Преобразование между кватернионами и углами Эйлера - Conversion between quaternions and Euler angles

Пространственные вращения в трех измерениях возможно параметризованный используя оба Углы Эйлера и кватернионы единиц. В этой статье объясняется, как преобразовать между двумя представлениями. Фактически это простое использование «кватернионов» было впервые представлено Эйлер примерно на семьдесят лет раньше, чем Гамильтон решить проблему магические квадраты. По этой причине сообщество динамики обычно называет кватернионы в этом приложении «параметрами Эйлера».

Определение

В остальной части этой статьи JPL кватернион соглашение^[1] должны использоваться. Единица кватернион можно описать как:

${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{0}&q_{1}&q_{2}&q_{3}\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}q_{w}&q_{x}&q_{y}&q_{z}\end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle |\mathbf {q} |^{2}=q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=q_{w}^{2}+q_{x}^{2}+q_{y}^{2}+q_{z}^{2}=1}$

Мы можем связать кватернион с вращением вокруг оси следующим выражением

${\displaystyle \mathbf {q} _{0}=\mathbf {q} _{w}=\cos(\alpha /2)}$

${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} _{x}=\sin(\alpha /2)\cos(\beta _{x})}$

${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} _{y}=\sin(\alpha /2)\cos(\beta _{y})}$

${\displaystyle \mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{z}=\sin(\alpha /2)\cos(\beta _{z})}$

где α - простой угол поворота (значение в радианах угол поворота ) и cos (β_Икс), cos (β_у) и cos (β_z) являются "направляющие косинусы «определение оси вращения (теорема Эйлера о вращении).

Углы Тейта – Брайана

Углы Тейта – Брайана. z-y′-x ″ последовательность (внутренние вращения; N совпадает с ты). Последовательность поворота на угол: ψ, θ, Ф. Обратите внимание, что в этом случае ψ> 90 ° и θ - отрицательный угол.

Аналогично для углов Эйлера мы используем Тейт Брайан углы (с точки зрения динамика полета ):

• Заголовок - ${\displaystyle \psi }$: вращение вокруг оси Z
• Подача - ${\displaystyle \theta }$: вращение вокруг новой оси Y
• Банк - ${\displaystyle \phi }$: вращение вокруг новой оси X

где ось X направлена ​​вперед, ось Y - вправо, а ось Z - вниз. В приведенном выше примере преобразования вращение происходит в следующем порядке: заголовок, шаг, банк.

Матрицы вращения

В ортогональная матрица (после умножения вектора-столбца), соответствующего часовой стрелке /левша (если смотреть вдоль положительной оси к началу координат) вращение устройством кватернион ${\displaystyle q=q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}}$ дается неоднородное выражение:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1-2(q_{2}^{2}+q_{3}^{2})&2(q_{1}q_{2}-q_{0}q_{3})&2(q_{0}q_{2}+q_{1}q_{3})\\2(q_{1}q_{2}+q_{0}q_{3})&1-2(q_{1}^{2}+q_{3}^{2})&2(q_{2}q_{3}-q_{0}q_{1})\\2(q_{1}q_{3}-q_{0}q_{2})&2(q_{0}q_{1}+q_{2}q_{3})&1-2(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})\end{bmatrix}}}$

или, что то же самое, однородный выражение:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}q_{0}^{2}+q_{1}^{2}-q_{2}^{2}-q_{3}^{2}&2(q_{1}q_{2}-q_{0}q_{3})&2(q_{0}q_{2}+q_{1}q_{3})\\2(q_{1}q_{2}+q_{0}q_{3})&q_{0}^{2}-q_{1}^{2}+q_{2}^{2}-q_{3}^{2}&2(q_{2}q_{3}-q_{0}q_{1})\\2(q_{1}q_{3}-q_{0}q_{2})&2(q_{0}q_{1}+q_{2}q_{3})&q_{0}^{2}-q_{1}^{2}-q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\end{bmatrix}}}$

Если ${\displaystyle q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}}$ не является единичным кватернионом, тогда однородная форма по-прежнему является скалярным множителем матрицы вращения, в то время как неоднородная форма, как правило, больше не является ортогональной матрицей. Вот почему в числовой работе предпочтительнее однородная форма, чтобы избежать искажений.

Матрица направляющего косинуса (от повернутых координат XYZ тела до исходных координат Lab xyz для вращения по часовой стрелке / влево), соответствующая постмножению Тело 3-2-1 последовательность с Углы Эйлера (ψ, θ, φ) определяется выражением:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}&=R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ){\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Углы Эйлера для последовательности Body 3-1-3 - система xyz (исходная фиксированная лаборатория) показана синим цветом, система XYZ (повернутое конечное тело) - красным. Линия узлов, обозначенная N и показанная зеленым цветом, является промежуточной осью X тела, вокруг которой происходит второе вращение.

Преобразование углов Эйлера в кватернионы

Комбинируя кватернионные представления вращений Эйлера, мы получаем для Тело 3-2-1 последовательность, в которой самолет сначала выполняет поворот (Body-Z) во время руления на взлетно-посадочную полосу, затем наклоняется (Body-Y) во время взлета и, наконец, катится (Body-X) в воздухе. Результирующая ориентация последовательности Body 3-2-1 (вокруг оси с заглавными буквами на иллюстрации углов Тейта-Брайана) эквивалентна ориентации последовательности лабораторных работ 1-2-3 (вокруг оси с нижним регистром), где самолет сначала прокатился (ось lab-x), затем повернулся вверх вокруг горизонтальной оси lab-y и, наконец, повернулся вокруг вертикальной оси lab-z (фунт = lab2Body):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q_{lB}} &={\begin{bmatrix}\cos(\psi /2)\\0\\0\\\sin(\psi /2)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)\\0\\\sin(\theta /2)\\0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\phi /2)\\\sin(\phi /2)\\0\\0\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos(\phi /2)\cos(\theta /2)\cos(\psi /2)+\sin(\phi /2)\sin(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\sin(\phi /2)\cos(\theta /2)\cos(\psi /2)-\cos(\phi /2)\sin(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\cos(\phi /2)\sin(\theta /2)\cos(\psi /2)+\sin(\phi /2)\cos(\theta /2)\sin(\psi /2)\\\cos(\phi /2)\cos(\theta /2)\sin(\psi /2)-\sin(\phi /2)\sin(\theta /2)\cos(\psi /2)\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

В других последовательностях вращения используются другие соглашения.^[2]

Исходный код

Код ниже на C ++ иллюстрирует приведенное выше преобразование:

структура Кватернион{    двойной ш, Икс, у, z;};Кватернион ToQuaternion(двойной рыскание, двойной подача, двойной рулон) // рыскание (Z), тангаж (Y), крен (X){    // Сокращения для различных угловых функций    двойной Сай = потому что(рыскание * 0.5);    двойной сы = грех(рыскание * 0.5);    двойной cp = потому что(подача * 0.5);    двойной зр = грех(подача * 0.5);    двойной cr = потому что(рулон * 0.5);    двойной SR = грех(рулон * 0.5);    Кватернион q;    q.ш = cr * cp * Сай + SR * зр * сы;    q.Икс = SR * cp * Сай - cr * зр * сы;    q.у = cr * зр * Сай + SR * cp * сы;    q.z = cr * cp * сы - SR * зр * Сай;    возвращаться q;}

Преобразование кватернионов в углы Эйлера

Углы Эйлера можно получить из кватернионов с помощью соотношений:^[3]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\phi \\\theta \\\psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\mbox{arctan}}{\frac {2(q_{0}q_{1}+q_{2}q_{3})}{1-2(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})}}\\{\mbox{arcsin}}(2(q_{0}q_{2}-q_{3}q_{1}))\\{\mbox{arctan}}{\frac {2(q_{0}q_{3}+q_{1}q_{2})}{1-2(q_{2}^{2}+q_{3}^{2})}}\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, однако, что арктан и Arcsin функции, реализованные на компьютерных языках, дают результаты только между −π / 2 и π / 2, а для трех поворотов между −π / 2 и π / 2 не получаются все возможные ориентации. Чтобы сгенерировать все ориентации, нужно заменить функции arctan в компьютерном коде на atan2:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\phi \\\theta \\\psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\mbox{atan2}}(2(q_{0}q_{1}+q_{2}q_{3}),1-2(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}))\\{\mbox{asin}}(2(q_{0}q_{2}-q_{3}q_{1}))\\{\mbox{atan2}}(2(q_{0}q_{3}+q_{1}q_{2}),1-2(q_{2}^{2}+q_{3}^{2}))\end{bmatrix}}}$

Исходный код

Следующая программа на C ++ иллюстрирует приведенное выше преобразование:

#define _USE_MATH_DEFINES#включают <cmath>структура Кватернион {    двойной ш, Икс, у, z;};структура ЭйлераУглы {    двойной рулон, подача, рыскание;};ЭйлераУглы ToEulerAngles(Кватернион q) {    ЭйлераУглы углы;    // крен (вращение по оси x)    двойной sinr_cosp = 2 * (q.ш * q.Икс + q.у * q.z);    двойной cosr_cosp = 1 - 2 * (q.Икс * q.Икс + q.у * q.у);    углы.рулон = стандартное::atan2(sinr_cosp, cosr_cosp);    // шаг (вращение по оси Y)    двойной синп = 2 * (q.ш * q.у - q.z * q.Икс);    если (стандартное::пресс(синп) >= 1)        углы.подача = стандартное::копия(M_PI / 2, синп); // использовать 90 градусов, если вне допустимого диапазона    еще        углы.подача = стандартное::как в(синп);    // рыскание (вращение по оси Z)    двойной siny_cosp = 2 * (q.ш * q.z + q.Икс * q.у);    двойной cosy_cosp = 1 - 2 * (q.у * q.у + q.z * q.z);    углы.рыскание = стандартное::atan2(siny_cosp, cosy_cosp);    возвращаться углы;}

Особенности

Следует помнить об особенностях параметризации угла Эйлера, когда шаг приближается к ± 90 ° (северный / южный полюс). К этим случаям нужно обращаться специально. Обычное название этой ситуации - карданный замок.

Код для обработки особенностей взят на этом сайте: www.euclideanspace.com

Вращение вектора

Определим скалярную ${\displaystyle q_{0}}$ и вектор ${\displaystyle {\vec {q}}}$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{0},{\vec {q}})=q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}}$.

Обратите внимание, что канонический способ поворота трехмерного вектора ${\displaystyle {\vec {v}}}$ кватернионом ${\displaystyle q}$ определение Вращение Эйлера находится по формуле

${\displaystyle \mathbf {p} ^{\,\prime }=\mathbf {qpq} ^{\ast }}$

куда ${\displaystyle \mathbf {p} =(0,{\vec {v}})=0+iv_{1}+jv_{2}+kv_{3}}$ - кватернион, содержащий вложенный вектор ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle \mathbf {q} ^{\ast }=(q_{0},-{\vec {q}})}$ это сопряженный кватернион, и ${\displaystyle \mathbf {p} ^{\,\prime }=(0,{\vec {v}}^{\,\prime })}$ повернутый вектор ${\displaystyle {\vec {v}}^{\,\prime }}$. В вычислительных реализациях это требует умножения на два кватерниона. Альтернативный подход - применить пару соотношений

${\displaystyle {\vec {t}}=2{\vec {q}}\times {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}^{\,\prime }={\vec {v}}+q_{0}{\vec {t}}+{\vec {q}}\times {\vec {t}}}$

куда ${\displaystyle \times }$ обозначает трехмерное векторное произведение. Это требует меньшего количества умножений и, следовательно, быстрее в вычислительном отношении. Численные тесты показывают, что последний подход может составлять до 30%. ^[4] быстрее, чем оригинал для вращения вектора.

Доказательство

Общее правило умножения кватернионов с участием скалярная и векторная части дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q_{1}q_{2}} &=(r_{1},{\vec {v}}_{1})(r_{2},{\vec {v}}_{2})\\&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})\\\end{aligned}}}$

Используя это соотношение, можно найти ${\displaystyle \mathbf {p} =(0,{\vec {v}})}$ который

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {pq^{\ast }} &=(0,{\vec {v}})(q_{0},-{\vec {q}})\\&=({\vec {v}}\cdot {\vec {q}},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\\end{aligned}}}$

и при замене на тройное произведение

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {qpq^{\ast }} &=(q_{0},{\vec {q}})({\vec {v}}\cdot {\vec {q}},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\&=(0,q_{0}^{2}{\vec {v}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}){\vec {q}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+{\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{aligned}}}$

где антикоммутивность перекрестного произведения и ${\displaystyle {\vec {q}}\cdot {\vec {v}}\times {\vec {q}}=0}$ был применен. Следующей эксплуатацией свойства, которое ${\displaystyle \mathbf {q} }$ это кватернион единиц так что ${\displaystyle q_{0}^{2}=1-{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}}$вместе со стандартным векторным тождеством

${\displaystyle {\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}})=({\vec {q}}\cdot {\vec {v}}){\vec {q}}-({\vec {q}}\cdot {\vec {q}}){\vec {v}}}$

можно получить

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\prime }&=\mathbf {qpq^{\ast }} =(0,{\vec {v}}+2q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+2{\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{aligned}}}$

который при определении ${\displaystyle {\vec {t}}=2{\vec {q}}\times {\vec {v}}}$ можно записать в терминах скалярной и векторной частей как

${\displaystyle (0,{\vec {v}}^{\,\prime })=(0,{\vec {v}}+q_{0}{\vec {t}}+{\vec {q}}\times {\vec {t}}).}$

Смотрите также

• Оператор вращения (векторное пространство)
• Кватернионы и пространственное вращение
• Углы Эйлера
• Матрица вращения
• Формализмы вращения в трех измерениях

Рекомендации

1. У. Г. Брекенридж, «Кватернионы предложили стандартные соглашения», Лаборатория реактивного движения НАСА, Технический отчет, октябрь 1979 г.
2. Отдел планирования и анализа миссий НАСА. «Углы Эйлера, кватернионы и матрицы преобразования» (PDF). НАСА. Получено 12 января 2013.
3. Бланко, Хосе-Луис (2010). "Учебное пособие по параметризации преобразования se (3) и оптимизации на многообразии". Университет Малаги, Tech. Представитель. CiteSeerX  10.1.1.468.5407.
4. Janota, A; Шимак, В; Nemec, D; Hrbček, J (2015). «Повышение точности и скорости вычисления углов Эйлера по данным недорогого датчика вращения». Датчики. 15 (3): 7016–7039. Дои:10,3390 / с150307016. ЧВК  4435132. PMID  25806874.

внешняя ссылка

• В60. Как преобразовать углы вращения Эйлера в кватернион? и связанные вопросы в FAQ по матрице и кватернионам