроме того, можно показать, что конформная группа плоскости (соответствующая Группа Мебиуса из расширенная комплексная плоскость ) является изоморфный группе Лоренца.^[4]

Частным случаем геометрии сферы Ли является преобразование по взаимным направлениям или инверсия Лагерра, являясь генератором Группа Лагерра. Он превращает не только сферы в сферы, но и плоскости в плоскости.^[5][6][7] Если время используется как четвертое измерение, близкая аналогия с преобразованием Лоренца, а также изоморфизм группы Лоренца была отмечена несколькими авторами, такими как Бейтман, Картан или же Пуанкаре.^{[M 2][8][M 3][9][10][11][12][13]}

Преобразование по обратным радиусам

Развитие в 19 веке

Инверсии сохранение углов между окружностями впервые обсуждались Дурранде (1820 г.), с Кетле (1827) и Plücker (1828) записав соответствующую формулу преобразования, ${\displaystyle k}$ радиус инверсии:^[14]

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$.

Эти инверсии позже были названы «преобразованиями по обратным радиусам» и стали более известны, когда Томсон (1845, 1847) применил их к сферам с координатами ${\displaystyle x,y,z}$ в ходе разработки метод инверсии в электростатика.^[15] Джозеф Лиувиль (1847) продемонстрировал его математический смысл, показав, что он принадлежит к конформные преобразования производя следующие квадратичная форма:^{[M 4]}

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)}$.

Сам Лиувиль^{[M 5]} и более широко Софус Ли (1871)^{[M 6]} показал, что связанные конформная группа можно дифференцировать (Теорема Лиувилля ): Например, ${\displaystyle \lambda =1}$ включает Евклидова группа обычных движений; ${\displaystyle \lambda \neq 1}$ масштабные преобразования или преобразования подобия в котором координаты предыдущих преобразований умножены на ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$; и ${\displaystyle \lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}$ дает преобразование Томсона по обратным радиусам (инверсии):^{[M 5]}

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

Впоследствии теорема Лиувилля была распространена на ${\displaystyle n}$ размеры по Ли (1871)^{[M 6]} и другие, такие как Дарбу (1878):^{[M 7]}

${\displaystyle \delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)}$.

Эта группа конформных преобразований по обратным радиусам сохраняет углы и превращает сферы в сферы или гиперсферы (видеть Преобразование Мёбиуса, конформная симметрия, специальное конформное преобразование ). Это 6-параметрическая группа на плоскости р² что соответствует Группа Мебиуса из расширенная комплексная плоскость,^[16][4] группа из 10 параметров в космосе р³, и группу из 15 параметров в р⁴. В р² он представляет собой лишь небольшое подмножество всех конформных преобразований в нем, тогда как в р^{2 + п} он идентичен группе всех конформных преобразований (соответствующих преобразованиям Мёбиуса в высших измерениях) в нем в соответствии с теоремой Лиувилля.^[16] Конформные преобразования в р³ часто применялись к тому, что Дарбу (1873) называл «пентасферическими координатами», связывая точки с однородные координаты на основе пяти сфер.^[17][18]

Ориентированные сферы

Другой метод решения подобных сферных задач - записать координаты вместе с радиусом сферы.^[19] Это было использовано Ли (1871 г.) в контексте Геометрия сферы Ли который представляет собой общую структуру сфер-преобразований (являясь частным случаем контактные преобразования ) сохранение линии кривизны и превращая сферы в сферы.^{[M 8]} Ранее упомянутая 10-параметрическая группа в р³ связанных с пентасферическими координатами, расширяется до 15-параметрической группы преобразований сфер Ли, связанных с «гексасферическими координатами» (названных Кляйн в 1893 г.) путем добавления шестой однородной координаты, связанной с радиусом.^{[M 9][17][20]} Поскольку радиус сферы может иметь положительный или отрицательный знак, одна сфера всегда соответствует двум преобразованным сферам. Выгодно устранить эту неоднозначность, присвоив радиусу определенный знак, следовательно, придав сферам также определенную ориентацию, так что одна ориентированная сфера соответствует одной преобразованной ориентированной сфере.^[21] Этот метод время от времени косвенно использовал Ли (1871).^{[M 6]} сам и явно представленный Laguerre (1880).^{[M 10]} Кроме того, Дарбу (1887) привел преобразования по обратным радиусам к форме, в которой радиус р одного шара можно определить, если известен радиус другого шара:^{[M 11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}}$

Использование координат вместе с радиусом часто было связано с методом, который Клейн (1893) назвал «минимальной проекцией»,^{[M 12]} который позже был назван "проекцией изотропии" Blaschke (1926), подчеркивая связь с ориентированными кругами и сферами.^[22] Например, круг с прямоугольными координатами ${\displaystyle x,y}$ и радиус ${\displaystyle r}$ в р² соответствует точке в р³ с координатами ${\displaystyle x,y,z}$. Этот метод некоторое время был известен в геометрии круга (хотя и без использования концепции ориентации) и может быть дополнительно дифференцирован в зависимости от того, рассматривается ли дополнительная координата как воображаемый или реальный: ${\displaystyle z=ir}$ использовался Chasles (1852), Мебиус (1857), Кэли (1867 г.) и Дарбу (1872 г.);^{[M 13]} ${\displaystyle z=r}$ использовался Cousinery (1826), Druckenmüller (1842 г.), а в «циклографии» Фидлер (1882), поэтому последний метод также получил название «циклографической проекции» - см. Э. Мюллер (1910) для резюме.^[23] Этот метод был применен и к сферам^{[M 14]} Дарбу (1872 г.),^{[M 15]} Ложь (1871),^{[M 6]} или Кляйн (1893).^{[M 12]} Позволять ${\displaystyle x,y,z,r}$ и ${\displaystyle x',y',z',r'}$ координаты центра и радиусы двух сфер в трехмерном пространстве р³. Если сферы касаются друг друга с одинаковой ориентацией, их уравнение задается

${\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(r-r')^{2}=0}$.

Параметр ${\displaystyle t=ir}$, эти координаты соответствуют прямоугольным координатам в четырехмерном пространстве р⁴:^{[M 15][M 12]}

${\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(t-t')^{2}=0}$.

В общем, Ли (1871) показал, что конформные точечные преобразования в р^п (состоящие из движений, сходств и преобразований по обратным радиусам) соответствуют в р^п-1 к тем сферным преобразованиям, которые контактные преобразования.^{[M 16][24]} Клейн (1893) указал, что с помощью минимальной проекции на гексасферические координаты 15-параметрические преобразования сферы Ли в р³ представляют собой просто проекции 15-параметрических конформных точечных преобразований в р⁴, а точки в р⁴ можно рассматривать как стереографическая проекция точек сферы в р⁵.^{[M 9][25]}

Отношение к электродинамике

Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем (1909)^{[M 1]} показал, что электромагнитные уравнения не только лоренц-инвариантны, но и шкала и конформный инвариант.^[26] Они инвариантны относительно 15-параметрической группы конформных преобразований ${\displaystyle G_{15}}$ (преобразования по обратным радиусам) в р⁴ создание отношения

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)}$,

куда ${\displaystyle u=ict}$ включает ${\displaystyle t}$ как компонент времени и ${\displaystyle c}$ как скорость света. Бейтман (1909) также заметил эквивалентность ранее упомянутых преобразований сфер Ли в р³, потому что радиус ${\displaystyle r}$ используемый в них можно интерпретировать как радиус ${\displaystyle ct}$ сферической волны, сжимающейся или расширяющейся с ${\displaystyle c}$, поэтому он назвал их «преобразованиями сферических волн».^{[M 17]} Он написал:^{[M 18]}

Когда мы используем представление Дарбу точки в ${\displaystyle S_{4}}$ сферической волной в ${\displaystyle S_{3}}$, группа ${\displaystyle G_{15}}$ становится группой преобразований сферической волны, которые преобразуют сферическую волну в сферическую волну. Эта группа преобразований обсуждалась С. Ли; это группа преобразований, которые преобразуют линии кривизны на поверхности, охваченной сферическими волнами, в линии кривизны на поверхности, охваченной соответствующими сферическими волнами.

В зависимости от ${\displaystyle \lambda }$ их можно разделить на подгруппы:^[27]

(а) ${\displaystyle \lambda =1}$ соответствуют отображениям, которые превращают не только сферы в сферы, но и плоскости в плоскости. Они называются Преобразования / обращения Лагерра образующие группу Лагерра, которые в физике соответствуют преобразованиям Лоренца, образующим 6-параметрическую Группа Лоренца или 10-параметрический Группа Пуанкаре с переводами.^[28]

(б) ${\displaystyle \lambda \neq 1}$ представляет масштабные преобразования или преобразования подобия умножением пространственно-временных переменных преобразований Лоренца на постоянный множитель, зависящий от ${\displaystyle \lambda }$.^[29] Например, если ${\displaystyle l={\sqrt {\lambda }}}$ используется, то преобразование, данное Пуанкаре в 1905 г. следует:^{[M 19]}

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

Однако это было показано Пуанкаре и Эйнштейн только это ${\displaystyle l=1}$ производит группу, которая представляет собой симметрию всех законов природы, как того требует принцип относительности (группа Лоренца), в то время как группа масштабных преобразований является только симметрией оптики и электродинамики.

(c) Настройка ${\displaystyle \lambda =r^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}}$ в особенности относится к широкой конформной группе преобразований по обратным радиусам. Он состоит из элементарных преобразований, представляющих собой обобщенное обращение в четырехмерное гиперсфера:^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z'&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u'&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\end{aligned}}}$

которые становятся реальными преобразованиями сферической волны в терминах геометрии сферы Ли, если действительный радиус ${\displaystyle ct}$ используется вместо ${\displaystyle u=ict}$, таким образом ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}$ дан в знаменателе.^{[M 1]}

Феликс Кляйн (1921) указал на сходство этих соотношений с исследованиями Ли и его собственными исследованиями 1871 года, добавив, что конформная группа не имеет того же значения, что и группа Лоренца, потому что первая применима к электродинамике, тогда как последняя представляет собой симметрию всего. законы природы, включая механику.^{[M 20]} Некоторое время обсуждалась возможность, допускают ли конформные преобразования преобразование в равномерно ускоренные системы отсчета.^[31] Позже конформная инвариантность снова стала важной в некоторых областях, таких как конформная теория поля.^[32]

Группа Лоренца, изоморфная группе Мёбиуса

Дальнейшая информация: Преобразование Мёбиуса § Преобразование Лоренца, и Группа Лоренца § Связь с группой Мёбиуса

Оказывается, что и 6-параметрическая конформная группа р² (т.е. Группа Мебиуса состоит из автоморфизмы из Сфера Римана ),^[4] который, в свою очередь, изоморфен 6-параметрической группе гиперболические движения (т.е. изометрический автоморфизмы гиперболическое пространство ) в р³,^[33] можно физически интерпретировать: она изоморфна группе Лоренца.

Например, Фрике и Кляйн (1897) начал с определения «абсолютного» Метрика Кэли в терминах одночастной криволинейной поверхности второй степени, которая может быть представлена ​​сферой, внутренность которой представляет собой гиперболическое пространство с уравнением^[34]

${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$,

куда ${\displaystyle z_{1},\ z_{2},\ z_{3},\ z_{4}}$ являются однородными координатами. Они указали, что движение гиперболического пространства в себя также трансформирует эту сферу в себя. Они разработали соответствующее преобразование, задав комплексный параметр ${\displaystyle \xi }$ сферы^[35]

${\displaystyle \xi ={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}}$

который связан с другим параметром ${\displaystyle \xi '}$ заменой

${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

куда ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ - комплексные коэффициенты. Кроме того, они показали, что, установив ${\displaystyle z_{1}:z_{2}:z_{3}:z_{4}=X:Y:Z:1}$, указанные выше соотношения принимают форму единичной сферы в р³:^[36]

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,\quad \xi ={\frac {X+iY}{1-Z}}}$.

что идентично стереографической проекции ${\displaystyle \xi }$-плоскость на сферической поверхности, сделанная Клейном в 1884 году.^{[M 21]} Поскольку замены ${\displaystyle \xi ,\xi '}$ находятся Преобразования Мебиуса (Немецкий: Kreisverwandtschaften) в ${\displaystyle \xi }$-самолет или на ${\displaystyle \xi }$-сфера, они пришли к выводу, что, выполняя произвольное движение гиперболического пространства в самом себе, ${\displaystyle \xi }$-сфера претерпевает преобразование Мёбиуса, что вся группа гиперболических движений дает все прямые преобразования Мёбиуса, и, наконец, что любой прямое преобразование Мёбиуса соответствует движению гиперболического пространства.^[37]

Основываясь на работе Fricke & Klein, изоморфизм этой группы гиперболических движений (и, следовательно, группы Мебиуса) группе Лоренца был продемонстрирован Густав Херглотц (1909).^{[M 22]} А именно, метрика Минковского соответствует указанной выше метрике Кэли (на основе реального конического сечения), если пространственно-временные координаты отождествляются с вышеуказанными однородными координатами

${\displaystyle z_{1}=x,\quad z_{2}=y,\quad z_{3}=z,\quad z_{4}=t}$,

по которому указанный выше параметр становится

${\displaystyle {\mathsf {\xi }}={\frac {x+iy}{t-z}},\quad \xi '={\frac {x'+iy'}{t'-z'}},}$ снова связано заменой ${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$.

Герглотц пришел к выводу, что любая такая замена соответствует преобразованию Лоренца, устанавливая индивидуальная переписка гиперболическим движениям в р³. Связь между группой Лоренца и метрикой Кэли в гиперболическом пространстве была также указана Клейном (1910).^{[M 23]} а также Паули (1921).^[38] Соответствующий изоморфизм группы Мебиуса группе Лоренца использовался, среди прочего, Роджер Пенроуз.

Преобразование по взаимным направлениям

Развитие в 19 веке

Выше упоминалась связь конформных преобразований с координатами, включая радиус сфер в геометрии сферы Ли. Особый случай ${\displaystyle \lambda =1}$ соответствует преобразованию сферы, заданному формулой Эдмон Лагерр (1880-1885), назвавший это «преобразованием по взаимным направлениям» и заложивший основы геометрии ориентированных сфер. и самолеты.^{[M 10][5][6]} По Дарбу^{[M 24]} и Бейтман,^{[M 2]} подобные отношения ранее обсуждались Альберт Рибокур (1870)^{[M 25]} и сам Лие (1871).^{[M 6]} Стефанос (1881) указал, что геометрия Лагерра действительно является частным случаем геометрии сферы Ли.^{[M 26]} Он также представлял ориентированные на Лагерра сферы посредством кватернионы (1883).^{[M 27]}

Линии, окружности, плоскости или сферы с радиусами определенной ориентации называются полупрямыми Лагерра, полуокружностями (циклами), полуплоскостями, полусферами и т. Д. Касательной называется полупрямая, пересекающая цикл в точке точка, где оба имеют одинаковое направление. Преобразование по взаимным направлениям преобразует ориентированные сферы в ориентированные сферы и ориентированные плоскости в ориентированные плоскости, оставляя неизменным «касательное расстояние» двух циклов (расстояние между точками каждой из их общих касательных), а также сохраняет линии кривизны.^[39] Лагер (1882) применил преобразование к двум циклам при следующих условиях: радикальная ось является осью трансформации, а их общие касательные параллельны двум фиксированным направлениям полупрямых, которые трансформируются в самих себя (Лагерр назвал этот специфический метод «преобразованием обратными полупрями», который позже был назван «инверсией Лагерра»).^[40][41]). Параметр ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle R'}$ как радиусы циклов, а ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle D'}$ в качестве расстояний их центров до оси он получил:^{[M 28]}

${\displaystyle D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad D-D'=\alpha (R-R'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),}$

с преобразованием:^{[M 29]}

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

Дарбу (1887) получил те же формулы в разных обозначениях (с ${\displaystyle z=D}$ и ${\displaystyle k=\alpha }$) в его трактовке «трансформации взаимными направлениями», хотя он включил ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ также координаты:^{[M 30]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle z'+R'={\frac {1+k}{1-k}}(z-R),\quad z'-R'={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),}$

следовательно, он получил соотношение

${\displaystyle x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$.

Как упоминалось выше, ориентированные сферы в р³ могут быть представлены точками четырехмерного пространства р⁴ использование минимальной (изотропной) проекции, которая стала особенно важной в геометрии Лагерра.^[5] Например, Э. Мюллер (1898) основал свое обсуждение ориентированных сфер на том факте, что они могут быть отображены в точках плоского четырехмерного многообразия (которое он сравнил с «циклографией» Фидлера 1882 года). Он систематически сравнивал преобразования по обратным радиусам (называя это «инверсией на сфере») с преобразованиями по обратным направлениям (называя это «инверсией в комплексе плоских сфер»).^{[M 31]} Следуя статье Мюллера, Смит (1900) обсуждали преобразование Лагерра и связанную с ним «группу геометрии взаимных направлений». Ссылаясь на трактовку Клейна (1893) минимальной проекции, он указал, что эта группа «просто изоморфна группе всех перемещений и преобразований симметрии в четырехмерном пространстве».^{[M 32]} Смит получил то же преобразование, что и Лагер и Дарбу, в других обозначениях, назвав его «инверсией в сферический комплекс»:^{[M 33]}

${\displaystyle p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R}$

с отношениями

${\displaystyle \kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{2}.}$

Обращение Лагерра и преобразование Лоренца

В 1905 году Пуанкаре и Эйнштейн указали, что Преобразование Лоренца из специальная теория относительности (параметр ${\displaystyle c=1}$)

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

оставляет отношения ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$ инвариантный.^[2] Эйнштейн подчеркнул, что этим преобразованием сферическая световая волна в одном кадре преобразуется в сферическую световую волну в другом.^[42] Пуанкаре показал, что преобразование Лоренца можно рассматривать как вращение в четырехмерном пространстве со временем как четвертой координатой, с Минковский углубляя это понимание намного дальше (см. История специальной теории относительности ).

Как показано выше, также преобразование Лагерра по взаимным направлениям или полупрямым, позднее названное инверсией Лагерра^[40][41] - в форме, данной Дарбу (1887 г.), остается выражение ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$ инвариантный. Впоследствии связь с преобразованием Лоренца была отмечена несколькими авторами. Например, Бейтман (1910) утверждал, что это преобразование (которое он приписал Рибокуру) «идентично» преобразованию Лоренца.^{[M 2]} В частности, он утверждал (1912), что вариант, данный Дарбу (1887), соответствует преобразованию Лоренца в ${\displaystyle z}$ направление, если ${\displaystyle R=ct}$, ${\displaystyle R'=ct'}$, а ${\displaystyle k}$ члены заменяются скоростями.^{[M 34]} Бейтман (1910) также набросал геометрические изображения релятивистских световых сфер, используя такие сферические системы.^{[M 35][43]} Тем не мение, Кубота (1925) ответил Бейтману, утверждая, что инверсия Лагерра инволютивный тогда как преобразование Лоренца - нет. Он пришел к выводу, что для того, чтобы сделать их эквивалентными, инверсия Лагерра должна быть объединена с изменением направления циклов.^{[M 36]}

Конкретная связь между преобразованием Лоренца и обращением Лагерра также может быть продемонстрирована следующим образом (см. Г. Р. Мюллер (1948)^{[M 37]} для аналогичных формул в разных обозначениях). Формулы обращения Лагерра 1882 г. (эквивалентные формулам Дарбу 1887 г.) гласят:

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

установив

${\displaystyle {\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w}$

следует

${\displaystyle {\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},}$

наконец, установив ${\displaystyle D=x,D'=x',R=t,R'=t'}$ обращение Лагерра становится очень похожим на преобразование Лоренца, за исключением того, что выражение ${\displaystyle t-vx}$ превращается в ${\displaystyle wx-t}$:

${\displaystyle x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}}},\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$.

Согласно Мюллеру, преобразование Лоренца можно рассматривать как произведение четного числа таких инверсий Лагерра, меняющих знак. Сначала проводится инверсия в плоскости ${\displaystyle \pi _{1}}$ которая наклонена относительно плоскости ${\displaystyle \pi }$ под определенным углом, с последующим инверсией обратно в ${\displaystyle \pi }$.^{[M 37]} См. Раздел # Группа Лагерра, изоморфная группе Лоренца для более подробной информации о связи обращения Лагерра с другими вариантами преобразования Лагерра.

Преобразование Лоренца в геометрии Лагерра

Таймер (1911)^{[M 38]} использовал концепцию ориентированных сфер Лагерра, чтобы представить и вывести преобразование Лоренца. Учитывая сферу радиуса ${\displaystyle r}$, с ${\displaystyle x}$ как расстояние между его центром и центральной плоскостью, он получил отношения к соответствующей сфере

${\displaystyle x'+r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'}{x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {x-r}{x+r}},}$

в результате преобразования

${\displaystyle {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r-\lambda x.}$

Установив ${\displaystyle \lambda =v/c}$ и ${\displaystyle r=ct}$, оно становится преобразованием Лоренца.

Следуя Таймердингу и Бейтману, Огура (1913) проанализировали преобразование Лагерра вида^{[M 39]}

${\displaystyle \alpha '=\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}}$,

которые становятся преобразованием Лоренца с

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&=ct',\end{aligned}}}$    ${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{c}}}$.

Он заявил, что «преобразование Лагерра в многообразии сфер эквивалентно преобразованию Лоренца в многообразии пространства-времени».

Группа Лагерра, изоморфная группе Лоренца

Как показано выше, группа конформных точечных преобразований в р^п (состоящий из движений, сходств и инверсий) могут быть связаны минимальная проекция к группе контактные преобразования в р^п-1 преобразование кругов или сфер в другие круги или сферы. Кроме того, Ли (1871, 1896) указал, что в р³ существует 7-параметрическая подгруппа точечных преобразований, состоящая из движений и сходств, которая при использовании минимальной проекции соответствует 7-параметрической подгруппе контактные преобразования в р² превращая круги в круги.^{[M 40]} Эти отношения были дополнительно изучены Смит (1900),^{[M 32]} Blaschke (1910),^{[M 41]} Кулидж (1916)^[44] и другие, которые указали на связь с геометрией Лагерра взаимных направлений, связанных с ориентированными линиями, кругами, плоскостями и сферами. Поэтому Смит (1900) назвал ее «группой геометрии взаимных направлений»,^{[M 32]} и Blaschke (1910) использовали выражение «группа Лагерра».^{[M 41]} «Расширенная группа Лагерра» состоит из движений и подобий, имеющих 7 параметров в р² преобразование ориентированных линий и окружностей или 11 параметров в р³ преобразование ориентированных плоскостей и сфер. Если исключить сходство, она становится «ограниченной группой Лагерра» с 6 параметрами в р² и 10 параметров в р³, состоящий из движений с сохранением ориентации или с изменением ориентации, а также с сохранением тангенциального расстояния между ориентированными окружностями или сферами.^{[M 42][45]} Впоследствии стало общепринятым, что термин группа Лагерра относится только к ограниченной группе Лагерра.^[45][46] Также было отмечено, что группа Лагерра является частью более широкой группы, сохраняющей тангенциальные расстояния, названной «равнодлинной группой». Scheffers (1905).^{[M 43][47]}

В р² группа Лагерра оставляет неизменным соотношение ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}-dr^{2}}$, которое можно продолжить до произвольных р^п также.^[48] Например, в р³ он оставляет неизменным отношение ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}}$.^[49] Это эквивалентно соотношению ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dr^{2}}$ в р⁴ используя минимальная (изотропная) проекция с воображаемый координата радиуса или циклографическая проекция (в начертательная геометрия ) с действительной координатой радиуса.^[9] Преобразования, образующие группу Лагерра, можно далее разделить на «прямые преобразования Лагерра», которые связаны с движениями, сохраняющими как тангенциальное расстояние, так и знак; или «косвенные преобразования Лагерра», которые связаны с движениями с изменением ориентации, сохраняющими тангенциальное расстояние с измененным знаком.^{[M 43][50]} Обращение Лагерра, впервые данное Лагерром в 1882 году, имеет вид инволютивный, следовательно, он принадлежит к косвенным преобразованиям Лагерра. Сам Лагерр не обсуждал группу, связанную с его инверсией, но оказалось, что каждое преобразование Лагерра может быть порождено не более чем четырьмя инверсиями Лагерра, а каждое прямое преобразование Лагерра является продуктом двух инволютивных преобразований, поэтому инверсии Лагерра имеют особое значение, потому что они являются производящими операторами всей группы Лагерра.^{[M 44][51]}

Было отмечено, что группа Лагерра действительно изоморфный группе Лоренца (или Группа Пуанкаре если переводы включены), поскольку обе группы оставляют неизменной форму ${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}}$. После первого сравнения преобразования Лоренца и обращения Лагерра Бейтманом (1910) как упомянутый выше, на эквивалентность обеих групп указал Картан в 1912 г.^{[M 45]} и 1914 г.,^{[M 46]} и он расширил его в 1915 г. (опубликовано в 1955 г.) во французской версии Энциклопедия Кляйна.^[8] Также Пуанкаре (1912, опубликовано в 1921) писал:^{[M 3][52]}

Г-н Картан недавно привел любопытный пример. Мы знаем важность того, что было названо группой Лоренца, в математической физике; именно на этой группе основаны наши новые идеи о принципе относительности и динамике электрона. С другой стороны, Лагер однажды ввел в геометрию группу преобразований, которые превращают сферы в сферы. Эти две группы изоморфны, поэтому математически эти две теории, одна физическая, а другая геометрическая, не обнаруживают существенной разницы.^{[M 47]}

— Анри Пуанкаре, 1912 год.

Другие, кто заметил эту связь, включают Кулидж (1916),^[9] Кляйн & Blaschke (1926),^[10] Бляшке (1929),^[11] Г. Р. Мюллер,^{[M 48]} Кунле и Фладт (1970),^[12] Benz (1992).^[13] Недавно было указано:

А Преобразование Лагерра (L-преобразование) является отображением, которое биективно на множествах ориентированных плоскостей и ориентированных сфер соответственно и сохраняет касание между плоскостью и сферой. L-преобразования легче понять, если использовать так называемые циклографическая модель геометрии Лагерра. Там ориентированная сфера ${\displaystyle S}$ представлен как точка ${\displaystyle \mathbf {S} \operatorname {\text{:=}} (\mathbf {m} ,R)\in \mathbb {R} ^{4}}$. Ориентированная плоскость ${\displaystyle P}$ в ${\displaystyle E^{3}}$ можно интерпретировать как совокупность всех ориентированных сфер, касающихся ${\displaystyle P}$. Картография ${\displaystyle P}$ через этот набор сфер в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ параллельную касательной гиперплоскости конуса ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$. В циклографической модели L-преобразование рассматривается как специальное аффинное отображение (преобразование Лоренца), ...

— Поттманн, Грос, Митра (2009)^[53]

Смотрите также

• История преобразований Лоренца

Основные источники

• Бейтман, Гарри (1909) [1908]. «Конформные преобразования четырехмерного пространства и их приложения в геометрической оптике». Труды Лондонского математического общества. 7: 70–89. Дои:10.1112 / плмс / с2-7.1.70.
• Бейтман, Гарри (1910) [1909]. «Преобразование электродинамических уравнений». Труды Лондонского математического общества. 8: 223–264. Дои:10.1112 / плмс / с2-8.1.223.
• Бейтман, Гарри (1910а). "Физический аспект времени". Манчестерские мемуары. 54 (14): 1–13.
• Бейтман, Гарри (1910b). «Связь электромагнетизма и геометрии». Философский журнал. 20 (118): 623 –628. Дои:10.1080/14786441008636944.
• Бейтман, Гарри (1912) [1910]. «Некоторые геометрические теоремы, связанные с уравнением Лапласа и уравнением движения волн». Американский журнал математики. 34 (3): 325–360. Дои:10.2307/2370223. JSTOR  2370223.
• Блашке, Вильгельм (1910). "Untersuchungen über die Geometrie der Speere in der Euklidischen Geometrie". Monatshefte für Mathematik und Physik. 21 (1): 3–60. Дои:10.1007 / bf01693218. S2CID  120182503.
• Картан, Эли (1912). "Sur les groupes de transformation de contact et la Cinématique nouvelle". Société de Mathématique the France - Comptes Rendus des Séances: 23.
• Картан, Эли (1914). "Теория групп". Revue du Mois: 452–457.
• Каннингем, Эбенезер (1910) [1909]. «Принцип относительности в электродинамике и его расширение». Труды Лондонского математического общества. 8: 77–98. Дои:10,1112 / плмс / с2-8.1.77.
• Дарбу, Гастон (1872). "Sur les Relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 1: 323–392. Дои:10.24033 / asens.87.
• Дарбу, Гастон (1878). "Mémoire sur la théorie des curvilignes et des systèmes orthogonaux. Troisième partie". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 7: 275 –348. Дои:10.24033 / asens.164.
• Дарбу, Гастон (1887). Leçons sur la théorie générale des поверхностей. Премьера партии. Париж: Готье-Виллар.
• Херглотц, Густав (1910) [1909], "Uber den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Перевод Wikisource: О телах, которые следует обозначить как «твердые» с точки зрения принципа относительности ], Annalen der Physik, 336 (2): 393–415, Bibcode:1910AnP ... 336..393H, Дои:10.1002 / andp.19103360208
• Феликс Кляйн (1884), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Тойбнер, Лейпциг; Английский перевод: Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени (1888)
• Кляйн, Феликс (1910). "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe". Gesammelte Mathematische Abhandlungen . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 19. С. 533–552. Дои:10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN  978-3-642-51898-0. Перепечатано в Кляйн, Феликс (1921). "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe". Gesammelte Mathematische Abhandlungen. 1. С. 533–552. Дои:10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN  978-3-642-51898-0. Английский перевод Дэвида Дельфенича: О геометрических основах группы Лоренца
• Кубота, Тадахико (1925). "Über die (2-2) -deutigen quadratischen Verwandtschaften V". Научные отчеты Императорского университета Тохоку. 14: 155–164..
• Лагер, Эдмон (1881). "Sur la трансформация в обратном направлении". Comptes Rendus. 92: 71–73.
• Лагер, Эдмон (1882). "Преобразования par semi-droites réciproques". Nouvelles annales de mathématiques. 1: 542–556.
• Лагер, Эдмон (1905). «Сборник статей, опубликованных с 1880 по 1885 год». Uvres de Laguerre, т. 2. Париж: Готье-Виллар. С. 592–684.
• Ложь, Софус (1871). "Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit Believebig vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes entspricht". Göttinger Nachrichten: 191–209.
• Ложь, Софус (1872). "Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen". Mathematische Annalen. 5: 145–256. Дои:10.1007 / bf01446331. S2CID  122317672. Английский перевод Дэвида Дельфенича: О комплексах - в частности, линейных и сферических комплексах - с приложениями к теории уравнений в частных производных
• Ложь, Софус; Шефферс, Георг (1896). Geometrie der Berührungstransformationen. Лейпциг: B.G. Тюбнер.
• Лиувилль, Жозеф (1847). "Note au sujet de l'article précédent". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 12: 265–290.
• Лиувилль, Жозеф (1850a). «Теория по уравнению dx² + dy² + dz² = λ (dα² + dβ² + dγ²)». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 15: 103.
• Лиувилль, Жозеф (1850b). "Extension au cas des trois sizes de la question du tracé géographique". В Гаспар Монж (ред.). Application de l'analyse à la Géométrie. Париж: Башелье. С. 609–616.
• Мюллер, Эмиль (1898). "Die Geometrie orientierter Kugeln nach Grassmann'schen Methoden". Monatshefte für Mathematik und Physik. 9 (1): 269–315. Дои:10.1007 / bf01707874. S2CID  121786469.
• Мюллер, Ханс Роберт (1948). "Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie". Monatshefte für Mathematik und Physik. 52 (4): 337–353. Дои:10.1007 / bf01525338. S2CID  120150204.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Огура, Кинноске (1913). «О преобразовании Лоренца с некоторыми геометрическими интерпретациями». Научные отчеты Университета Тохуку. 2: 95–116.
• Пуанкаре, Анри (1906) [1905], "Sur la Dynamique de l'électron" [Перевод Wikisource: О динамике электрона ], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21: 129–176, Bibcode:1906RCMP ... 21..129P, Дои:10.1007 / BF03013466, S2CID  120211823
• Пуанкаре, Анри (1921) [1912]. "Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des Sciences de l'Université de Paris)". Acta Mathematica. 38 (1): 137–145. Дои:10.1007 / bf02392064. S2CID  122517182.. Написано Пуанкаре в 1912 году, напечатано в Acta Mathematica в 1914 году, хотя опубликовано с опозданием в 1921 году.
• Рибокур, Альберт (1870). "Sur la deformation des Surface". Comptes Rendus. 70: 330–333.
• Смит, Перси Ф. (1900). «О трансформации Лагерра». Анналы математики. 1 (1/4): 153–172. Дои:10.2307/1967282. JSTOR  1967282.
• Стефанос, К. (1881). "Sur la géométrie des sphères". Comptes Rendus. 92: 1195–1197.
• Стефанос, К. (1883). "Sur la théorie des quaternions". Mathematische Annalen. 7 (4): 589–592. Дои:10.1007 / bf01443267. S2CID  179178015.
• Таймердинг, Х. (1912). "Über ein einfaches geometrisches Bild der Raumzeitwelt Minkowskis". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 21: 274–285.

---

1. Бейтман (1908); Бейтман (1909); Каннингем (1909)
2. Бейтман (1910b), стр. 624
3. Пуанкаре (1912), стр. 145
4. Лиувилль (1847 г.); Лиувилль (1850a); Лиувиль (1850b)
5. Лиувиль (1850b)
6. Ложь (1871); Ложь (1872)
7. Дарбу (1872), стр. 282
8. Ли (1872), стр. 183
9. Кляйн (1893), стр. 474
10. Лагерр (1881 г.); Laguerre (1905), стр. 592–684 (сборник статей, опубликованных между 1880 и 1885 годами).
11. Дарбу (1887), стр. 225
12. Кляйн (1893), стр. 473
13. Дарбу (1872), стр. 343-349, 369-383.
14. Бейтман (1912), стр. 328 и 336.
15. Дарбу (1872), стр. 366
16. Ли (1871), стр. 201ff; Ли (1872), стр. 186; Ли и Шефферс (1896), стр. 433–444.
17. Бейтман (1909), стр. 225, 240; (1910b), стр. 623
18. Бейтман (1912), стр. 358
19. Пуанкаре (1906), стр. 132.
20. Кляйн (1910/21)
21. Кляйн (1884), стр. 32; (Английский перевод: стр. 34)
22. Герглотц (1909)
23. Кляйн (1910)
24. Дарбу (1887), стр. 259
25. Рибокур (1870)
26. Стефанос (1881)
27. Стефанос (1883)
28. Лагерр (1882), стр. 550.
29. Лагерр (1882), стр. 551.
30. Дарбу (1887), стр. 254
31. Э. Мюллер (1898), см. Сноску на стр. 274.
32. Смит (1900), стр. 172
33. Смит (1900), стр. 159
34. Бейтман (1912), стр. 358
35. Бейтман (1910a), см. Сноску на стр. 5–7.
36. Кубота (1925), см. Сноску на стр. 162.
37. Г. Р. Мюллер (1948), стр. 349
38. Таймердинг (1911), стр. 285
39. Огура (1913), стр. 107
40. Ли (1871), стр. 201ff; Ли (1872), стр. 180–186; Ли и Шефферс (1896), стр. 443
41. Бляшке (1910)
42. Блашке (1910), стр. 11–13
43. Блашке (1910), стр. 13
44. Блашке (1910), стр. 15
45. Картан (1912), стр. 23
46. Картан (1914), стр. 452–457.
47. Пуанкаре (1912), стр. 145: Г-н Картан в приеме донна un example curieux. On connaît l’importance en Physique Mathématique de ce qu’on a appelé le groupe de Lorentz; c’est sur ce groupe que reposent nos idées nouvelles sur le principe de relativité et sur la Dynamique de l’Electron. D’un autre côté, Laguerre a autrefois представляет en géométrie un groupe de transformations qui changent les sphères en sphères. Ces deux groupes sont isomorphes, de sorte que mathématiquement ces deux théories, l’une Physique, l’autre géométrique, ne présentent pas de différence essentielle.
48. Г. Р. Мюллер (1948), стр. 338

Вторичные источники

Учебники, энциклопедические статьи, исторические обзоры:

• Бейтман, Гарри (1915). Математический анализ движения электрических и оптических волн на основе уравнений Максвелла.. Кембридж: Издательство университета.
• Бенц, Уолтер (2005) [1992]. Классическая геометрия в современном контексте: геометрия реальных пространств внутреннего продукта, третье издание. Springer. С. 133–175. ISBN  978-3034804202.
• Блашке, Вильгельм (1929). Томсен, Герхард (ред.). Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie Bd. 3. Берлин: Springer. Дои:10.1007/978-3-642-50823-3. HDL:2027 / mdp.39015017405492. ISBN  978-3-642-50513-3.
• Картан, Эли; Фано, Джино (1915). "Теория непрерывных групп и геометрия". Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées. 3 (1): 39–43. (В 1915 году были опубликованы только страницы 1-21, вся статья, включая страницы 39-43, касающиеся групп Лагерра и Лоренца, была посмертно опубликована в 1955 году в сборнике статей Картана и переиздана в Энциклопедии в 1991 году.)
• Сесил, Томас Э. (2008) [1992], «Геометрия Лагерра», Геометрия сферы Ли, Springer, стр. 37–46, ISBN  978-0387746555
• Кулидж, Джулиан (1916). Трактат о круге и сфере. Оксфорд: Clarendon Press.
• Каннингем, Эбенезер (1914). Принцип относительности. Кембридж: Издательство университета.
• Фано, Джино (1907). "Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip". Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 3.1.1. С. 289–388. Дои:10.1007/978-3-663-16027-4_5. ISBN  978-3-663-15456-3.
• Роберт Фрике & Феликс Кляйн (1897), Vorlesungen über die Theorie der autormorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen, Тойбнер, Лейпциг
• Каструп, Х.А. (2008). «О достижениях конформных преобразований и связанных с ними симметрий в геометрии и теоретической физике». Annalen der Physik. 520 (9–10): 631–690. arXiv:0808.2730. Bibcode:2008AnP ... 520..631K. Дои:10.1002 / andp.200810324. S2CID  12020510.
• Кляйн, Феликс (1893). Einleitung in die höhere Geometrie I. Гёттинген: Гёттинген.
• Кляйн, Феликс; Блашке, Вильгельм (1926). Vorlesungen über höhere Geometrie. Берлин: Springer. (Лекции Кляйна 1893 г., обновленные и отредактированные Блашке в 1926 г.)
• Kunle H .; Фладт К. (1926). «Программа Эрлангена и высшая геометрия - геометрия Лагерра». В Генрихе Бенке (ред.). Основы математики: геометрия. MIT Press. С. 460–516.
• Мюллер, Эмиль (1910). "Die verschiedenen Koordinatensysteme". Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 3.1.1. С. 596–770. Дои:10.1007/978-3-663-16027-4_9. ISBN  978-3-663-15456-3.
• Педое, Даниэль (1972). «Забытое геометрическое преобразование». L'Enseignement Mathématique. 18: 255–267. Дои:10.5169 / пломбы-45376.
• Руже, Андре (2008). Relativité restreinte: вклад Анри Пуанкаре. Издания Ecole Polytechnique. ISBN  978-2730215251.
• Вальтер, Скотт (2012). «Фигуры света в ранней истории относительности». Появиться в Einstein Studies, D. Rowe, ed., Basel: Birkhäuser.
• Уорвик, Эндрю (1992). "Кембриджская математика и физика Кавендиша: относительность Каннингема, Кэмпбелла и Эйнштейна 1905–1911 Часть I: Использование теории". Исследования по истории и философии науки Часть A. 23 (4): 625–656. Дои:10.1016 / 0039-3681 (92) 90015-X.
• Уорвик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и рост математической физики. Физика сегодня. 57. Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр.58. Bibcode:2004ФТ .... 57и..58Вт. Дои:10.1063/1.1809094. ISBN  978-0-226-87375-6.

---

1. Каструп (2008)
2. Уолтер (2012)
3. Уорик (1992), (2012)
4. Каструп (2008), стр. 22
5. Фано (1907), стр. 320
6. Мюллер (1910), глава 25
7. Педое (1972)
8. Картан (1915), стр. 39–43.
9. Кулидж (1916), стр. 422, ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(r-r')^{2}}}}$ - инвариантное расстояние между двумя точками в р⁴.
10. Кляйн и Блашке (1926), стр. 253-262.
11. Бляшке (1929), Глава 4
12. Кунле и Фладт (1970), стр. 481
13. Benz (1992), Глава 3.17
14. Каструп (2008), раздел 2.2
15. Каструп (2008), раздел 2.3
16. Фано (1907), стр. 312-315
17. Э. Мюллер (1910), стр. 706-712.
18. Каструп (2008), раздел 2.4
19. Э. Мюллер (1910), стр. 706
20. Фано (1907), стр. 316
21. Мюллер (1910), стр. 717
22. Klein & Blaschke (1926), стр. 246-253.
23. E. Müller (1910), pp. 706–707, см. Особенно сноску 424.
24. Кляйн и Блашке (1926), стр. 258
25. Кляйн и Блашке (1926), стр. 253
26. Каструп (2008), раздел 1.1
27. Каннингем (1914), стр. 87–89.
28. Каннингем (1914), стр. 87–88.
29. Каннингем (1914), стр. 88
30. Каннингем (1914), стр. 88–89.
31. Каструп (2008), раздел 5.2
32. Каструп (2008), раздел 6
33. Фрике и Кляйн (1897 г.), Введение - §§ 12, 13
34. Фрике и Кляйн (1897), стр. 44
35. Фрике и Кляйн (1897), стр. 46
36. Фрике и Кляйн (1897), стр. 49
37. Фрике и Кляйн (1897), стр. 50
38. Паули (1921), стр. 626
39. Фано (1907), стр. 318-320
40. Кулидж (1916), стр. 355
41. Pedoe (1972), стр. 256
42. Уолтер (2012), раздел 1
43. Уолтер (2012), раздел 4
44. Кулидж (1916), главы 10 и 11
45. Кулидж (1916), стр. 369 и стр. 415
46. Сесил (1992)
47. Кулидж (1916), стр. 370-372.
48. Картан (1915), стр. 40
49. Картан (1915), стр. 42, ${\displaystyle \scriptstyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(t-t')^{2}}$ - степень инвариантного тангенциального расстояния между двумя ориентированными сферами.
50. Кулидж (1916), стр. 372
51. Кулидж (1916), стр. 378, стр. 382
52. Rougé (2008), стр. 127–128.
53. Поттманн, Грос, Митра (2009)