Алгебраический элемент - Algebraic element

В математика, если L это расширение поля из K, то элемент а из L называется алгебраический элемент над K, или просто алгебраический над K, если существует ненулевое многочлен грамм(Икс) с коэффициенты в K такой, что грамм(а) = 0. Элементы L которые не являются алгебраическими над K называются трансцендентный над K.

Эти понятия обобщают алгебраические числа и трансцендентные числа (где расширение поля C/Q, C являясь полем сложные числа и Q являясь полем рациональное число ).

Примеры

  • В квадратный корень из 2 алгебраичен над Q, так как это корень многочлена грамм(Икс) = Икс2 − 2 коэффициенты которого рациональны.
  • число Пи трансцендентален Q но алгебраический над полем действительные числа р: это корень грамм(Икс) = Икс - π, коэффициенты которого (1 и -π) оба действительны, но не являются полиномами только с рациональными коэффициентами. (Определение термина трансцендентное число использует C/Qне C/р.)

Характеристики

Следующие условия эквивалентны для элемента а из L:

  • а алгебраичен над K,
  • расширение поля K(а)/K имеет конечную степень, т.е. измерение из K(а) как K-векторное пространство конечно (здесь K(а) обозначает наименьшее подполе L содержащий K и а),
  • K[а] = K(а), где K[а] это набор всех элементов L что можно записать в виде грамм(а) с полиномом грамм коэффициенты которого лежат в K.

Эта характеристика может использоваться, чтобы показать, что сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов над K снова алгебраичны над K. Набор всех элементов L которые алгебраичны над K это поле, которое находится между L и K.

Если а алгебраичен над K, то имеется много ненулевых многочленов грамм(Икс) с коэффициентами в K такой, что грамм(а) = 0. Однако есть один с наименьшей степенью и старшим коэффициентом 1. Это минимальный многочлен из а и он кодирует многие важные свойства а.

Поля, которые не допускают никаких алгебраических элементов над ними (кроме их собственных элементов), называются алгебраически замкнутый. Поле комплексных чисел является примером.

Смотрите также

Рекомендации

  • Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, Г-Н  1878556, Zbl  0984.00001