Теорема Гильберта о неприводимости - Hilberts irreducibility theorem

В теория чисел, Теорема Гильберта о неприводимости, задуманный Дэвид Гильберт в 1892 г., утверждает, что каждый конечный набор неприводимые многочлены в конечном числе переменных и имея Рациональное число коэффициенты допускают общую специализацию собственного подмножества переменных на рациональные числа, так что все многочлены остаются неприводимыми. Эта теорема - выдающаяся теорема теории чисел.

Формулировка теоремы

Теорема Гильберта о неприводимости. Позволять

{ displaystyle f_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {r}, Y_ {1}, ldots, Y_ {s}), ldots, f_ {n} (X_ {1}, ldots , X_ {r}, Y_ {1}, ldots, Y_ {s})}

неприводимые многочлены в кольце

{ displaystyle mathbb {Q} (X_ {1}, ldots, X_ {r}) [Y_ {1}, ldots, Y_ {s}].}

Тогда существует р-набор рациональных чисел (а₁, ..., а_р) такие, что

{ displaystyle f_ {1} (a_ {1}, ldots, a_ {r}, Y_ {1}, ldots, Y_ {s}), ldots, f_ {n} (a_ {1}, ldots , a_ {r}, Y_ {1}, ldots, Y_ {s})}

неприводимы в кольце

{ displaystyle mathbb {Q} [Y_ {1}, ldots, Y_ {s}].}

Замечания.

Из теоремы следует, что существует бесконечно много р- пары. На самом деле множество всех неприводимых специализаций, называемое множеством Гильберта, во многих смыслах велико. Например, этот набор Зариски плотный в ${ displaystyle mathbb {Q} ^ {r}.}$
Всегда существует (бесконечно много) целочисленных специализаций, т.е. утверждение теоремы выполняется, даже если мы потребуем (а₁, ..., а_р) быть целыми числами.
Есть много Гильбертианские поля, т.е. поля, удовлетворяющие теореме Гильберта о неприводимости. Например, числовые поля являются гильбертовскими.^[1]
Свойство неприводимой специализации, указанное в теореме, является наиболее общим. Сокращений много, например, достаточно взять ${ Displaystyle п = г = s = 1}$ в определении. Результат Бэри-Сорокера показывает, что для поля K чтобы быть гильбертовцем, достаточно рассмотреть случай ${ Displaystyle п = г = s = 1}$ и ${ displaystyle f = f_ {1}}$ абсолютно несводимый, т.е. неприводимый в кольце K^alg[Икс,Y], куда K^alg является алгебраическим замыканием K.

Приложения

Теорема Гильберта о неприводимости имеет множество приложений в теория чисел и алгебра. Например:

В обратная задача Галуа, Исходная мотивация Гильберта. Из теоремы почти сразу следует, что если конечная группа грамм может быть реализована как группа Галуа расширения Галуа N из

{ Displaystyle E = mathbb {Q} (X_ {1}, ldots, X_ {r}),}

тогда он может быть специализирован для расширения Галуа N₀ рациональных чисел с грамм как его группа Галуа.^[2] (Чтобы в этом убедиться, выберите унитарный неприводимый многочлен ж(Икс₁, ..., Икс_п, Y), корень которого порождает N над E. Если ж(а₁, ..., а_п, Y) неприводима для некоторых а_я, то его корень сгенерирует утвержденное N₀.)

Построение эллиптических кривых большого ранга.^[2]

Теорема Гильберта о неприводимости используется как шаг в Эндрю Уайлс доказательство чего-либо Последняя теорема Ферма.

Если многочлен ${ Displaystyle г (х) в mathbb {Z} [х]}$ идеальный квадрат для всех больших целых значений Икс, тогда г (х) квадрат многочлена от ${ displaystyle mathbb {Z} [x].}$ Это следует из теоремы Гильберта о неприводимости с ${ Displaystyle п = г = s = 1}$ и

{ displaystyle f_ {1} (X, Y) = Y ^ {2} -g (X).}

(Существуют и другие элементарные доказательства.) Тот же результат верен, когда «квадрат» заменяется на «куб», «четвертая степень» и т. Д.

Обобщения

Он был переформулирован и широко обобщен с использованием языка алгебраическая геометрия. Видеть тонкий набор (Серр).

Теорема Гильберта о неприводимости - Hilberts irreducibility theorem

Содержание

Формулировка теоремы

Приложения

Обобщения

Рекомендации