Алгебраическое расширение - Algebraic extension

В абстрактная алгебра, а расширение поля L/K называется алгебраический если каждый элемент L является алгебраический над K, т.е. если каждый элемент L это корень ненулевых многочлен с коэффициентами в K. Расширения полей, не являющиеся алгебраическими, т.е. содержащие трансцендентные элементы, называются трансцендентный.

Например, расширение поля р/Q, то есть поле действительные числа как расширение области рациональное число, трансцендентна, а расширения поля C/р и Q(√2)/Q являются алгебраическими, где C это область сложные числа.

Все трансцендентные расширения имеют бесконечная степень. Это, в свою очередь, означает, что все конечные расширения алгебраичны.^[1] Однако обратное неверно: существуют бесконечные алгебраические расширения. Например, поле всех алгебраические числа является бесконечным алгебраическим расширением рациональных чисел.

Если а алгебраичен над K, тогда K[а], множество всех многочленов от а с коэффициентами в K, не только кольцо, но и поле: алгебраическое расширение K который имеет конечную степень над K. Верно и обратное, если K[а] - поле, то а алгебраичен над K. В частном случае, когда K = Q это поле рациональных чисел, Q[а] является примером поле алгебраических чисел.

Поле без собственных алгебраических расширений называется алгебраически замкнутый. Примером может служить поле сложные числа. Каждое поле имеет алгебраическое расширение, которое алгебраически замкнуто (так называемое его алгебраическое замыкание ), но для доказательства этого в общем случае требуется аксиома выбора.

Расширение L/K алгебраический если и только если каждый суб K-алгебра L это поле.

Характеристики

Класс алгебраических расширений образует выделенный класс расширений полей, то есть выполняются следующие три свойства:^[2]

Если E является алгебраическим расширением F и F является алгебраическим расширением K тогда E является алгебраическим расширением K.
Если E и F являются алгебраическими расширениями K в общем поле C, то композитум EF является алгебраическим расширением K.
Если E является алгебраическим расширением F и E>K>F тогда E является алгебраическим расширением K.

Эти конечные результаты можно обобщить с помощью трансфинитной индукции:

Объединение любой цепочки алгебраических расширений над базовым полем само является алгебраическим расширением над тем же базовым полем.

Этот факт вместе с Лемма Цорна (применяется к соответствующим образом выбранному объекту), устанавливает существование алгебраические замыкания.

Обобщения

Теория моделей обобщает понятие алгебраического расширения на произвольные теории: встраивание из M в N называется алгебраическое расширение если для каждого Икс в N Существует формула п с параметрами в M, так что п(Икс) истинно и множество

{displaystyle left {yin Nmid p (y) ight}}

конечно. Оказывается, применение этого определения к теории полей дает обычное определение алгебраического расширения. В Группа Галуа из N над M снова можно определить как группа из автоморфизмы, и оказывается, что большая часть теории групп Галуа может быть развита для общего случая.

Смотрите также

Примечания

^ См. Также Hazewinkel et al. (2004), стр. 3.
^ Лэнг (2002) стр.228

Алгебраическое расширение - Algebraic extension

Содержание

Характеристики

Обобщения

Смотрите также

Примечания

Рекомендации