Теория Гротендика Галуа - Grothendiecks Galois theory

В математика, Теория Галуа Гротендика это абстрактный подход к Теория Галуа месторождений, разработанных около 1960 г., чтобы обеспечить возможность изучения фундаментальная группа из алгебраическая топология в обстановке алгебраическая геометрия. Он обеспечивает в классической обстановке теория поля, альтернативная перспектива Эмиль Артин на основе линейная алгебра, который стал стандартом примерно с 1930-х годов.

Подход Александр Гротендик озабочен теоретико-категориальный свойства, характеризующие категории конечных грамм-наборы для фиксированной проконечная группа грамм. Например, грамм может быть группа, обозначенная ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$, какой обратный предел циклических аддитивных групп Z/ пZ - или, что то же самое, завершение бесконечная циклическая группа Z для топологии подгрупп конечных индекс. Конечная грамм-множество тогда является конечным множеством Икс на котором грамм действует через факторную конечную циклическую группу, так что она задается некоторой перестановкой Икс.

В приведенном выше примере связь с классическим Теория Галуа можно увидеть относительно ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ как проконечная группа Галуа Gal (F/ F) алгебраическое замыкание F любой конечное поле F, над F. То есть автоморфизмы F фиксация F описываются обратным пределом, поскольку мы берем все больше и больше конечных разделение полей над F. Связь с геометрией можно увидеть, когда мы посмотрим на перекрытия из единичный диск в комплексная плоскость без начала координат: конечное покрытие, реализуемое z^п карта диска, представленная с помощью переменной комплексного числа z, соответствует подгруппе п.Z основной группы проколотого диска.

Теория Гротендика, опубликованная в SGA1, показывает, как реконструировать категорию грамм-наборы из волоконный функтор Φ, который в геометрической постановке принимает слой покрытия над фиксированной базовой точкой (как набор). Фактически доказан изоморфизм типа

грамм ≅ Aut (Φ),

последняя является группой автоморфизмов (само-естественные эквивалентности ) функции Φ. Дана абстрактная классификация категорий с функтором к категории множеств, с помощью которой можно распознать категории грамм-наборы для грамм проклятый.

Чтобы увидеть, как это применимо к полям, нужно изучить тензорное произведение полей. В топос теория это часть изучения атомные топосы.

Смотрите также

• Таннакианский формализм
• Функтор волокна
• Анабелева геометрия

Рекомендации

• Grothendieck, A .; и другие. (1971). SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961 '. Конспект лекций по математике. 224. SpringerSphiwe Verlag. arXiv:математика / 0206203. ISBN  978-3-540-36910-3.
• Хоял, Андре; Тирни, Майлз (1984). Расширение теории Галуа Гротендика. Воспоминания Американского математического общества. ISBN  0-8218-2312-4.

• Borceux, F .; Джанелидзе, Г. (2001). Теории Галуа. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-80309-8. (Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендик, и некоторые обобщения, ведущие к Галуа группоиды.)
• Самуэли Т. (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-139-48114-4.
• Dubuc, E.J; де ла Вега, C.S. (2000). «О теории Галуа Гротендика». arXiv:математика / 0009145.

• Карамелло, Оливия (2016). "Топологическая теория Галуа". Успехи в математике. 291: 646–695. Дои:10.1016 / j.aim.2015.11.050.