Формально реальное поле - Formally real field

В математика, в частности в теория поля и действительная алгебра, а формально реальное поле это поле который может быть снабжен (не обязательно уникальным) порядком, который делает его упорядоченное поле.

Альтернативные определения

Приведенное выше определение не является Первый заказ определение, поскольку оно требует кванторов над наборы. Однако следующие критерии могут быть закодированы как (бесконечно много) первого порядка фразы на языке полей и эквивалентны приведенному выше определению.

Формально реальное поле F - это поле, которое также удовлетворяет одному из следующих эквивалентных свойств:^[1][2]

• -1 не является суммой квадраты в F. Другими словами, Stufe из F бесконечно. (В частности, такое поле должно иметь характеристика 0, поскольку в поле характеристики п элемент -1 представляет собой сумму единиц.) Это может быть выражено в логике первого порядка как ${\displaystyle \forall x_{1}(-1\neq x_{1}^{2})}$, ${\displaystyle \forall x_{1}x_{2}(-1\neq x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}$и т. д., по одному предложению для каждого числа переменных.
• Существует элемент F это не сумма квадратов в F, а характеристика F не 2.
• Если любая сумма квадратов элементов F равен нулю, то каждый из этих элементов должен быть равен нулю.

Легко видеть, что эти три свойства эквивалентны. Также легко видеть, что поле, допускающее упорядочение, должно удовлетворять этим трем свойствам.

Доказательство того, что если F удовлетворяет этим трем свойствам, то F допускает, что заказ использует понятие преположительные шишки и положительные конусы. Предположим, что -1 не является суммой квадратов, тогда Лемма Цорна Аргумент показывает, что преположительный конус сумм квадратов можно продолжить до положительного конуса п ⊂ F. Этот положительный конус используется для определения порядка: а ≤ б если и только если б − а принадлежит п.

Реальные закрытые поля

Формально реальное поле без формально реального собственно алгебраическое расширение это настоящее закрытое поле.^[3] Если K формально действительна, а Ω - алгебраически замкнутое поле содержащий K, то есть настоящая закрытая подполе области Ω, содержащей K. Настоящее закрытое поле можно заказать уникальным способом,^[3] а неотрицательные элементы - это именно квадраты.

Примечания

1. Раджваде, теорема 15.1.
2. Милнор и Хусемоллер (1973) с.60
3. Раджваде (1993) стр.216

Рекомендации

• Милнор, Джон; Хусемоллер, Дейл (1973). Симметричные билинейные формы. Springer. ISBN  3-540-06009-Х.
• Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.