Формализмы вращения в трех измерениях - Rotation formalisms in three dimensions

Для более широкого освещения этой темы см. Группа вращения SO (3).

В геометрия, разные формализмы существуют, чтобы выразить вращение через три размеры как математический трансформация. В физике это понятие применяется к классическая механика где вращательный (или угловой) кинематика это наука о количественный описание чисто вращательного движение. В ориентация объекта в данный момент описывается с помощью тех же инструментов, поскольку он определяется как воображаемое вращение из исходного положения в пространстве, а не как фактически наблюдаемое вращение из предыдущего места в пространстве.

В соответствии с Теорема Эйлера вращения вращение жесткое тело (или трехмерный система координат с фиксированным источник ) описывается однократным вращением вокруг некоторой оси. Такое вращение можно однозначно описать минимум тремя настоящий параметры. Однако по разным причинам есть несколько способов его представления. Многие из этих представлений используют больше, чем необходимый минимум трех параметров, хотя каждый из них по-прежнему имеет только три степени свободы.

Пример использования представления вращения приведен в компьютерное зрение, где автоматизированный наблюдатель должен отслеживать цель. Рассмотрим твердое тело с тремя ортогональные единичные векторы прикреплен к его телу (представляя три оси локального система координат ). Основная проблема состоит в том, чтобы указать ориентацию этих трех единичные векторы, И, следовательно, твердое тело, по отношению к наблюдателю это система координат, рассматриваемое в качестве эталонного размещения в пространстве.

Вращения и движения

Основные статьи: Движение (геометрия) и Вращение (математика)

Формализмы ротации ориентированы на собственно (сохраняющий ориентацию ) движения Евклидово пространство с одна фиксированная точка, который вращение относится к. Хотя физические движения с фиксированной точкой являются важным случаем (например, описанные в рама центра масс, или движения соединение ), такой подход создает знания обо всех движениях. Любое собственное движение евклидова пространства распадается на вращение вокруг начала координат и перевод. В каком бы порядке их сочинение будет, "чистая" составляющая вращения не изменится, однозначно определенная полным движением.

Можно также понимать "чистые" вращения как линейные карты в векторное пространство снабжены евклидовой структурой, а не как карты точки соответствующего аффинное пространство. Другими словами, формализм вращения захватывает только вращательную часть движения, которая содержит три степени свободы, и игнорирует поступательную часть, содержащую еще три.

При представлении вращения в виде чисел на компьютере некоторые люди предпочитают представление кватерниона или представление оси + угол, потому что они избегают карданный замок что может происходить с вращениями Эйлера.^[1]

Альтернативы формализму

Матрица вращения

Основная статья: Матрица вращения

Вышеупомянутая триада единичные векторы также называется основа. Указание координаты (составные части) векторов этого базиса в его текущем (повернутом) положении, в терминах опорных (не повернутых) координатных осей, будет полностью описывать поворот. Три единичных вектора, ${displaystyle {hat {mathbf {u} }}}$, ${displaystyle {hat {mathbf {v} }}}$ и ${displaystyle {hat {mathbf {w} }}}$, которые образуют повернутый базис, каждая состоит из 3 координат, что дает в общей сложности 9 параметров.

Эти параметры можно записать как элементы 3 × 3 матрица А, называется матрица вращения. Как правило, координаты каждого из этих векторов располагаются вдоль столбца матрицы (однако имейте в виду, что существует и широко используется альтернативное определение матрицы вращения, где координаты векторов, определенные выше, упорядочены по строкам^[2])

${displaystyle mathbf {A} =left[{egin{array}{ccc}{hat {mathbf {u} }}_{x}&{hat {mathbf {v} }}_{x}&{hat {mathbf {w} }}_{x}{hat {mathbf {u} }}_{y}&{hat {mathbf {v} }}_{y}&{hat {mathbf {w} }}_{y}{hat {mathbf {u} }}_{z}&{hat {mathbf {v} }}_{z}&{hat {mathbf {w} }}_{z}end{array}}ight]}$

Не все элементы матрицы вращения независимы - как диктует теорема Эйлера о вращении, матрица вращения имеет только три степени свободы.

Матрица вращения имеет следующие свойства:

• А настоящий, ортогональная матрица, поэтому каждая из его строк или столбцов представляет собой единичный вектор.
• В собственные значения из А находятся

${displaystyle left{1,e^{pm i heta }ight}={1, cos heta +isin heta , cos heta -isin heta }}$

куда я это стандарт мнимая единица с собственностью я² = −1

• В детерминант из А равен +1, что эквивалентно произведению его собственных значений.
• В след из А является 1 + 2 соз θ, что эквивалентно сумме собственных значений.

Угол θ которое появляется в выражении собственного значения, соответствует углу оси Эйлера и угловому представлению. В собственный вектор соответствующая собственному значению 1 является сопутствующей осью Эйлера, так как ось является единственным (отличным от нуля) вектором, который остается неизменным при умножении (вращении) слева на матрицу вращения.

Вышеуказанные свойства эквивалентны:

${displaystyle {egin{aligned}|{hat {mathbf {u} }}|=|{hat {mathbf {v} }}|=|{hat {mathbf {w} }}|&=1{hat {mathbf {u} }}cdot {hat {mathbf {v} }}&=0{hat {mathbf {u} }} imes {hat {mathbf {v} }}&={hat {mathbf {w} }},,end{aligned}}}$

это еще один способ заявить, что ${displaystyle ({hat {mathbf {u} }},{hat {mathbf {v} }},{hat {mathbf {w} }})}$ сформировать 3D ортонормированный базис. Эти операторы содержат всего 6 условий (перекрестное произведение содержит 3), оставляя матрицу вращения только с 3 степенями свободы, если требуется.

Два последовательных поворота, представленных матрицами А₁ и А₂ легко комбинируются как элементы группы,

${displaystyle mathbf {A} _{ ext{total}}=mathbf {A} _{2}mathbf {A} _{1}}$

(Обратите внимание на порядок, так как вращаемый вектор умножается справа).

Легкость, с которой векторы могут быть повернуты с помощью матрицы вращения, а также простота комбинирования последовательных поворотов, делают матрицу вращения полезным и популярным способом представления поворотов, даже несмотря на то, что он менее краток, чем другие представления.

Ось Эйлера и угол (вектор вращения)

Визуализация вращения, представленная осью Эйлера и углом.

Основная статья: Ось – угол представления

Из Теорема Эйлера вращения мы знаем, что любое вращение можно выразить как одиночный поворот вокруг некоторой оси. Ось - это единичный вектор (уникальный, кроме знака), который не изменяется при вращении. Величина угла также уникальна, ее знак определяется знаком оси вращения.

Ось можно представить в виде трехмерного единичный вектор

${displaystyle {hat {mathbf {e} }}={egin{bmatrix}e_{x}e_{y}e_{z}end{bmatrix}}}$

и угол на скаляр θ.

Так как ось нормализована, у нее всего два степени свободы. Угол добавляет третью степень свободы к этому представлению вращения.

Можно выразить вращение как вектор вращения, или же Вектор Эйлера, ненормализованный трехмерный вектор, направление которого задает ось, и длина которого равна θ,

${displaystyle mathbf {r} = heta {hat {mathbf {e} }},.}$

Вектор вращения полезен в некоторых контекстах, так как он представляет трехмерное вращение только с тремя скаляр значения (его компоненты), представляющие три степени свободы. Это также верно для представлений, основанных на последовательностях трех углов Эйлера (см. Ниже).

Если угол поворота θ равен нулю, ось не определена однозначно. Объединение двух последовательных поворотов, каждое из которых представлено осью Эйлера и углом, непросто и фактически не удовлетворяет закону сложения векторов, который показывает, что конечные повороты на самом деле вообще не являются векторами. Лучше всего использовать матрицу вращения или нотацию кватернионов, вычислить произведение, а затем преобразовать обратно в ось Эйлера и угол.

Вращения Эйлера

Эйлеровы вращения Земли. Внутренний (зеленый), прецессия (синий) и нутация (красный)

Основная статья: Вращения Эйлера

Идея вращения Эйлера состоит в том, чтобы разделить полное вращение системы координат на три более простых основных вращения, называемых прецессия, нутация, и собственное вращение, каждый из которых является приращением одного из Углы Эйлера. Обратите внимание, что внешняя матрица будет представлять собой вращение вокруг одной из осей отсчета, и внутренняя матрицу представляет собой вращение вокруг одной из осей подвижных рам. Средняя матрица представляет собой вращение вокруг промежуточной оси, называемой линия узлов.

Однако определение углов Эйлера не является уникальным, и в литературе используется множество различных соглашений. Эти соглашения зависят от осей, вокруг которых выполняется вращение, и их последовательности (поскольку повороты не коммутативный ).

Используемое соглашение обычно указывается путем указания осей, вокруг которых происходят последовательные вращения (перед составлением), с указанием на них индекса (1, 2, 3) или письмо (X, Y, Z). Сообщества инженеров и робототехников обычно используют углы Эйлера 3-1-3. Обратите внимание, что после создания независимых поворотов они больше не вращаются вокруг своей оси. Самая внешняя матрица вращает две другие, оставляя вторую матрицу вращения над линией узлов, а третью - в кадре, движущемся вместе с телом. Есть 3 × 3 × 3 = 27 возможные комбинации трех основных вращений, но только 3 × 2 × 2 = 12 из них можно использовать для представления произвольных трехмерных поворотов в виде углов Эйлера. Эти 12 комбинаций позволяют избежать последовательных вращений вокруг одной и той же оси (например, XXY), что уменьшит количество степеней свободы, которые могут быть представлены.

Следовательно, углы Эйлера никогда не выражаются через внешнюю систему отсчета или через совместно движущуюся рамку вращающегося тела, а в виде смеси. Другие соглашения (например, матрица вращения или же кватернионы ) используются, чтобы избежать этой проблемы.

В авиация ориентация самолета обычно выражается как внутренний Углы Тейта-Брайана после z-у′-Икс″ конвенции, которые называются Заголовок, высота, и банк (или как синоним, рыскание, подача, и рулон).

Кватернионы

Основная статья: Кватернионы и пространственное вращение

Кватернионы, которые образуют четырехмерный векторное пространство, оказались очень полезными при представлении поворотов благодаря ряду преимуществ по сравнению с другими представлениями, упомянутыми в этой статье.

Кватернионное представление вращения записывается как Versor (нормализованный кватернион)

${displaystyle {hat {mathbf {q} }}=q_{i}mathbf {i} +q_{j}mathbf {j} +q_{k}mathbf {k} +q_{r}={egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}q_{r}end{bmatrix}}}$

В приведенном выше определении кватернион хранится в виде массива в соответствии с соглашением, используемым в (Wertz 1980) и (Markley 2003). Альтернативное определение, используемое, например, в (Coutsias 1999) и (Schmidt 2001), определяет «скалярный» термин как первый элемент кватерниона, при этом другие элементы смещены на одну позицию вниз.

В терминах оси Эйлера

${displaystyle {hat {mathbf {e} }}={egin{bmatrix}e_{x}e_{y}e_{z}end{bmatrix}}}$

и угол θ Компоненты этого версора выражаются следующим образом:

${displaystyle {egin{aligned}q_{i}&=e_{x}sin {frac { heta }{2}}q_{j}&=e_{y}sin {frac { heta }{2}}q_{k}&=e_{z}sin {frac { heta }{2}}q_{r}&=cos {frac { heta }{2}}end{aligned}}}$

Осмотр показывает, что параметризация кватернионов подчиняется следующему ограничению:

${displaystyle q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1}$

Последний член (в нашем определении) часто называется скалярным членом, который берет свое начало в кватернионах, когда понимается как математическое расширение комплексных чисел, записанное как

${displaystyle a+bi+cj+dkqquad { ext{with }}a,b,c,din mathbb {R} }$

и где {я, j, k} являются гиперкомплексные числа удовлетворение

${displaystyle {egin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1ij&=&-ji&=&k&&jk&=&-kj&=&i&&ki&=&-ik&=&j&&end{array}}}$

Кватернионное умножение, которое используется для определения составной вращение выполняется так же, как и умножение сложные числа, за исключением того, что необходимо учитывать порядок элементов, поскольку умножение не коммутативно. В матричных обозначениях мы можем записать умножение кватернионов как

${displaystyle { ilde {mathbf {q} }}otimes mathbf {q} ={egin{bmatrix};;,q_{r}&;;,q_{k}&-q_{j}&;;,q_{i}-q_{k}&;;,q_{r}&;;,q_{i}&;;,q_{j};;,q_{j}&-q_{i}&;;,q_{r}&;;,q_{k}-q_{i}&-q_{j}&-q_{k}&;;,q_{r}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}{ ilde {q}}_{i}{ ilde {q}}_{j}{ ilde {q}}_{k}{ ilde {q}}_{r}end{bmatrix}}={egin{bmatrix};;,{ ilde {q}}_{r}&-{ ilde {q}}_{k}&;;,{ ilde {q}}_{j}&;;,{ ilde {q}}_{i};;,{ ilde {q}}_{k}&;;,{ ilde {q}}_{r}&-{ ilde {q}}_{i}&;;,{ ilde {q}}_{j}-{ ilde {q}}_{j}&;;,{ ilde {q}}_{i}&;;,{ ilde {q}}_{r}&;;,{ ilde {q}}_{k}-{ ilde {q}}_{i}&-{ ilde {q}}_{j}&-{ ilde {q}}_{k}&;;,{ ilde {q}}_{r}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}q_{r}end{bmatrix}}}$

Таким образом, комбинирование двух последовательных вращений кватернионов так же просто, как использование матрицы вращения. Так же, как две последовательные матрицы вращения, А₁ с последующим А₂, объединяются как

${displaystyle mathbf {A} _{3}=mathbf {A} _{2}mathbf {A} _{1}}$,

мы можем представить это с помощью параметров кватерниона аналогичным образом:

${displaystyle mathbf {q} _{3}=mathbf {q} _{2}otimes mathbf {q} _{1}}$

Кватернионы - очень популярная параметризация благодаря следующим свойствам:

• Более компактный, чем матричное представление, и менее восприимчивый к ошибки округления
• Элементы кватерниона непрерывно изменяются по единичной сфере в ℝ⁴, (обозначается S³) при изменении ориентации, избегая прерывистый скачки (присущие трехмерной параметризации)
• Выражение матрицы вращения через параметры кватернионов не требует тригонометрические функции
• С помощью произведения кватернионов легко объединить два отдельных вращения, представленных в виде кватернионов.

Как и матрицы вращения, кватернионы иногда необходимо перенормировать из-за ошибок округления, чтобы убедиться, что они соответствуют допустимым поворотам. Однако вычислительные затраты на перенормировку кватерниона намного меньше, чем на нормализацию 3 × 3 матрица.

Кватернионы также отражают спинорный характер вращений в трех измерениях. Для трехмерного объекта, связанного с его (фиксированным) окружением с помощью слабых струн или лент, струны или ленты можно распутать после два полные повороты вокруг некоторой фиксированной оси из начального распутанного состояния. Алгебраически кватернион, описывающий такое вращение, изменяется от скалярного +1 (изначально), через значения (скаляр + псевдовектор) до скалярных значений −1 (за один полный оборот), через значения (скаляр + псевдовектор) обратно на скаляр +1 (при два полных оборота). Этот цикл повторяется каждые 2 оборота. После 2п повороты (целое число п > 0), без каких-либо промежуточных попыток распутывания струны / полосы можно частично распутать обратно в 2(п − 1) состояние поворотов с каждым применением той же процедуры, что и при распутывании от 2 до 0 витков. Применяя ту же процедуру п раз займет 2п-запутанный объект обратно в распутанное состояние или состояние 0 оборотов. Процесс распутывания также устраняет любое скручивание самих струн / лент, вызванное вращением. Для демонстрации этих фактов можно использовать простые трехмерные механические модели.

Родригес вектор

Смотрите также: Формула вращения Родригеса

В Родригес вектор (иногда называют Вектор Гиббсас координатами, называемыми Параметры Родригеса)^[3][4] можно выразить через ось и угол поворота следующим образом:

${displaystyle mathbf {g} ={hat {mathbf {e} }} an {frac { heta }{2}}}$

Это представление является многомерным аналогом гномоническая проекция, отображая единичные кватернионы из 3-сферы на 3-мерную гиперплоскость чистого вектора.

Имеет разрыв на 180 ° (π радианы): как любой вектор вращения р стремится к углу π радиан, его касательная стремится к бесконечности.

Вращение грамм с последующим вращением ж в представлении Родригеса имеет простую форму композиции вращения

${displaystyle (mathbf {g} ,mathbf {f} )={frac {mathbf {g} +mathbf {f} -mathbf {f} imes mathbf {g} }{1-mathbf {g} cdot mathbf {f} }},.}$

Сегодня самый простой способ доказать эту формулу - это (верный) дублетное представление, куда грамм = n загар а, так далее.

Комбинаторные особенности только что упомянутого вывода матрицы Паули также идентичны эквивалентному кватернион вывод ниже. Постройте кватернион, связанный с пространственным вращением R, как,

${displaystyle S=cos {frac {phi }{2}}+sin {frac {phi }{2}}mathbf {S} .}$

Тогда композиция вращения R_B с R_А есть вращение R_C= R_Bр_А, с осью вращения и углом, определяемым произведением кватернионов,

${displaystyle A=cos {frac {alpha }{2}}+sin {frac {alpha }{2}}mathbf {A} quad { ext{and}}quad B=cos {frac {eta }{2}}+sin {frac {eta }{2}}mathbf {B} ,}$

то есть

${displaystyle C=cos {frac {gamma }{2}}+sin {frac {gamma }{2}}mathbf {C} ={Big (}cos {frac {eta }{2}}+sin {frac {eta }{2}}mathbf {B} {Big )}{Big (}cos {frac {alpha }{2}}+sin {frac {alpha }{2}}mathbf {A} {Big )}.}$

Разверните этот кватернионный продукт до

${displaystyle cos {frac {gamma }{2}}+sin {frac {gamma }{2}}mathbf {C} ={Big (}cos {frac {eta }{2}}cos {frac {alpha }{2}}-sin {frac {eta }{2}}sin {frac {alpha }{2}}mathbf {B} cdot mathbf {A} {Big )}}$${displaystyle +{Big (}sin {frac {eta }{2}}cos {frac {alpha }{2}}mathbf {B} +sin {frac {alpha }{2}}cos {frac {eta }{2}}mathbf {A} +sin {frac {eta }{2}}sin {frac {alpha }{2}}mathbf {B} imes mathbf {A} {Big )}.}$

Разделите обе части этого уравнения на тождество, полученное в результате предыдущего,

${displaystyle cos {frac {gamma }{2}}=cos {frac {eta }{2}}cos {frac {alpha }{2}}-sin {frac {eta }{2}}sin {frac {alpha }{2}}mathbf {B} cdot mathbf {A} ,}$

и оценить

${displaystyle an {frac {gamma }{2}}mathbf {C} ={frac { an {frac {eta }{2}}mathbf {B} + an {frac {alpha }{2}}mathbf {A} + an {frac {eta }{2}} an {frac {alpha }{2}}mathbf {B} imes mathbf {A} }{1- an {frac {eta }{2}} an {frac {alpha }{2}}mathbf {B} cdot mathbf {A} }}.}$

Это формула Родригеса для оси составного вращения, определяемой через оси двух вращений. Он вывел эту формулу в 1840 году (см. Стр. 408).^[5]

Три оси вращения А, B, и C образуют сферический треугольник, а двугранные углы между плоскостями, образованными сторонами этого треугольника, определяются углами поворота.

Модифицированные параметры Родригеса (MRP) могут быть выражены через ось Эйлера и угол как

${displaystyle mathbf {p} ={hat {mathbf {e} }} an {frac { heta }{4}},.}$

Модифицированный вектор Родригеса представляет собой стереографическая проекция отображение единичных кватернионов из 3-сферы на 3-мерную гиперплоскость чистого вектора.

Параметры Кэли – Клейна

Основная статья: Преобразование Кэли

См. Определение на Вольфрам Mathworld.

Многомерные аналоги

Смотрите также: Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

Закон преобразования вектора

Активные вращения трехмерного вектора п в евклидовом пространстве вокруг оси п над углом η можно легко записать в терминах скалярных и перекрестных произведений следующим образом:

${displaystyle { extbf {p}}'=p_{parallel }{ extbf {n}}+cos {eta },{ extbf {p}}_{perp }+sin {eta },{ extbf {p}}wedge { extbf {n}}}$

в которой

${displaystyle p_{parallel }={ extbf {p}}cdot { extbf {n}}}$

продольная составляющая п вдоль п, предоставленный скалярное произведение,

${displaystyle { extbf {p}}_{perp }={ extbf {p}}-({ extbf {p}}cdot { extbf {n}}){ extbf {n}}}$

поперечная составляющая п относительно п, и

${displaystyle { extbf {p}}wedge { extbf {n}}}$

это перекрестное произведение, из п с п.

Приведенная выше формула показывает, что продольная составляющая п остается без изменений, а поперечная часть п вращается в плоскости, перпендикулярной к п. Эта плоскость перекрыта поперечной частью п себя и направление, перпендикулярное обоим п и п. Вращение непосредственно идентифицируется в уравнении как двумерное вращение на угол η.

Пассивные вращения можно описать той же формулой, но с обратным знаком η или п.

Формулы преобразования между формализмами

Основная статья: Графики на SO (3)

Матрица вращения ↔ углы Эйлера

Углы Эйлера (φ, θ, ψ) можно извлечь из матрицы вращения ${displaystyle scriptstyle mathbf {A} }$ путем проверки матрицы вращения в аналитической форме.

Матрица вращения → углы Эйлера (z-Икс-z внешний)

С использованием Икс-конвенция, 3-1-3 внешний Углы Эйлера φ, θ и ψ (вокруг z-ось, Иксось и снова ${displaystyle scriptstyle Z}$-axis) можно получить следующим образом:

${displaystyle {egin{aligned}phi &=operatorname {atan2} left(A_{31},A_{32}ight) heta &=arccos left(A_{33}ight)psi &=-operatorname {atan2} left(A_{13},A_{23}ight)end{aligned}}}$

Обратите внимание, что atan2 (а, б) эквивалентно арктан а/б где также учитывается квадрант это точка (б, а) в; видеть atan2.

При реализации конвертации необходимо учитывать несколько ситуаций:^[6]

• Обычно есть два решения в интервале [−π, π]³. Приведенная выше формула работает только тогда, когда θ находится в пределах интервала [0, π].
• Для особого случая А₃₃ = 0, φ и ψ будет производным от А₁₁ и А₁₂.
• Существует бесконечно много, но счетно много решений вне интервала [−π, π]³.
• Применимы ли все математические решения для данного приложения, зависит от ситуации.

Углы Эйлера (z-у′-Икс″ внутренняя) → матрица вращения

Матрица вращения А генерируется из 3-2-1 внутренний Углы Эйлера путем умножения трех матриц, образованных вращениями вокруг осей.

${displaystyle mathbf {A} =mathbf {A} _{3}mathbf {A} _{2}mathbf {A} _{1}=mathbf {A} _{Z}mathbf {A} _{Y}mathbf {A} _{X}}$

Оси вращения зависят от конкретного используемого соглашения. Для Икс-согласно правилам ротации Икс-, у- и z-оси с углами ϕ, θ и ψ, отдельные матрицы выглядят следующим образом:

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {A} _{X}&={egin{bmatrix}1&0&0�&cos phi &-sin phi �&sin phi &cos phi end{bmatrix}}[5px]mathbf {A} _{Y}&={egin{bmatrix}cos heta &0&sin heta �&1&0-sin heta &0&cos heta end{bmatrix}}[5px]mathbf {A} _{Z}&={egin{bmatrix}cos psi &-sin psi &0sin psi &cos psi &0�&0&1end{bmatrix}}end{aligned}}}$

Это дает

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}cos heta cos psi &-cos phi sin psi +sin phi sin heta cos psi &sin phi sin psi +cos phi sin heta cos psi cos heta sin psi &cos phi cos psi +sin phi sin heta sin psi &-sin phi cos psi +cos phi sin heta sin psi -sin heta &sin phi cos heta &cos phi cos heta end{bmatrix}}}$

Примечание: это действительно для правая рука система, которая является условием, используемым почти во всех инженерных и физических дисциплинах.

Интерпретация этих матриц правого вращения состоит в том, что они выражают преобразования координат (пассивный ) в отличие от точечных преобразований (активный ). Потому что А выражает вращение из локальной системы отсчета 1 в глобальный фрейм 0 (т.е. А кодирует оси кадра 1 с рамой 0), элементарные матрицы вращения составлены, как указано выше. Поскольку обратное вращение - это просто вращение, транспонированное, если бы мы хотели глобальное вращение из кадра 0 к кадру 1, мы бы написали ${displaystyle mathbf {A} ^{ op }=(mathbf {A} _{Z}mathbf {A} _{Y}mathbf {A} _{X})^{ op }=mathbf {A} _{X}^{ op }mathbf {A} _{Y}^{ op }mathbf {A} _{Z}^{ op }}$.

Матрица вращения ↔ Ось Эйлера / угол

Если угол Эйлера θ не является кратным π, ось Эйлера ê и угол θ можно вычислить из элементов матрицы вращения А следующее:

${displaystyle {egin{aligned} heta &=arccos {frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}e_{1}&={frac {A_{32}-A_{23}}{2sin heta }}e_{2}&={frac {A_{13}-A_{31}}{2sin heta }}e_{3}&={frac {A_{21}-A_{12}}{2sin heta }}end{aligned}}}$

В качестве альтернативы можно использовать следующий метод:

Собственное разложение матрицы вращения дает собственные значения 1 и потому что θ ± я грех θ. Ось Эйлера - это собственный вектор, соответствующий собственному значению 1, а θ можно вычислить из оставшихся собственных значений.

Ось Эйлера также может быть найдена с помощью разложения по сингулярным числам, поскольку это нормализованный вектор, охватывающий нулевое пространство матрицы я − А.

Чтобы преобразовать в другую сторону матрицу вращения, соответствующую оси Эйлера ê и угол θ можно вычислить согласно Формула вращения Родригеса (с соответствующими изменениями) следующим образом:

${displaystyle mathbf {A} =mathbf {I} _{3}cos heta +(1-cos heta ){hat {mathbf {e} }}{hat {mathbf {e} }}^{mathsf {T}}+left[{hat {mathbf {e} }}ight]_{ imes }sin heta }$

с я₃ то 3 × 3 единичная матрица, и

${displaystyle left[{hat {mathbf {e} }}ight]_{ imes }={egin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}e_{3}&0&-e_{1}-e_{2}&e_{1}&0end{bmatrix}}}$

это матрица перекрестных продуктов.

Это расширяется до:

${displaystyle {egin{aligned}A_{11}&=(1-cos heta )e_{1}^{2}+cos heta A_{12}&=(1-cos heta )e_{1}e_{2}-e_{3}sin heta A_{13}&=(1-cos heta )e_{1}e_{3}+e_{2}sin heta A_{21}&=(1-cos heta )e_{2}e_{1}+e_{3}sin heta A_{22}&=(1-cos heta )e_{2}^{2}+cos heta A_{23}&=(1-cos heta )e_{2}e_{3}-e_{1}sin heta A_{31}&=(1-cos heta )e_{3}e_{1}-e_{2}sin heta A_{32}&=(1-cos heta )e_{3}e_{2}+e_{1}sin heta A_{33}&=(1-cos heta )e_{3}^{2}+cos heta end{aligned}}}$

Смотрите также: Матрица вращения § Матрица вращения от оси и угла

Матрица вращения ↔ кватернион

При вычислении кватерниона из матрицы вращения возникает неоднозначность знака, поскольку q и −q представляют собой такое же вращение.

Один из способов вычисления кватерниона

${displaystyle mathbf {q} ={egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}q_{r}end{bmatrix}}=q_{i}mathbf {i} +q_{j}mathbf {j} +q_{k}mathbf {k} +q_{r}}$

из матрицы вращения А как следует:

${displaystyle {egin{aligned}q_{r}&={frac {1}{2}}{sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}q_{i}&={frac {1}{4q_{r}}}left(A_{32}-A_{23}ight)q_{j}&={frac {1}{4q_{r}}}left(A_{13}-A_{31}ight)q_{k}&={frac {1}{4q_{r}}}left(A_{21}-A_{12}ight)end{aligned}}}$

Есть три других математически эквивалентных способа вычисления q. Численную неточность можно уменьшить, избегая ситуаций, когда знаменатель близок к нулю. Один из трех других методов выглядит следующим образом:^[7]

${displaystyle {egin{aligned}q_{i}&={frac {1}{2}}{sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}}q_{j}&={frac {1}{4q_{i}}}left(A_{12}+A_{21}ight)q_{k}&={frac {1}{4q_{i}}}left(A_{13}+A_{31}ight)q_{r}&={frac {1}{4q_{i}}}left(A_{32}-A_{23}ight)end{aligned}}}$

Матрица вращения, соответствующая кватерниону q можно вычислить следующим образом:

${displaystyle mathbf {A} =left(q_{r}^{2}-{check {mathbf {q} }}^{mathsf {T}}{check {mathbf {q} }}ight)mathbf {I} _{3}+2{check {mathbf {q} }}{check {mathbf {q} }}^{mathrm {T} }+2q_{r}mathbf {mathcal {Q}} }$

куда

${displaystyle {check {mathbf {q} }}={egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}end{bmatrix}},,quad mathbf {mathcal {Q}} ={egin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}q_{k}&0&-q_{i}-q_{j}&q_{i}&0end{bmatrix}}}$

который дает

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}ight)&2left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}ight)2left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}ight)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}ight)2left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}ight)&2left(q_{i}q_{r}+q_{j}q_{k}ight)&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}end{bmatrix}}}$

или эквивалентно

${displaystyle mathbf {A} ={egin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}ight)&2left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}ight)2left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}ight)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}ight)2left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}ight)&2left(q_{i}q_{r}+q_{j}q_{k}ight)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}end{bmatrix}}}$

Углы Эйлера ↔ кватернион

Основная статья: Преобразование кватернионов в углы Эйлера

Углы Эйлера (z-Икс-z внешний) → кватернион

Мы рассмотрим Икс-конвенция 3-1-3 внешние углы Эйлера по следующему алгоритму. Условия алгоритма зависят от используемого соглашения.

Мы можем вычислить кватернион

${displaystyle mathbf {q} ={egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}q_{r}end{bmatrix}}=q_{i}mathbf {i} +q_{j}mathbf {j} +q_{k}mathbf {k} +q_{r}}$

с углов Эйлера (φ, θ, ψ) следующее:

${displaystyle {egin{aligned}q_{i}&=cos {frac {phi -psi }{2}}sin {frac { heta }{2}}q_{j}&=sin {frac {phi -psi }{2}}sin {frac { heta }{2}}q_{k}&=sin {frac {phi +psi }{2}}cos {frac { heta }{2}}q_{r}&=cos {frac {phi +psi }{2}}cos {frac { heta }{2}}end{aligned}}}$

Углы Эйлера (z-у′-Икс″ внутренний) → кватернион

Кватернион, эквивалентный рыскание (ψ), подача (θ) и сверните (φ) углы. или же внутренний Углы Тейта – Брайана после z-у′-Икс″ соглашение, может быть вычислено

${displaystyle {egin{aligned}q_{i}&=sin {frac {phi }{2}}cos {frac { heta }{2}}cos {frac {psi }{2}}-cos {frac {phi }{2}}sin {frac { heta }{2}}sin {frac {psi }{2}}q_{j}&=cos {frac {phi }{2}}sin {frac { heta }{2}}cos {frac {psi }{2}}+sin {frac {phi }{2}}cos {frac { heta }{2}}sin {frac {psi }{2}}q_{k}&=cos {frac {phi }{2}}cos {frac { heta }{2}}sin {frac {psi }{2}}-sin {frac {phi }{2}}sin {frac { heta }{2}}cos {frac {psi }{2}}q_{r}&=cos {frac {phi }{2}}cos {frac { heta }{2}}cos {frac {psi }{2}}+sin {frac {phi }{2}}sin {frac { heta }{2}}sin {frac {psi }{2}}end{aligned}}}$

Кватернион → углы Эйлера (z-Икс-z внешний)

Учитывая кватернион вращения

${displaystyle mathbf {q} ={egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}q_{r}end{bmatrix}}=q_{i}mathbf {i} +q_{j}mathbf {j} +q_{k}mathbf {k} +q_{r},,}$

то Икс-конвенция 3-1-3 внешние углы Эйлера (φ, θ, ψ) можно вычислить

${displaystyle {egin{aligned}phi &=operatorname {atan2} left(left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}ight),-left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}ight)ight) heta &=arccos left(-q_{i}^{2}-q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}ight)psi &=operatorname {atan2} left(left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}ight),left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}ight)ight)end{aligned}}}$

Кватернион → углы Эйлера (z-у′-Икс″ внутренняя)

Учитывая кватернион вращения

${displaystyle mathbf {q} ={egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}q_{r}end{bmatrix}}=q_{i}mathbf {i} +q_{j}mathbf {j} +q_{k}mathbf {k} +q_{r},,}$

рыскание, подача и углы крена, или внутренний Углы Тейта – Брайана после z-у′-Икс″ соглашение, может быть вычислено

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{roll}}&=operatorname {atan2} left(2left(q_{r}q_{i}+q_{j}q_{k}ight),1-2left(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}ight)ight){ ext{pitch}}&=arcsin left(2left(q_{r}q_{j}-q_{k}q_{i}ight)ight){ ext{yaw}}&=operatorname {atan2} left(2left(q_{r}q_{k}+q_{i}q_{j}ight),1-2left(q_{j}^{2}+q_{k}^{2}ight)ight)end{aligned}}}$

Ось Эйлера – угол ↔ кватернион

Учитывая ось Эйлера ê и угол θ, кватернион

${displaystyle mathbf {q} ={egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}q_{r}end{bmatrix}}=q_{i}mathbf {i} +q_{j}mathbf {j} +q_{k}mathbf {k} +q_{r},,}$

можно вычислить

${displaystyle {egin{aligned}q_{i}&={hat {e}}_{1}sin {frac { heta }{2}}q_{j}&={hat {e}}_{2}sin {frac { heta }{2}}q_{k}&={hat {e}}_{3}sin {frac { heta }{2}}q_{r}&=cos {frac { heta }{2}}end{aligned}}}$

Учитывая кватернион вращения q, определять

${displaystyle {check {mathbf {q} }}={egin{bmatrix}q_{i}q_{j}q_{k}end{bmatrix}},.}$

Тогда ось Эйлера ê и угол θ можно вычислить

${displaystyle {egin{aligned}{hat {mathbf {e} }}&={frac {check {mathbf {q} }}{left|{check {mathbf {q} }}ight|}} heta &=2arccos q_{r}end{aligned}}}$

Формулы преобразования для производных

Матрица вращения ↔ угловые скорости

Вектор угловой скорости

${displaystyle {oldsymbol {omega }}={egin{bmatrix}omega _{x}omega _{y}omega _{z}end{bmatrix}}}$

можно извлечь из производная по времени матрицы вращения dА/dт следующим соотношением:

${displaystyle [{oldsymbol {omega }}]_{ imes }={egin{bmatrix}0&-omega _{z}&omega _{y}omega _{z}&0&-omega _{x}-omega _{y}&omega _{x}&0end{bmatrix}}={frac {mathrm {d} mathbf {A} }{mathrm {d} t}}mathbf {A} ^{mathsf {T}}}$

Вывод адаптирован из Иоффе.^[8] следующее:

Для любого вектора р₀, учитывать р(т)=А(т)р₀ и дифференцируем его:

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {r} }{mathrm {d} t}}={frac {mathrm {d} mathbf {A} }{mathrm {d} t}}mathbf {r} _{0}={frac {mathrm {d} mathbf {A} }{mathrm {d} t}}mathbf {A} ^{mathsf {T}}(t)mathrm {r} (t)}$

Производная вектора - это линейная скорость его кончика. С А матрица вращения, по определению длина р(т) всегда равна длине р₀, а значит, не меняется со временем. Таким образом, когда р(т) вращается, его острие движется по окружности, и линейная скорость его острия тангенциальна к окружности; т.е. всегда перпендикулярно р(т). В этом конкретном случае связь между вектором линейной скорости и вектором угловой скорости равна

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {r} }{mathrm {d} t}}={oldsymbol {omega }}(t) imes mathbf {r} (t)=[{oldsymbol {omega }}]_{ imes }mathbf {r} (t)}$

(видеть круговое движение и перекрестное произведение ).

Посредством транзитивность приведенных выше уравнений,

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {A} }{mathrm {d} t}}mathbf {A} ^{mathsf {T}}(t)mathbf {r} (t)=[{oldsymbol {omega }}]_{ imes }mathbf {r} (t)}$

что подразумевает

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {A} }{mathrm {d} t}}mathbf {A} ^{mathsf {T}}(t)=[{oldsymbol {omega }}]_{ imes }}$

Кватернион ↔ угловые скорости

Вектор угловой скорости

${displaystyle {oldsymbol {omega }}={egin{bmatrix}omega _{x}omega _{y}omega _{z}end{bmatrix}}}$

можно получить из производной кватерниона dq/dт следующее:^[9]

${displaystyle {egin{bmatrix}0omega _{x}omega _{y}omega _{z}end{bmatrix}}=2{frac {mathrm {d} mathbf {q} }{mathrm {d} t}}{ ilde {mathbf {q} }}}$

куда ${ extstyle { ilde {mathbf {q} }}}$ является сопряженным (обратным) ${ extstyle mathbf {q} }$.

И наоборот, производная кватерниона равна

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {q} }{mathrm {d} t}}={frac {1}{2}}{egin{bmatrix}0omega _{x}omega _{y}omega _{z}end{bmatrix}}mathbf {q} ,.}$

Роторы в геометрической алгебре

Формализм геометрическая алгебра (GA) предоставляет расширение и интерпретацию метода кватернионов. Центральное место в GA занимает геометрическое произведение векторов, расширение традиционного внутренний и перекрестные продукты, данный

${displaystyle mathbf {ab} =mathbf {a} cdot mathbf {b} +mathbf {a} wedge mathbf {b} }$

где символ ∧ обозначает внешний продукт или продукт-клин. Это произведение векторов а, и б производит два члена: скалярную часть из внутреннего произведения и бивектор деталь из клинового изделия. Этот бивектор описывает плоскость, перпендикулярную тому, что должно возвращать векторное произведение векторов.

Бивекторы в GA обладают некоторыми необычными свойствами по сравнению с векторами. Под геометрическим произведением у бивекторов есть отрицательный квадрат: бивектор x̂ŷ описывает ху-самолет. Его площадь (x̂ŷ)² = x̂ŷx̂ŷ. Поскольку единичные базисные векторы ортогональны друг другу, геометрическое произведение сводится к антисимметричному внешнему произведению - Икс и ŷ можно свободно менять местами с коэффициентом -1. Квадрат сводится к −x̂x̂ŷŷ = −1 поскольку сами базисные векторы равны +1.

Этот результат в целом справедлив для всех бивекторов, и в результате бивектор играет роль, аналогичную роли мнимая единица. В геометрической алгебре бивекторы используются как аналог кватерниона. ротор, данный

${displaystyle mathbf {R} =exp left({frac {-{hat {mathbf {B} }} heta }{2}}ight)=cos {frac { heta }{2}}-{hat {mathbf {B} }}sin {frac { heta }{2}},,}$

куда B̂ - единичный бивектор, описывающий плоскость вращения. Потому что B̂ квадратов до −1, степенной ряд расширение р генерирует тригонометрические функции. Формула вращения, отображающая вектор а к повернутому вектору б затем

${displaystyle mathbf {b} =mathbf {RaR} ^{dagger }}$

куда

${displaystyle mathbf {R} ^{dagger }=exp left({frac {1}{2}}{hat {mathbf {B} }} heta ight)=cos {frac { heta }{2}}+{hat {mathbf {B} }}sin {frac { heta }{2}}}$

это обеспечить регресс из ${displaystyle scriptstyle R}$ (меняя порядок векторов в ${displaystyle scriptstyle B}$ эквивалентно изменению знака).

Пример. Вращение вокруг оси

${displaystyle {hat {mathbf {v} }}={frac {1}{sqrt {3}}}left({hat {mathbf {x} }}+{hat {mathbf {y} }}+{hat {mathbf {z} }}ight)}$

может быть достигнуто путем преобразования v̂ к своему двойному бивектору,

${displaystyle {hat {mathbf {B} }}={hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {y} }}{hat {mathbf {z} }}{hat {mathbf {v} }}=mathbf {i} {hat {mathbf {v} }},,}$

куда я = x̂ŷẑ - элемент единичного объема, единственный тривектор (псевдоскаляр) в трехмерном пространстве. Результат

${displaystyle {hat {mathbf {B} }}={frac {1}{sqrt {3}}}left({hat {mathbf {y} }}{hat {mathbf {z} }}+{hat {mathbf {z} }}{hat {mathbf {x} }}+{hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {y} }}ight),.}$

Однако в трехмерном пространстве часто проще оставить выражение для B̂ = iv̂, используя тот факт, что я коммутирует со всеми объектами в 3D, а также квадратами до -1. Вращение Икс вектор в этой плоскости на угол θ затем

${displaystyle {hat {mathbf {x} }}'=mathbf {R} {hat {mathbf {x} }}mathbf {R} ^{dagger }=e^{-mathbf {i} {hat {mathbf {v} }}{frac { heta }{2}}}{hat {mathbf {x} }}e^{i{hat {mathbf {v} }}{frac { heta }{2}}}={hat {mathbf {x} }}cos ^{2}{frac { heta }{2}}+mathbf {i} left({hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {v} }}-{hat {mathbf {v} }}{hat {mathbf {x} }}ight)cos {frac { heta }{2}}sin {frac { heta }{2}}+{hat {mathbf {v} }}{hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {v} }}sin ^{2}{frac { heta }{2}}}$

Признавая, что

${displaystyle mathbf {i} ({hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {v} }}-{hat {mathbf {v} }}{hat {mathbf {x} }})=2mathbf {i} ({hat {mathbf {x} }}wedge {hat {mathbf {v} }})}$

и это −v̂x̂v̂ это отражение Икс о плоскости, перпендикулярной к v̂ дает геометрическую интерпретацию операции вращения: вращение сохраняет компоненты, параллельные v̂ и меняет только перпендикулярные. Затем вычисляются члены:

${displaystyle {egin{aligned}{hat {mathbf {v} }}{hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {v} }}&={frac {1}{3}}left(-{hat {mathbf {x} }}+2{hat {mathbf {y} }}+2{hat {mathbf {z} }}ight)2mathbf {i} {hat {mathbf {x} }}wedge {hat {mathbf {v} }}&=2mathbf {i} {frac {1}{sqrt {3}}}left({hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {y} }}+{hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {z} }}ight)={frac {2}{sqrt {3}}}left({hat {mathbf {y} }}-{hat {mathbf {z} }}ight)end{aligned}}}$

Результатом вращения будет

${displaystyle {hat {mathbf {x} }}'={hat {mathbf {x} }}left(cos ^{2}{frac { heta }{2}}-{frac {1}{3}}sin ^{2}{frac { heta }{2}}ight)+{frac {2}{3}}{hat {mathbf {y} }}sin {frac { heta }{2}}left(sin {frac { heta }{2}}+{sqrt {3}}cos {frac { heta }{2}}ight)+{frac {2}{3}}{hat {mathbf {z} }}sin {frac { heta }{2}}left(sin {frac { heta }{2}}-{sqrt {3}}cos {frac { heta }{2}}ight)}$

Простая проверка этого результата - угол θ = 2/3π. Такой поворот должен отображать Икс к ŷ. Действительно, вращение сводится к

${displaystyle {egin{aligned}{hat {mathbf {x} }}'&={hat {mathbf {x} }}left({frac {1}{4}}-{frac {1}{3}}{frac {3}{4}}ight)+{frac {2}{3}}{hat {mathbf {y} }}{frac {sqrt {3}}{2}}left({frac {sqrt {3}}{2}}+{sqrt {3}}{frac {1}{2}}ight)+{frac {2}{3}}{hat {mathbf {z} }}{frac {sqrt {3}}{2}}left({frac {sqrt {3}}{2}}-{sqrt {3}}{frac {1}{2}}ight)&=0{hat {mathbf {x} }}+{hat {mathbf {y} }}+0{hat {mathbf {z} }}={hat {mathbf {y} }}end{aligned}}}$

именно так, как ожидалось. Эта формула вращения верна не только для векторов, но и для любых многовекторный. Кроме того, использование углов Эйлера значительно снижает сложность операции. Сложные вращения происходят от умножения роторов, поэтому общий ротор из углов Эйлера равен

${displaystyle mathbf {R} =mathbf {R} _{gamma '}mathbf {R} _{eta '}mathbf {R} _{alpha }=exp left({frac {-mathbf {i} {hat {mathbf {z} }}'gamma }{2}}ight)exp left({frac {-mathbf {i} {hat {mathbf {x} }}'eta }{2}}ight)exp left({frac {-mathbf {i} {hat {mathbf {z} }}alpha }{2}}ight)}$

но

${displaystyle {egin{aligned}{hat {mathbf {x} }}'&=mathbf {R} _{alpha }{hat {mathbf {x} }}mathbf {R} _{alpha }^{dagger }quad { ext{and}}{hat {mathbf {z} }}'&=mathbf {R} _{eta '}{hat {mathbf {z} }}mathbf {R} _{eta '}^{dagger },.end{aligned}}}$

Эти роторы возвращаются из экспонент следующим образом:

${displaystyle mathbf {R} _{eta '}=cos {frac {eta }{2}}-mathbf {i} mathbf {R} _{alpha }{hat {mathbf {x} }}mathbf {R} _{alpha }^{dagger }sin {frac {eta }{2}}=mathbf {R} _{alpha }mathbf {R} _{eta }mathbf {R} _{alpha }^{dagger }}$

куда р_β относится к вращению в исходных координатах. Аналогично для γ вращение

${displaystyle mathbf {R} _{gamma '}=mathbf {R} _{eta '}mathbf {R} _{gamma }mathbf {R} _{eta '}^{dagger }=mathbf {R} _{alpha }mathbf {R} _{eta }mathbf {R} _{alpha }^{dagger }mathbf {R} _{gamma }mathbf {R} _{alpha }mathbf {R} _{eta }^{dagger }mathbf {R} _{alpha }^{dagger },.}$

Отмечая, что р_γ и р_α коммутируют (вращения в одной плоскости должны коммутировать), и общий ротор становится

${displaystyle mathbf {R} =mathbf {R} _{alpha }mathbf {R} _{eta }mathbf {R} _{gamma }}$

Таким образом, составные повороты углов Эйлера становятся серией эквивалентных поворотов в исходной фиксированной системе отсчета.

Хотя роторы в геометрической алгебре работают почти так же, как кватернионы в трех измерениях, сила этого формализма заключается в его универсальности: этот метод применим и применим в пространствах с любым числом измерений. В 3D вращение имеет три степени свободы, по одной степени для каждой линейно независимой плоскости (бивектора), в которой может происходить вращение. Известно, что пары кватернионов могут использоваться для создания вращений в 4D, что дает шесть степеней свободы, и подход геометрической алгебры подтверждает этот результат: в 4D есть шесть линейно независимых бивекторов, которые могут использоваться в качестве генераторов вращений.

Угол-угол-угол

Вращения можно моделировать как ось и угол; как показано с гироскоп ось которого проходит через ротор, а величина вращения вокруг этой оси демонстрируется вращением ротора; это вращение можно выразить как ${displaystyle angle*(axis)}$ где ось - единичный вектор, определяющий направление оси ротора. От исходной точки в любом направлении идет одна и та же ось вращения с масштабом угла, эквивалентным расстоянию от исходной точки. Из любой другой точки пространства аналогично тот же вектор направления, применяемый относительно ориентации, представленной начальной точкой, а не исходной точкой, применяет то же изменение вокруг тех же осей, которые задает единичный вектор. В ${displaystyle angle*axis}$ масштабирование каждой точки дает уникальную координату в нотации "угол-угол-угол". Разница между двумя координатами сразу дает единственную ось вращения и угол между двумя ориентациями.

Натуральный логарифм кватерниона представляет собой искривленное пространство на 3 угла вокруг 3 осей вращения и выражается в длине дуги; похожи на углы Эйлера, но не зависят от порядка^[10]. Существует Формула произведения Ли определение сложения вращений, которое состоит в том, что они являются суммой бесконечно малых шагов каждого вращения, применяемого последовательно; это означало бы, что повороты являются результатом применения всех вращений в один и тот же момент, а не последовательностью поворотов, применяемых впоследствии.

Оси вращения выровнены по стандартной декартовой системе координат. ${displaystyle X,Y,Z}$ топоры. Эти повороты можно просто складывать и вычитать, особенно когда вращаемые рамки прикреплены друг к другу, как в цепочках IK. Различия между двумя объектами, находящимися в одной системе отсчета, можно найти путем простого вычитания их ориентации. Вращения, которые применяются из внешних источников или исходят из источников относительно текущего вращения, по-прежнему требуют умножения, предусмотрено применение формулы Родригеса.

Вращение от каждой оси координат представляет собой вращение плоскости, перпендикулярной указанной оси, одновременно со всеми другими осями. Хотя меры можно рассматривать в углах, на самом деле представлением является длина дуги кривой; угол подразумевает поворот вокруг точки, где кривизна - это дельта, приложенная к текущей точке в инерциальном направлении.

Просто наблюдательное примечание: кватернионы бревен имеют кольца или октавы вращения; то есть для оборотов больше 4${displaystyle pi }$ имеют связанные кривые. Кривизна предметов, приближающихся к этой границе, кажется, хаотично прыгает по орбитам.

Для «удобочитаемых» углов можно использовать 1-норму, чтобы изменить масштаб углов, чтобы они выглядели более «подходящими»; так же, как градус Цельсия, можно считать более правильным, чем Фаренгейт.

${displaystyle {Q}={egin{bmatrix}XYend{bmatrix}}}$

Другие связанные значения могут быть получены немедленно:

${displaystyle {egin{matrix}||V||or||V||_{2}={sqrt {XX+YY+ZZ}}||V||_{1}=|X|+|Y|+|Z|end{matrix}}}$

Общий угол поворота ....

${displaystyle heta =||V||}$

Ось вращения ...

${displaystyle Axis(lnQ)={egin{bmatrix}{frac {X}{ heta }}{frac {Y}{ heta }}{frac {Z}{ heta }}end{bmatrix}}}$

Преобразование в 1 норму

(Требуется / предлагается иллюстрация) Вращение на «90 градусов вокруг одной оси и на 90 градусов вокруг другой оси» можно назвать «180 градусов»; такое вращение выглядело бы как полный переворот плоскости, и это так, но для значений вектора с двумя нормами этот пример будет ${displaystyle {sqrt {2}}}$ выключенный.

${displaystyle Q_{h}=Q*||Q||/||Q||_{1}}$

Математически значение 1 нормы никогда не используется; и векторы вращения точно такие же, как векторы скорости в 3-м измерении, которые могут быть представлены как ${displaystyle {speed}cdot {directionunitvector}}$, подобно ${displaystyle {angle}cdot {axisofrotation}}$.

Представление кватерниона

${displaystyle Q={egin{bmatrix}cos {frac { heta }{2}}sin {frac { heta }{2}}{{frac {X}{|}}|Q||}sin {frac { heta }{2}}{{frac {Y}{|}}|Q||}sin {frac { heta }{2}}{{frac {Z}{|}}|Q||}end{bmatrix}}}$

Расчет базовой матрицы

Это было построено из вращения векторов (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) и сокращения констант.

Учитывая ввод ${displaystyle {Q}=[{X}{Y}{Z}]}$

${displaystyle {egin{matrix}q_{r}=cos heta q_{i}=sin heta cdot {frac {X}{||Q||}}q_{j}=sin heta cdot {frac {Y}{||Q||}}q_{k}=sin heta cdot {frac {Z}{||Q||}}end{matrix}}}$

Которые используются для вычисления результирующей матрицы ...

${displaystyle {egin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r})&2(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})2(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r})2(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r})&2(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}end{bmatrix}}}$

Расчет альтернативной основы

В качестве альтернативы это можно использовать

данный: ${displaystyle {A}=[X,Y,Z]}$

преобразовать в ось угла ${displaystyle heta =||A||}$, и ${displaystyle [x,y,z]}$ = ${displaystyle {frac {A}{||A||}}}$

Вычислить некоторые частичные выражения:${displaystyle {egin{matrix}x_{y}=xy(1-cos heta )&w_{x}=xsin heta &x_{x}=xx(1-cos heta )y_{z}=yz(1-cos heta )&w_{y}=ysin heta &y_{y}=yy(1-cos heta )x_{z}=xz(1-cos heta )&w_{z}=zsin heta &z_{z}=zz(1-cos heta )end{matrix}}}$

Вычислите полученную матрицу: ${displaystyle {egin{bmatrix}cos heta +x_{x}&x_{y}+w_{z}&w_{y}+x_{z}w_{z}+x_{y}&cos heta +y_{y}&y_{z}-w_{x}x_{z}-w_{y}&w_{x}+y_{z}&cos heta +z_{z}end{bmatrix}}}$

Расширенный: ${displaystyle {egin{bmatrix}cos heta +x^{2}(1-cos heta )&xy(1-cos heta )+zsin heta &ysin heta +xz(1-cos heta )zsin heta +xy(1-cos heta )&cos heta +y^{2}(1-cos heta )&yz(1-cos heta )-xsin heta xz(1-cos heta )-ysin heta &xsin heta +yz(1-cos heta )&cos heta +z^{2}(1-cos heta )end{bmatrix}}}$

Вращение вектора

По сути, это преобразование в кватернион, а затем в приложение. Умножение взято из этого блога^[11].

Поверните этот вектор ...

${displaystyle {egin{bmatrix}v_{X}v_{Y}v_{Z}end{bmatrix}}}$

Рассчитайте ${displaystyle sin()}$ и ${displaystyle cos()}$ от общего угла поворота ...

${displaystyle sin{ heta }=sin( heta )}$

${displaystyle qw=cos({ heta })}$

Масштабируйте нормальную ось вращения на ${displaystyle sin heta }$...

${displaystyle qx=q_{X}cdot sin heta }$

${displaystyle qy=q_{Y}cdot sin heta }$

${displaystyle qz=q_{Z}cdot sin heta }$

Некоторые временные факторы ....

${displaystyle tx=2(qycdot v.z-qzcdot v.y)}$

${displaystyle ty=2(qzcdot v.x-qxcdot v.z)}$

${displaystyle tz=2(qxcdot v.y-qycdot v.x)}$

И последний вектор, изогнутый этими углами, будет ...

${displaystyle result={egin{bmatrix}v_{x}+qwcdot tx+(qycdot tz-tycdot qz)v_{y}+qwcdot ty+(qzcdot tx-tzcdot qx)v_{z}+qwcdot tz+(qxcdot ty-txcdot qy)end{bmatrix}}}$

Родригес Вращение

Для данного ${displaystyle {Q}=[{X}{Y}{Z}]}$, а ось ${displaystyle {a}=[{X}{Y}{Z}]}$ и угол ${displaystyle gamma }$ чтобы повернуть вращение вокруг.

Нормализованная ось вращения ...

${displaystyle {egin{bmatrix}a_{X}a_{Y}a_{Z}end{bmatrix}}}$

Угол поворота

${displaystyle heta ={frac {||Q||}{2}}}$

${displaystyle cos {frac {alpha }{2}}=cos heta cdot cos{frac {gamma }{2}}+sin heta cdot sin{frac {gamma }{2}})cdot (a_{X}cdot {basis}_{up_{x}}+a_{Y}cdot {basis}_{up_{y}}+a_{Z}cdot {basis}_{up_{y}})}$

А затем вычислите полученный угол ...

${displaystyle result_{angle}=2cos^{-1}(cos{frac {alpha }{2}})}$

И ось результата ...

${displaystyle C={egin{bmatrix}singamma cdot cos heta cdot a_{X}+sin heta cdot cosgamma cdot q_{nx}+sin heta cdot singamma cdot (a_{Y}cdot q_{nz}-a_{Z}cdot q_{ny})singamma cdot cos heta cdot a_{Y}+sin heta cdot cosgamma cdot q_{ny}+sin heta cdot singamma cdot (a_{Z}cdot q_{nx}-a_{X}cdot q_{nz})singamma cdot cos heta cdot a_{Z}+sin heta cdot cosgamma cdot q_{nz}+sin heta cdot singamma cdot (a_{X}cdot q_{ny}-a_{Y}cdot q_{nx})end{bmatrix}}}$

Использовать ${displaystyle sinalpha }$ чтобы нормализовать кросс-произведение ...

${displaystyle sinalpha =sin(result_{angle}/2)}$

Получите общий угол для масштабирования результата.

${displaystyle C_{norm}=sinalpha cdot (|{frac {C_{X}}{sinalpha }}|+|{frac {C_{Y}}{sinalpha }}|+|{frac {C_{Z}}{sinalpha }}|)}$

И окончательный результат угол-угол-угол ...

${displaystyle {egin{matrix}result={egin{bmatrix}Cx/C_{norm}cdot result_{angle}Cy/C_{norm}cdot result_{angle}Cz/C_{norm}cdot result_{angle}end{bmatrix}}end{matrix}}}$

Преобразование из базовой матрицы

Вычислить определитель матрицы ...

${displaystyle det={frac {(basis_{right_{X}}+basis_{up_{Y}}+basis_{forward_{Z}})-1}{2}}}$

Преобразовать в угол поворота ...

${displaystyle heta =arccos(det)*2;}$

${displaystyle yz=basis_{up_{Z}}-basis_{forward_{Y}};}$

${displaystyle xz=basis_{forward_{X}}-basis_{right_{Z}};}$

${displaystyle xy=basis_{right_{Y}}-basis_{up_{X}};}$

вычислить нормальный коэффициент ...

${displaystyle normal=1/{sqrt {(}}yz^{2}+xz^{2}+xy^{2});}$

${displaystyle n={egin{bmatrix}yzcdot normalxzcdot normalxycdot normalend{bmatrix}}}$

полученный угол-угол-угол:

${displaystyle {n}cdot heta }$

Преобразование из нормального вектора (Y)

Представление нормали в виде вращения, это предполагает, что вектор ${displaystyle (0,1,0)}$ "вверх". Если какая-то другая ось считается основной, координаты можно просто поменять местами.

Это предполагает нормированный входной вектор в направлении нормали.

${displaystyle N={egin{bmatrix}normal_{X} ormal_{Y} ormal_{Z}end{bmatrix}}}$

Угол - это просто сумма координат x / z (или y, x, если Z "вверх", или y, z, если X "вверх") ...

${displaystyle angle=|N_{x}|+|N_{z}|}$

если угол равен 0, работа выполнена, результат с ${displaystyle (0,0,0)}$

${displaystyle r=1/(angle)}$

Некоторые временные значения; эти значения являются частичными, на которые будут ссылаться позже ...

${displaystyle t={egin{bmatrix}N_{x}cdot rN_{y}N_{z}cdot rend{bmatrix}}}$

Используйте проецируемую нормаль на оси Y в качестве угла поворота ...

${displaystyle target_{angle}=cos^{-1}(t_{Y})}$

${displaystyle result={egin{bmatrix}t_{Z}cdot target_{angle}�-t_{X}cdot target_{angle}end{bmatrix}}}$

Выровнять по нормали, используя базис

Касательная и двойная касательная по умолчанию для вращений, для которых заданы только нормальные значения, приводят к неправильным касательным и двойным касательным. В качестве альтернативы можно построить базисную матрицу и преобразовать ее из базы с помощью вышеупомянутого метода. Вычислите нормаль вышеупомянутого и матрицу для преобразования ...

${displaystyle normal_{twist}={{sqrt {(}}t_{Z}^{2}+t_{X}^{2})}}$

${displaystyle {egin{bmatrix}(N_{y}cdot {frac {-t_{X}}{normal_{twist}}})&N_{x}&{frac {t_{Z}}{normal_{twist}}}(N_{z}cdot {frac {t_{Z}}{normal_{twist}}})-(N_{x}cdot {frac {-t_{X}}{normal_{twist}}})&N_{y}&0(-(N_{y}cdot {frac {t_{Z}}{normal_{twist}}})&N_{z}&{frac {-t_{X}}{normal_{twist}}}end{bmatrix}}}$

А затем используйте базу для регистрации преобразования кватернионов ...

Прямое выравнивание по нормали

Или Это прямое вычисление с кватернионом журнала; вычислить приведенный выше вектор результатов, а затем ...

${displaystyle {egin{matrix}t_{X_{n}}=t_{X}cdot normal_{twist} _{Z_{n}}=t_{Z}cdot normal_{twist}s=Math.sin(target_{angle})c=1-Math.cos(target_{angle})end{matrix}}}$

Это угол

${displaystyle angle=acos((t_{Y}+1)*(1-t_{X_{n}})/2-1);}$

Эти частичные продукты используются ниже ...

${displaystyle {egin{matrix}yz=scdot n_{X}xz=(2-ccdot (n_{X}^{2}+n_{Z}^{2}))cdot t_{Z_{n}}xy=scdot n_{X}*t_{Z_{n}}+scdot n_{Z}cdot (1-t_{X_{n}})end{matrix}}}$

Вычислить нормализованный вектор вращения (ось вращения) ...

${displaystyle n={egin{bmatrix}{frac {yz}{{sqrt {(}}yz^{2}+xz^{2}+xy^{2})}}{frac {xz}{{sqrt {(}}yz^{2}+xz^{2}+xy^{2})}}{frac {xy}{{sqrt {(}}yz^{2}+xz^{2}+xy^{2})}}end{bmatrix}}}$

и, наконец, вычислить полученный кватерион журнала.

${displaystyle final_{result}={angle}cdot {n}}$

Преобразование осевого угла

Предполагается, что ось ввода ${displaystyle {a}=[{X}{Y}{Z}]}$ нормализовано. Если вращения 0, результат с ${displaystyle (0,0,0)}$

${displaystyle heta =angle}$

${displaystyle result= heta *{a}}$

Смотрите также

• Фильтр Эйлера
• Ориентация (геометрия)
• Вращение вокруг фиксированной оси
• Оператор трехмерного вращения

Рекомендации

1. «Отслеживание реперных маркеров для дополненной реальности».
2. Вайсштейн, Эрик В. «Матрица вращения». MathWorld.
3. Родригес, Олинде (1840). "Des lois géometriques qui regissent les déplacements d 'un systéme solide dans l' espace, et de lachanges des locnees originant de ces déplacement considérées indépendant desasons qui peuvent les produire". J. Math. Pures Appl. 5: 380–440.
4. ср. Дж. Уиллард Гиббс (1884). Элементы векторного анализа, Нью-Хейвен, стр. 67
5. Родриг, О. (1840 г.), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et la вариации координационных движений, вызванных независимостью от причин qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Appliquées de Liouville 5, 380–440.
6. Прямая и обратная кинематика конспект лекций, стр. 5
7. Мебиус, Йохан (2007). «Вывод формулы Эйлера – Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений». arXiv:математика / 0701759.
8. [1] Физика - Марк Иоффе - W (t) в терминах матриц
9. Кватернионы и вращение конспекты лекций, стр. 14-15
10. d3x0r. "Репозиторий STFRPhysics".
11. https://blog.molecular-matters.com/2013/05/24/a-faster-quaternion-vector-multiplication/

дальнейшее чтение

• Шустер, доктор медицины (1993). «Обзор представлений об отношении» (PDF). Журнал астронавтических наук. 41 (4): 439–517. Bibcode:1993JAnSc..41..439S. Архивировано из оригинал (PDF) на 2019-09-25.
• Таубин, Г. (2011). «3D вращения». Компьютерная графика и приложения IEEE. 31 (6): 84–89. Дои:10.1109 / MCG.2011.92. PMID  24808261.
• Coutsias, E .; Ромеро, Л. (2004). «Кватернионы в приложении к динамике твердого тела». Технический отчет Sandia. Сандийские национальные лаборатории. SAND2004-0153.
• Маркли, Ф. Лэндис (2003). "Представления ошибок отношения для фильтрации Калмана". Журнал управления, контроля и динамики. 26 (2): 311–7. Bibcode:2003JGCD ... 26..311M. Дои:10.2514/2.5048. HDL:2060/20020060647.
• Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02918-9.
• Верц, Джеймс Р. (1980). Определение и контроль ориентации космического аппарата. Д. Рейдел. ISBN  90-277-1204-2.
• Schmidt, J .; Ниманн, Х. (2001). «Использование кватернионов для параметризации трехмерных вращений в неограниченной нелинейной оптимизации». Труды конференции по моделированию и визуализации видения 2001 г.. С. 399–406. ISBN  3898380289.
• Ландау, Л .; Лифшиц, Э.М. (1976). Механика (3-е изд.). Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8.
• Клумпп, А. (Декабрь 1976 г.). "Извлечение кватерниона без сингулярностей из косинусно-направленной матрицы". Журнал космических аппаратов и ракет. 13 (12): 754–5. Bibcode:1976JSpRo..13..754K. Дои:10.2514/3.27947.
• Doran, C .; Ласенби, А. (2003). Геометрическая алгебра для физиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-71595-9.
• Terzakis, G .; Lourakis, M .; Айт-Будауд, Д. (2018). «Модифицированные параметры Родригеса: эффективное представление ориентации в 3D Vision и графике». Журнал математической визуализации и зрения. 60 (3): 422–442. Дои:10.1007 / s10851-017-0765-х.
• Rowenhorst, D .; Rollett, A.D .; Rohrer, G.S .; Groeber, M .; Джексон, М .; Konijnenberg, P.J .; Де Граф, М. (2015). «Согласованные представления и преобразования между трехмерными вращениями». Моделирование и моделирование в материаловедении и инженерии. 23 (8): 083501. Bibcode:2015MSMSE..23h3501R. Дои:10.1088/0965-0393/23/8/083501.

внешняя ссылка

• Евклидово пространство имеет обширную информацию о ротационном представлении
• В36. Как создать матрицу вращения из углов Эйлера? и В37. Как преобразовать матрицу вращения в углы Эйлера? - Часто задаваемые вопросы о матрице и кватернионах
• Мнимые числа не реальны - геометрическая алгебра пространства-времени - Раздел «Вращения и геометрическая алгебра» выводит и применяет описание вращений ротора.
• Руководство Starlino по DCM - Руководство и приложения по теории матрицы косинусов. Алгоритм оценки пространственной ориентации с использованием устройств IMU акселерометра, гироскопа и магнитометра. Использование дополнительного фильтра (популярная альтернатива фильтру Калмана) с матрицей DCM.