Теорема Лиувиля (конформные отображения) - Liouvilles theorem (conformal mappings)

В математика, Теорема Лиувилля, доказано Джозеф Лиувиль в 1850, это жесткость теорема о конформные отображения в Евклидово пространство. В нем говорится, что любой гладкий конформное отображение в области р^п, куда п > 2, можно выразить как композицию переводы, сходства, ортогональные преобразования и инверсии: они есть Преобразования Мебиуса (в п размеры).^[1]^[2] Эта теорема сильно ограничивает разнообразие возможных конформных отображений в р³ и многомерные пространства. Напротив, конформные отображения в р² может быть намного сложнее - например, все односвязный плоские домены конформно эквивалентный, посредством Теорема Римана об отображении.

Обобщения теоремы справедливы для преобразований, которые слабо дифференцируемый (Иванец и Мартин 2001, Глава 5). В центре внимания такого исследования нелинейная Система Коши – Римана что является необходимым и достаточным условием гладкого отображения ƒ → Ω →р^п быть конформным:

{ Displaystyle Df ^ {T} Df = left | det Df right | ^ {2 / n} I}

куда Df это Производная якобиана, Т это матрица транспонировать, и я - единичная матрица. Слабым решением этой системы называется элемент ƒ из Соболевское пространство W^1,п
_место(Ω,р^п) с неотрицательным определителем Якоби почти всюду, такая, что система Коши – Римана верна почти в каждой точке Ω. Теорема Лиувилля состоит в том, что каждое слабое решение (в этом смысле) является преобразованием Мёбиуса, что означает, что оно имеет вид

{ Displaystyle е (х) = Ь + { гидроразрыва { альфа А (х-а)} {| х-а | ^ { epsilon}}}}

куда а,б векторы в р^п, α - скаляр, А - матрица вращения, и ε = 0 или 2. Эквивалентно сформулировано, любое квазиконформное отображение области в евклидовом пространстве, которая также является конформной, является преобразованием Мёбиуса. Это эквивалентное утверждение оправдывает использование пространства Соболева W^1,п, поскольку ƒ ∈ W^1,п
_место(Ω,р^п) тогда следует из геометрического условия конформности и ACL-характеристики пространства Соболева. Однако результат не является оптимальным: ровные размеры п = 2k, теорема верна и для решений, которые только предполагаются находящимися в пространстве W^1,k
_место, и этот результат точен в том смысле, что существуют слабые решения системы Коши – Римана в W^1,п для любого п < k которые не являются преобразованиями Мёбиуса. В нечетных размерах известно, что W^1,п не оптимален, но точный результат неизвестен.

Аналогичные результаты жесткости (в гладком случае) справедливы для любых конформное многообразие. Группа конформных изометрий п-мерный конформный Риманово многообразие всегда имеет размерность, которая не может превышать размерность полной конформной группы SO (п+1,1). Равенство двух измерений выполняется именно тогда, когда конформное многообразие изометрично п-сфера или же проективное пространство. Действуют и локальные версии результата: Алгебра Ли из конформные поля Киллинга в открытом наборе имеет размерность меньше или равную размерности конформной группы, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда открытое множество является локально конформно плоским.

Примечания

^ П. Караман, "Обзор Ю. Г. Решетняка (1967)" Теорема Лиувилля о конформном отображении при минимальных гипотезах регулярности ", МИСТЕР 0218544.
^ Филип Хартман (1947) Системы полных дифференциальных уравнений и теорема Лиувилля о конформном отображении Американский журнал математики 69(2);329–332.

Теорема Лиувиля (конформные отображения) - Liouvilles theorem (conformal mappings)

Примечания

Рекомендации