Косинус направления - Direction cosine

В аналитическая геометрия, то направляющие косинусы (или же направленные косинусы) из вектор являются косинусы углов между вектором и тремя осями координат. Эквивалентно, они являются вкладом каждого компонента базиса в единичный вектор в этом направлении. Направляющие косинусы являются аналогичным расширением обычного понятия склон в более высокие измерения.

Трехмерные декартовы координаты

Вектор v в ℝ³

Направляющие косинусы и направляющие углы для единичного вектора v/|v|

Дальнейшая информация: Декартовы координаты

Если v это Евклидов вектор в трехмерный Евклидово пространство, ℝ³,

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}$

куда е_Икс, е_у, е_z являются стандартная основа в декартовых обозначениях, то направляющие косинусы равны

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}$

Отсюда следует, что возведением каждого уравнения в квадрат и сложением результатов

${\displaystyle \cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}$

Здесь α, β и γ - направляющие косинусы и декартовы координаты единичный вектор v/|v|, и а, б и c углы направления вектора v.

Углы направления а, б и c находятся острый или же тупые углы, т.е. 0 ≤ а ≤ π, 0 ≤ б ≤ π и 0 ≤ c ≤ π, и они обозначают углы, образованные между v и единичные базисные векторы, е_Икс, е_у и е_z.

Общее значение

В более общем смысле, направляющий косинус относится к косинусу угла между любыми двумя векторов. Они полезны для формирования матрицы направляющих косинусов которые выражают один набор ортонормированный базисные векторы с точки зрения другого набора, или для выражения известного вектор в другой основе.

Смотрите также

• Декартов тензор

Рекомендации

• Кей, Д. К. (1988). Тензорное исчисление. Очертания Шаума. Макгроу Хилл. С. 18–19. ISBN  0-07-033484-6.
• Spiegel, M. R .; Lipschutz, S .; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ. Очерки Шаума (2-е изд.). Макгроу Хилл. С. 15, 25. ISBN  978-0-07-161545-7.
• Тилдесли, Дж. Р. (1975). Введение в тензорный анализ для инженеров и прикладников. Лонгман. п. 5. ISBN  0-582-44355-5.
• Тан, К. Т. (2006). Математические методы для инженеров и ученых. 2. Springer. п. 13. ISBN  3-540-30268-9.
• Вайсштейн, Эрик В. «Косинус направления». MathWorld.