Производная по времени - Time derivative

А производная по времени это производная функции относительно время, обычно интерпретируется как скорость изменения значения функции.^[1] Переменная, обозначающая время, обычно записывается как ${\displaystyle t\,}$.

Обозначение

Для обозначения производной по времени используются различные обозначения. Помимо обычного (Лейбница ) обозначение,

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

Очень распространенное сокращенное обозначение, особенно в физике, - это «над точкой». I.E.

${\displaystyle {\dot {x}}}$

(Это называется Обозначение Ньютона )

Также используются высшие производные по времени: вторая производная относительно времени записывается как

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

с соответствующим сокращением ${\displaystyle {\ddot {x}}}$.

В качестве обобщения производная вектора по времени, скажем:

${\displaystyle {\vec {V}}=\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\cdots \right]\ ,}$

определяется как вектор, компоненты которого являются производными компонентов исходного вектора. То есть,

${\displaystyle {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\cdots \right]\ .}$

Использование в физике

Производные по времени - ключевое понятие в физика. Например, для смены позиция ${\displaystyle x}$, его производная по времени ${\displaystyle {\dot {x}}}$ это его скорость, и его вторая производная по времени, ${\displaystyle {\ddot {x}}}$, это его ускорение. Иногда также используются даже более высокие производные: третья производная положения по времени известна как придурок. Видеть графики движения и производные.

Большое количество фундаментальных уравнений физики включает в себя первую или вторую производную от величин по времени. Многие другие фундаментальные величины в науке являются производными друг от друга по времени:

• сила является производной по времени от импульс
• мощность является производной по времени от энергия
• электрический ток является производной по времени от электрический заряд

и так далее.

Обычное явление в физике - это производная по времени от вектор, например скорость или смещение. При работе с такой производной как величина, так и ориентация могут зависеть от времени.

Пример: круговое движение

Смотрите также: Равномерное круговое движение и Центростремительная сила

Связь между декартовыми координатами (Икс,у) и полярные координаты (р,θ).

Например, рассмотрим частицу, движущуюся по круговой траектории. Его положение определяется вектором смещения ${\displaystyle r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}}$, относящийся к углу, θ, и радиальное расстояние, р, как показано на рисунке:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}}$

В этом примере мы предполагаем, что θ = т. Следовательно, смещение (положение) в любой момент т дан кем-то

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}}$

Эта форма показывает движение, описываемое р(т) находится в круге радиуса р поскольку величина из р(т) дан кем-то

${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r}$

с использованием тригонометрическая идентичность грех²(т) + cos²(т) = 1 и где ${\displaystyle \cdot }$ является обычным евклидовым скалярным произведением.

Теперь при такой форме перемещения найдена скорость. Производная по времени от вектора смещения - это вектор скорости. В общем, производная вектора - это вектор, составленный из компонентов, каждая из которых является производной соответствующего компонента исходного вектора. Таким образом, в этом случае вектор скорости равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}}$

Таким образом, скорость частицы отлична от нуля, даже если величина положения (то есть радиус пути) постоянна. Скорость направлена ​​перпендикулярно перемещению, что можно установить с помощью скалярное произведение:

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.}$

Таким образом, ускорение является производной от скорости по времени:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.}$

Ускорение направлено внутрь, к оси вращения. Он указывает противоположно вектору положения и перпендикулярно вектору скорости. Это направленное внутрь ускорение называется центростремительное ускорение.

В дифференциальной геометрии

В дифференциальная геометрия, величины часто выражаются относительно местного ковариантный базис, ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$, куда я колеблется по количеству измерений. Компоненты вектора ${\displaystyle \mathbf {U} }$ выраженная таким образом трансформация как контравариант тензор, как показано в выражении ${\displaystyle \mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}}$, ссылаясь Соглашение о суммировании Эйнштейна. Если мы хотим вычислить производные по времени этих компонентов вдоль траектории, чтобы мы имели ${\displaystyle \mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)}$, мы можем определить новый оператор, инвариантную производную ${\displaystyle \delta }$, который продолжит возвращать контравариантные тензоры^[2]:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}}$ (с ${\displaystyle x^{j}}$ будучи j-я координата) фиксирует компоненты скорости в локальном ковариантном базисе, а ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ являются Символы Кристоффеля для системы координат. Отметим, что явная зависимость от т был вытеснен в обозначениях. Затем мы можем написать:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

а также:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

Что касается ковариантная производная, ${\displaystyle \nabla _{j}}$, у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}}$

Использование в экономике

В экономика, многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных построены в непрерывное время и поэтому используют производные по времени.^{[3](гл. 1-3)} Одна ситуация связана с фондовая переменная и его производная по времени a переменная расхода. Примеры включают:

• Поток чистой инвестиции в основной капитал - производная по времени от основной капитал.
• Поток вложения в инвентарь является производной по времени от запаса запасы.
• Скорость роста денежная масса представляет собой производную по времени денежной массы, деленную на саму денежную массу.

Иногда в модели может появляться производная по времени от переменной потока:

• Темпы роста выход представляет собой производную по времени потока вывода, деленную на сам вывод.
• Скорость роста рабочая сила представляет собой производную по времени от деления рабочей силы на саму рабочую силу.

А иногда появляется производная по времени от переменной, которая, в отличие от приведенных выше примеров, не измеряется в денежных единицах:

• Производная ключа по времени процентная ставка может появиться.
• В уровень инфляции скорость роста уровень цены - то есть производная по времени от уровня цен, деленная на сам уровень цен.

Смотрите также

• Дифференциальное исчисление
• Обозначения для дифференцирования
• Круговое движение
• Центростремительная сила
• Пространственная производная
• Временная ставка

Рекомендации

1. Чан, Альфа К., Фундаментальные методы математической экономики, McGraw-Hill, третье издание, 1984, гл. 14, 15, 18.
2. Гринфельд, Павел. «Тензорное исчисление 6d: скорость, ускорение, толчок и новая производная δ / δt».
3. См. Например Ромер, Дэвид (1996). Продвинутая макроэкономика. Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-053667-8.