Функтор волокна - Fiber functor

В теория категорий, раздел математики, волоконный функтор верный k-линейный тензорный функтор из тензорная категория в категорию конечномерных k-векторные пространства.^[1]

Определение

А волоконный функтор (или же волоконный функтор) является свободным понятием, которое имеет несколько определений в зависимости от рассматриваемого формализма. Одна из основных исходных причин для создания волоконных функторов исходит из Теория топоса.^[2] Напомним, топос - это категория связок над сайтом. Если сайт - это всего лишь один объект, например точка, то топос точки эквивалентен категории множеств, ${\displaystyle {\mathfrak {Set}}}$. Если у нас есть вершины пучков на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, обозначенный ${\displaystyle {\mathfrak {T}}(X)}$, затем поставить точку ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle X}$ эквивалентно определению присоединенных функторов

${\displaystyle a^{*}:{\mathfrak {T}}(X)\leftrightarrows {\mathfrak {Set}}:a_{*}}$

Функтор ${\displaystyle a^{*}}$ посылает пачку ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ к его волокну над точкой ${\displaystyle a}$; то есть его стебель.^[3]

Из закрывающих помещений

Рассмотрим категорию покрывающих пространств над топологическим пространством ${\displaystyle X}$, обозначенный ${\displaystyle {\mathfrak {Cov}}(X)}$. Затем с точки ${\displaystyle x\in X}$ есть функтор волокна^[4]

${\displaystyle {\text{Fib}}_{x}:{\mathfrak {Cov}}(X)\to {\mathfrak {Set}}}$

отправка покрытия ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ к волокну ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$. Этот функтор имеет автоморфизмы, происходящие из ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ поскольку фундаментальная группа действует на накрывающих пространствах топологического пространства ${\displaystyle X}$. В частности, он действует на множестве ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\subset Y}$. Фактически, единственные автоморфизмы ${\displaystyle {\text{Fib}}_{x}}$ родом из ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$.

С этальными топологиями

Существует алгебраический аналог покрывающих пространств, исходящий из Этальная топология по подключенной схеме ${\displaystyle S}$. Базовый сайт состоит из конечных этальных покрытий, которые конечны^[5][6] плоский сюръективные морфизмы ${\displaystyle X\to S}$ такой, что слой над каждой геометрической точкой ${\displaystyle s\in S}$ спектр конечного этала ${\displaystyle \kappa (s)}$-алгебра. Для фиксированной геометрической точки ${\displaystyle {\overline {s}}:{\text{Spec}}(\Omega )\to S}$рассмотрим геометрическое волокно ${\displaystyle X\times _{S}{\text{Spec}}(\Omega )}$ и разреши ${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}(X)}$ быть базовым набором ${\displaystyle \Omega }$-точки. Потом,

${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}:{\mathfrak {Fet}}_{S}\to {\mathfrak {Sets}}}$

- слоистый функтор, где ${\displaystyle {\mathfrak {Fet}}_{S}}$ топос из конечной этальной топологии на ${\displaystyle S}$. По сути, это теорема Гротендика об автоморфизмах ${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}}$ сформировать Проклятая группа, обозначенный ${\displaystyle \pi _{1}(S,{\overline {s}})}$, и индуцируют непрерывное групповое действие на этих конечных расслоениях, давая эквивалентность между покрытиями и конечными множествами с такими действиями.

Из категорий таннакиана

Другой класс слоистых функторов происходит от когомологических реализаций мотивов в алгебраической геометрии. Например, Когомологии де Рама функтор ${\displaystyle H_{dR}}$ посылает мотив ${\displaystyle M(X)}$ к лежащим в основе группам когомологий де-Рама ${\displaystyle H_{dR}^{*}(X)}$.^[7]

Рекомендации

1. М. Мугер (январь 2006 г.). "Абстрактная теория двойственности для симметричного тензора" (PDF). Math.ru.nl. Получено 2013-11-11.
2. Гротендик, Александр. «SGA 4 Exp IV» (PDF). С. 46–54. В архиве (PDF) из оригинала 2020-05-01.
3. Картье, Пьер. «Работа безумного дня: от Гротендика до Конна и Концевича - эволюция концепций пространства и симметрии» (PDF). п. 400 (12 в pdf). В архиве (PDF) из оригинала на 5 апреля 2020 г.
4. Самуэлы. «Гейдельбергские лекции по фундаментальным группам» (PDF). п. 2. В архиве (PDF) из оригинала на 5 апреля 2020 г.
5. «Группы Галуа и фундаментальные группы» (PDF). С. 15–16. В архиве (PDF) из оригинала от 6 апреля 2020 г.
6. Что требуется для обеспечения этальной карты ${\displaystyle X\to S}$ сюръективно, иначе открытые подсхемы ${\displaystyle S}$ может быть включен.
7. Делинь; Милн. «Категории Таннакяна» (PDF). п. 58.

Смотрите также

• Topos
• Этальная топология
• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Анабелева геометрия

внешняя ссылка

• SGA 4 и SGA 4 IV
• Мотивная группа Галуа - https://web.archive.org/web/20200408142431/https://www.him.uni-bonn.de/fileadmin/him/Lecture_Notes/motivic_Galois_group.pdf

Примечания