Теорема Эйлера вращения - Eulers rotation theorem

Вращение, представленное осью Эйлера и углом.

В геометрия, Теорема Эйлера вращения заявляет, что в трехмерное пространство, любое смещение жесткое тело такая, что точка на твердом теле остается неподвижной, эквивалентно одиночному вращению вокруг некоторой оси, которая проходит через фиксированная точка. Это также означает, что композиция из двух вращений также является вращением. Поэтому набор поворотов имеет групповую структуру, известную как группа ротации.

Теорема названа в честь Леонард Эйлер, который доказал это в 1775 г. с помощью сферическая геометрия. Ось вращения известна как Ось Эйлера, обычно представленный единичный вектор ê. Его произведение на угол поворота известно как ось-угол вектор. Распространение теоремы на кинематика дает концепцию мгновенная ось вращения, линия неподвижных точек.

В терминах линейной алгебры теорема утверждает, что в трехмерном пространстве любые два Декартовы системы координат с общим началом связаны вращением вокруг некоторой фиксированной оси. Это также означает, что произведение двух матриц вращения снова является матрицей вращения, а для неединичного матрица вращения один собственное значение равно 1, а два других являются комплексными или оба равны -1. В собственный вектор Этому собственному значению соответствует ось вращения, соединяющая две системы.

Теорема Эйлера (1776 г.)

Эйлер формулирует теорему следующим образом:^[1]

Теорема.Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, semper assignari potest Diameter, cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.

или (на английском языке):

Когда сфера перемещается вокруг своего центра, всегда можно найти диаметр, направление которого в смещенном положении такое же, как и в исходном положении.

Рисунок 1: Большой синий круг на сфере превращается в большой красный круг при повороте на О.

Доказательство

Первоначальное доказательство Эйлера было сделано с использованием сферическая геометрия и поэтому всякий раз, когда он говорит о треугольниках, их следует понимать как сферические треугольники.

Предыдущий анализ

Чтобы прийти к доказательству, Эйлер анализирует, как бы выглядела ситуация, если бы теорема была верна. Для этого предположим, что желтая линия в Рисунок 1 проходит через центр сферы и является осью вращения, которую мы ищем, а точка О является одной из двух точек пересечения этой оси со сферой. Затем он рассматривает произвольный большой круг, не содержащий О (синий круг) и его изображение после поворота (красный круг), который представляет собой еще один большой круг, не содержащий О. Он помечает точку на их пересечении как точку А. (Если кружки совпадают, то А можно принять за любую точку; иначе А является одной из двух точек пересечения.)

фигура 2: Дуги, соединяющие прообраз α и изображение а из А с биссектрисой АО угла при А.

Сейчас же А находится на начальном круге (синий круг), поэтому его изображение будет на перемещаемом круге (красный). Он помечает это изображение как точку а. С А также находится на перемещаемом круге (красный), это изображение другой точки, которая была на исходном круге (синий), и он помечает этот прообраз как α (видеть фигура 2). Затем он считает, что две дуги соединяются α и а к А. Эти дуги имеют одинаковую длину, потому что arc αA отображается на дугу Аа. Кроме того, поскольку О неподвижная точка, треугольник αOA отображается на треугольник АОа, значит, эти треугольники равнобедренные, а дуги АО угол пополам ∠αAa.

Рисунок 3: О идет в O ′, но O ′ должен совпадать с О.

Построение точки лучшего кандидата

Давайте построим точку, которая могла бы быть инвариантной, используя предыдущие соображения. Начнем с большого синего круга и его изображения при преобразовании, которое представляет собой большой красный круг, как в Рисунок 1. Пусть точка А быть точкой пересечения этих кругов. Если АИзображение при преобразовании будет в той же точке, тогда А является неподвижной точкой преобразования, а поскольку центр также является неподвижной точкой, диаметр сферы, содержащей А ось вращения, и теорема доказана.

В противном случае мы маркируем АИзображение как а и его прообраз как α, и соедините эти две точки с А с дугами αA и Аа. Эти дуги имеют одинаковую длину. Постройте большой круг, который делит пополам ∠αAa и найдите точку О на этом большом круге, так что дуги АО и АО иметь одинаковую длину и называть область сферы, содержащую О и ограничена синими и красными большими кругами внутри ∠αAa. (То есть желтая область в Рисунок 3.) Тогда, поскольку αA = Аа и О находится на биссектрисе ∠αAa, у нас также есть αO = АО.

Доказательство его инвариантности относительно преобразования

Теперь предположим, что O ′ это изображение О. Тогда мы знаем ∠αAO = ∠AaO ′ и ориентация сохраняется,^[а] так O ′ должен быть внутри ∠αAa. Сейчас же АО преобразован в aO ′, так АО = aO ′. С АО такой же длины, как АО, ∠AaO = ∠aAO. Но ∠aAO = ∠AaO ′, так ∠AaO = ∠AaO ′ и поэтому O ′ это то же самое, что и О. Другими словами, О является неподвижной точкой преобразования, а поскольку центр также является неподвижной точкой, диаметр сферы, содержащей О ось вращения.

Заключительные замечания о конструкции

Оригинальный рисунок Эйлера

Эйлер также указывает, что О можно найти, пересекая серединный перпендикуляр к Аа с биссектрисой угла ∠αAO, конструкция, которая может быть проще на практике. Он также предложил пересечение двух плоскостей:

• плоскость симметрии угла ∠αAa (который проходит через центр C сферы), и
• плоскость симметрии дуги Аа (который также проходит через C).

Предложение. Эти две плоскости пересекаются по диаметру. Это тот диаметр, который мы ищем.

Доказательство. Позвоните нам О любой из концов (их два) этого диаметра по поверхности сферы. С αA отображается на Аа и треугольники имеют одинаковые углы, отсюда следует, что треугольник OαA переносится на треугольник OAa. Поэтому точка О должен оставаться фиксированным при движении.

Следствия. Это также показывает, что вращение сферы можно рассматривать как два последовательных отражения относительно двух описанных выше плоскостей. Точки в зеркальной плоскости инвариантны относительно отражения, и, следовательно, точки на их пересечении (линия: ось вращения) инвариантны как относительно отражений, так и, следовательно, относительно вращения.

Другой простой способ найти ось вращения - рассмотреть плоскость, на которой расположены точки. α, А, а ложь. Ось вращения, очевидно, ортогональна этой плоскости и проходит через центр C сферы.

Учитывая, что для твердого тела любое движение, при котором ось остается неизменной, является вращением, это также доказывает, что любое произвольное сочетание вращений эквивалентно одному вращению вокруг новой оси.

Матричное доказательство

Пространственное вращение - это линейная карта во взаимно однозначном соответствии с 3 × 3 матрица вращения р который преобразует координату вектор Икс в Икс, то есть Rx = Икс. Следовательно, другая версия теоремы Эйлера состоит в том, что для каждого вращения р, существует ненулевой вектор п для которого Rn = п; это в точности утверждение, что п является собственный вектор из р связанный с собственное значение 1. Следовательно, достаточно доказать, что 1 - собственное значение р; ось вращения р будет линия μп, куда п - собственный вектор с собственным значением 1.

Матрица вращения имеет фундаментальное свойство, обратное ее транспонированию, т. Е.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\mathbf {R} =\mathbf {R} \mathbf {R} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {I} ,}$

куда я это 3 × 3 единичная матрица, а верхний индекс T указывает транспонированную матрицу.

Вычислите определитель этого отношения, чтобы найти, что матрица вращения имеет детерминант ± 1. Особенно,

${\displaystyle 1=\det(\mathbf {I} )=\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\mathbf {R} \right)=\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\right)\det(\mathbf {R} )=\det(\mathbf {R} )^{2}\quad \Longrightarrow \quad \det(\mathbf {R} )=\pm 1.}$

Матрица вращения с определителем +1 - это собственное вращение, а матрица с отрицательным определителем −1 - это неправильное вращение, то есть отражение в сочетании с собственным вращением.

Теперь будет показано, что правильная матрица вращения р имеет хотя бы один инвариантный вектор п, т.е. Rn = п. Потому что для этого требуется (р − я)п = 0, мы видим, что вектор п должен быть собственный вектор матрицы р с собственным значением λ = 1. Таким образом, это равносильно тому, чтобы показать, что det (р − я) = 0.

Используйте два отношения

${\displaystyle \det(-\mathbf {A} )=(-1)^{3}\det(\mathbf {A} )=-\det(\mathbf {A} )\quad }$

для любого 3 × 3 матрица А и

${\displaystyle \det \left(\mathbf {R} ^{-1}\right)=1\quad }$

(поскольку det (р) = 1) вычислить

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )=\det \left((\mathbf {R} -\mathbf {I} )^{\mathsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {I} \right)=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}-\mathbf {R} ^{-1}\mathbf {R} \right)\\&=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}(\mathbf {I} -\mathbf {R} )\right)=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}\right)\,\det(-(\mathbf {R} -\mathbf {I} ))=-\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )\quad \Longrightarrow \quad \det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )=0.\end{aligned}}}$

Это показывает, что λ = 1 является корнем (решением) характеристическое уравнение, то есть,

${\displaystyle \det(\mathbf {R} -\lambda \mathbf {I} )=0\quad {\hbox{for}}\quad \lambda =1.}$

Другими словами, матрица р − я сингулярна и имеет ненулевой ядро, то есть существует хотя бы один ненулевой вектор, скажем п, для которого

${\displaystyle (\mathbf {R} -\mathbf {I} )\mathbf {n} =\mathbf {0} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {R} \mathbf {n} =\mathbf {n} .}$

Линия μп серьезно μ инвариантен относительно р, т.е. μп ось вращения. Это доказывает теорему Эйлера.

Эквивалентность ортогональной матрицы матрице вращения

Две матрицы (представляющие линейные карты) называются эквивалентными, если существует изменение основы что делает одно равным другому. Правильный ортогональная матрица всегда эквивалентен (в этом смысле) либо следующей матрице, либо ее вертикальному отражению:

${\displaystyle \mathbf {R} \sim {\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi .}$

Тогда любая ортогональная матрица является либо вращением, либо неправильное вращение. Общая ортогональная матрица имеет только одно действительное собственное значение, +1 или -1. Когда он равен +1, матрица вращается. Когда −1, матрица является неправильным вращением.

Если р имеет более одного инвариантного вектора, то φ = 0 и р = я. Любой вектор - инвариантный вектор я.

Экскурсия в теорию матриц

Чтобы доказать предыдущее уравнение, необходимо вспомнить некоторые факты из теории матриц.

An м × м матрица А имеет м ортогональные собственные векторы тогда и только тогда, когда А является нормальный, то есть если А^†А = AA^†.^[b] Этот результат эквивалентен утверждению, что нормальные матрицы могут быть приведены к диагональной форме с помощью унитарного преобразования подобия:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {U} =\mathbf {U} \;\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})\quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} =\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}),}$

и U унитарен, то есть

${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {U} ^{-1}.}$

Собственные значения α₁, ..., α_м являются корнями характеристического уравнения. Если матрица А оказывается унитарным (и обратите внимание, что унитарные матрицы нормальны), то

${\displaystyle \left(\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} \right)^{\dagger }=\operatorname {diag} \left(\alpha _{1}^{*},\ldots ,\alpha _{m}^{*}\right)=\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} =\operatorname {diag} \left({\frac {1}{\alpha _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\alpha _{m}}}\right)}$

и отсюда следует, что собственные значения унитарной матрицы лежат на единичной окружности комплексной плоскости:

${\displaystyle \alpha _{k}^{*}={\frac {1}{\alpha _{k}}}\quad \Longleftrightarrow \quad \alpha _{k}^{*}\alpha _{k}=\left|\alpha _{k}\right|^{2}=1,\qquad k=1,\ldots ,m.}$

Также ортогональная (действительная унитарная) матрица имеет собственные значения на единичной окружности в комплексной плоскости. Более того, поскольку его характеристическое уравнение (an ммногочлен порядка от λ) имеет действительные коэффициенты, то его корни входят в комплексно сопряженные пары, т. е. если α корень, значит, тоже α^∗. Есть 3 корня, поэтому хотя бы один из них должен быть чисто реальным (+1 или -1).

Вспомнив эти общие факты из теории матриц, вернемся к матрице вращения р. Из его реальности и ортогональности следует, что мы можем найти U такой, что:

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&\pm 1\\\end{pmatrix}}}$

Если матрица U можно найти, что дает указанную выше форму, и есть только один чисто реальный компонент, и это -1, тогда мы определяем R как неправильное вращение. Итак, рассмотрим только случай матриц R, которые являются собственными вращениями (третье собственное значение равно 1). Третий столбец 3 × 3 матрица U тогда будет равен инвариантному вектору п. Письмо ты₁ и ты₂ для первых двух столбцов U, это уравнение дает

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {u} _{1}=e^{i\phi }\,\mathbf {u} _{1}\quad {\hbox{and}}\quad \mathbf {R} \mathbf {u} _{2}=e^{-i\phi }\,\mathbf {u} _{2}.}$

Если ты₁ имеет собственное значение 1, то φ = 0 и ты₂ также имеет собственное значение 1, откуда следует, что в этом случае р = E.

Наконец, матричное уравнение преобразуется с помощью унитарной матрицы:

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=\mathbf {U} \underbrace {{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} _{=\;\mathbf {I} }{\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

который дает

${\displaystyle \mathbf {U'} ^{\dagger }\mathbf {R} \mathbf {U'} ={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {U'} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Колонны U′ ортонормированы. Третий столбец все еще п, два других столбца перпендикулярны п. Теперь мы можем видеть, как наше определение неправильного вращения соответствует геометрической интерпретации: неправильное вращение - это вращение вокруг оси (здесь ось, соответствующая третьей координате) и отражение в плоскости, перпендикулярной этой оси. Если мы ограничимся только матрицами с определителем 1, то увидим, что они должны быть правильными вращениями. Из этого результата следует, что любая ортогональная матрица р соответствующее собственному вращению эквивалентно вращению на угол φ вокруг оси п.

Классы эквивалентности

В след (сумма диагональных элементов) реальной матрицы вращения, приведенной выше, равна 1 + 2 соз φ. Поскольку след инвариантен относительно преобразования подобия ортогональных матриц,

${\displaystyle \mathrm {Tr} \left[\mathbf {A} \mathbf {R} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right]=\mathrm {Tr} \left[\mathbf {R} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right]=\mathrm {Tr} [\mathbf {R} ]\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {A} ^{-1},}$

отсюда следует, что все матрицы, эквивалентные р такими ортогональными матричными преобразованиями имеют тот же след: след есть функция класса. Это матричное преобразование явно отношение эквивалентности, то есть все такие эквивалентные матрицы образуют класс эквивалентности.

Фактически, все правильное вращение 3 × 3 матрицы вращения образуют группа, обычно обозначаемый SO (3) (специальная ортогональная группа в 3 измерениях), и все матрицы с тем же следом образуют класс эквивалентности в этой группе. Все элементы такого класса эквивалентности поделиться своим углом поворота, но все вращения происходят вокруг разных осей. Если п является собственным вектором р с собственным значением 1, то An также является собственным вектором ARA^Т, также с собственным значением 1. Если только А = я, п и An разные.

Приложения

Генераторы вращений

Основные статьи: Матрица вращения, Группа вращения SO (3), и Бесконечно малое преобразование

Предположим, мы задаем ось вращения единичным вектором [Икс, у, z], и предположим, что у нас есть бесконечно малое вращение угла Δθ об этом векторе. Расширяя матрицу вращения как бесконечное сложение и используя подход первого порядка, матрица вращения Δр представлен как:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .}$

Конечный поворот на угол θ вокруг этой оси можно рассматривать как последовательность небольших вращений вокруг одной и той же оси. Приблизительный Δθ в качестве θ/N куда N большое число, вращение θ относительно оси можно представить как:

${\displaystyle R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.}$

Видно, что теорема Эйлера по существу утверждает, что все вращения могут быть представлены в этой форме. Продукт Аθ является «генератором» конкретного вращения, являясь вектором (Икс,у,z) связанный с матрицей А. Это показывает, что матрица вращения и ось – угол формат связаны экспоненциальной функцией.

Можно получить простое выражение для генератора грамм. Начнем с произвольной плоскости (в евклидовом пространстве), определяемой парой перпендикулярных единичных векторов а и б. В этой плоскости можно выбрать произвольный вектор Икс с перпендикулярным у. Затем решает для у с точки зрения Икс и подставив в выражение для вращения в плоскости, получаем матрицу вращения р который включает генератор грамм = ба^Т − ab^Т.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {a} \cos \alpha +\mathbf {b} \sin \alpha \\\mathbf {y} &=-\mathbf {a} \sin \alpha +\mathbf {b} \cos \alpha \\\cos \alpha &=\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\\sin \alpha &=\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {y} &=-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} =\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {x} '&=\mathbf {x} \cos \beta +\mathbf {y} \sin \beta \\&=\left(\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {R} &=\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \\&=\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \\[8px]\mathbf {G} &=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

Чтобы включить во вращение векторы вне плоскости, необходимо изменить приведенное выше выражение для р включив два операторы проекции которые разделяют пространство. Эту модифицированную матрицу вращения можно переписать как экспоненциальная функция.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P_{ab}} &=-\mathbf {G} ^{2}\\\mathbf {R} &=\mathbf {I} -\mathbf {P_{ab}} +\left(\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \right)\mathbf {P_{ab}} =e^{\mathbf {G} \beta }\end{aligned}}}$

Часто проще анализировать эти генераторы, чем использовать полную матрицу вращения. Анализ с точки зрения генераторов известен как Алгебра Ли группы вращения.

Кватернионы

Основные статьи: Оператор вращения (векторное пространство) и Кватернионы и пространственное вращение

Из теоремы Эйлера следует, что относительная ориентация любой пары систем координат может быть задана набором из трех независимых чисел. Иногда добавляется лишнее четвертое число, чтобы упростить операции с алгеброй кватернионов. Три из этих чисел - направляющие косинусы, которые ориентируют собственный вектор. Четвертый - это угол вокруг собственного вектора, который разделяет два набора координат. Такой набор из четырех чисел называется кватернион.

Хотя кватернион, описанный выше, не включает сложные числа, если кватернионы используются для описания двух последовательных вращений, они должны быть объединены с использованием некоммутативного кватернион алгебра, полученная Уильям Роуэн Гамильтон за счет использования мнимых чисел.

Расчет вращения с помощью кватернионов пришел на смену использованию направляющие косинусы в аэрокосмических приложениях за счет сокращения требуемых расчетов и способности минимизировать ошибки округления. Также в компьютерная графика возможность относительно легко выполнять сферическую интерполяцию между кватернионами.

Обобщения

Смотрите также: Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

В более высоких измерениях любое жесткое движение, которое сохраняет точку в измерении. 2п или же 2п + 1 это композиция не более чем п вращения в ортогональных плоскости вращения, хотя эти плоскости не обязательно должны определяться однозначно, и жесткое движение может фиксировать несколько осей.

Винтовое движение.

Жесткое движение в трех измерениях, которое не обязательно фиксирует точку, называется «винтовым движением». Это связано с тем, что композиция вращения с поступательным перемещением, перпендикулярным оси, представляет собой вращение вокруг параллельной оси, в то время как композиция с перемещением, параллельным оси, дает винтовое движение; видеть ось винта. Это порождает теория винта.

Смотрите также

• Углы Эйлера
• Параметры Эйлера – Родригеса
• Формализмы вращения в трех измерениях
• Оператор вращения (векторное пространство)
• Угловая скорость
• Вращение вокруг фиксированной оси
• Матрица экспоненциальная
• Ось – угол представления
• Группа вращения 3D
• Теорема Часлеса (кинематика), для расширения относительно общих перемещений твердого тела.

Примечания

1. Ориентация сохраняется в том смысле, что если αA вращается вокруг А против часовой стрелки, чтобы выровнять с Оа, тогда Аа должен вращаться вокруг а против часовой стрелки, чтобы выровнять с О'а. Аналогично, если вращение происходит по часовой стрелке.
2. Символ кинжала † означает комплексное сопряжение с последующим транспонированием. Для реальных матриц комплексное сопряжение ничего не делает, и удаление реальной матрицы равносильно ее транспонированию.

Рекомендации

1. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, стр. 189–207 (E478)

В этой статье использованы материалы из Citizendium статья "Теорема Эйлера (вращение) "под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Непортированная лицензия но не под GFDL.

• Теорема Эйлера и ее доказательство содержатся в пунктах 24–26 приложения (Additamentum. С. 201–203) Л. Эйлеро (Леонард Эйлер), Формулы generales pro translatione quacunque corporum strictorum (Общие формулы перевода произвольных твердых тел), представленные Петербургской Академии 9 октября 1775 г. и впервые опубликованные в Новые комментарии academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, pp. 189–207 (E478) и переиздано в Theoria motus corporum Rigidorum, изд. nova, 1790, pp. 449–460 (E478a) и позже в его собрании сочинений. Опера Омния, Серия 2, Том 9С. 84–98.
• Пале, Боб; Пале, Ричард; Роди, Стивен (2009). «Дезориентирующий взгляд на теорему Эйлера об оси вращения». Американский математический ежемесячный журнал. 116 (10): 892–909. Дои:10.4169 / 000298909x477014.

внешняя ссылка

• Оригинальный трактат Эйлера в Эйлеров архив: запись на E478, первое издание 1776 г. (pdf )
• Оригинальный текст Эйлера (на латыни) и английский перевод (Йохан Стен)
• Демонстрационный проект Вольфрама для теоремы Эйлера о вращении (Том Верхофф)