Правило Крамерса - Cramers rule

В линейная алгебра, Правило Крамера явная формула для решения система линейных уравнений с таким же количеством уравнений, сколько и неизвестных, справедливо, когда система имеет уникальное решение. Он выражает решение в терминах детерминанты (квадратного) коэффициента матрица и матриц, полученных из него заменой одного столбца вектор-столбцом правых частей уравнений. Он назван в честь Габриэль Крамер (1704–1752), опубликовавший правило для произвольного числа неизвестных в 1750 г.,^[1][2] несмотря на то что Колин Маклорен также опубликовал частные случаи правила 1748 г.^[3] (и, возможно, знал об этом еще в 1729 году).^[4][5][6]

Правило Крамера, реализованное наивно, вычислительно неэффективно для систем, состоящих из более чем двух или трех уравнений.^[7] В случае п уравнения в п неизвестных, это требует вычисления п + 1 детерминанты, а Гауссово исключение дает результат с тем же вычислительная сложность как вычисление единственного определителя.^{[8][9][требуется проверка ]} Правило Крамера также может быть численно нестабильный даже для систем 2 × 2.^[10] Однако недавно было показано, что правило Крамера может быть реализовано в O (п³) время,^[11] что сопоставимо с более распространенными методами решения систем линейных уравнений, такими как Гауссово исключение (постоянно требует в 2,5 раза больше арифметических операций для всех размеров матриц), демонстрируя при этом сопоставимую числовую стабильность в большинстве случаев.

Общий случай

Рассмотрим систему п линейные уравнения для п неизвестные, представленные в виде матричного умножения следующим образом:

${\displaystyle Ax=b}$

где п × п матрица А имеет ненулевой определитель, а вектор ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}$ - вектор-столбец переменных. Тогда теорема утверждает, что в этом случае система имеет единственное решение, индивидуальные значения неизвестных которого определяются выражением:

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n}$

куда ${\displaystyle A_{i}}$ матрица, образованная заменой я-й столбец А вектор-столбец б.

Более общая версия правила Крамера^[12] рассматривает матричное уравнение

${\displaystyle AX=B}$

где п × п матрица А имеет ненулевой определитель, и Икс, B находятся п × м матрицы. Данные последовательности ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}$ и ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq m}$, позволять ${\displaystyle X_{I,J}}$ быть k × k подматрица Икс с рядами в ${\displaystyle I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$ и столбцы в ${\displaystyle J:=(j_{1},\ldots ,j_{k})}$. Позволять ${\displaystyle A_{B}(I,J)}$ быть п × п матрица, сформированная заменой ${\displaystyle i_{s}}$ столбец А посредством ${\displaystyle j_{s}}$ столбец B, для всех ${\displaystyle s=1,\ldots ,k}$. потом

${\displaystyle \det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.}$

В случае ${\displaystyle k=1}$, это сводится к нормальному правилу Крамера.

Правило выполняется для систем уравнений с коэффициентами и неизвестными при любых поле не только в действительные числа.

Доказательство

Доказательство правила Крамера использует следующее свойства определителей: линейность по отношению к любому заданному столбцу и тот факт, что определитель равен нулю, когда два столбца равны, что подразумевается тем свойством, что знак определителя меняется при переключении двух столбцов.

Исправить индекс j столбца. Линейность означает, что если рассматривать только столбец j в качестве переменной (произвольно фиксируя остальные), результирующая функция р^п → р (при условии, что элементы матрицы находятся в р) может быть задана матрицей с одной строкой и п столбцы, действующие на столбец j. На самом деле это именно то, что Разложение Лапласа делает, пишет det (А) = C₁а_1,j + ... + C_па_{n, j} для определенных коэффициентов C₁, ..., C_п которые зависят от столбцов А кроме столбца j (точное выражение для этих кофакторы здесь не важно). Значение det (А) тогда является результатом применения однострочной матрицы L_(j) = (C₁ C₂ ... C_п) в колонку j из А. Если L_(j) применяется к любому Другой столбец k из А, то результатом будет определитель матрицы, полученной из А путем замены столбца j копией столбца k, поэтому результирующий определитель равен 0 (случай двух равных столбцов).

Теперь рассмотрим систему п линейные уравнения в п неизвестные ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, матрица коэффициентов которой А, с det (А) считается ненулевым:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}}$

Если объединить эти уравнения, взяв C₁ умножить на первое уравнение, плюс C₂ раз в секунду и так далее, пока C_п раз последнее, то коэффициент при Икс_j станет C₁а_{1, j} + ... + C_па_{n, j} = det (А), а коэффициенты всех остальных неизвестных становятся равными 0; левая часть становится просто det (А)Икс_j. Правая часть C₁б₁ + ... + C_пб_п, который L_(j) применяется к вектору-столбцу б правой стороны б_я. Фактически здесь было перемножено матричное уравнение АИкс = б слева от L_(j). Делением на ненулевое число det (А) находится следующее уравнение, необходимое для удовлетворения системы:

${\displaystyle x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}.}$

Но по построению числитель является определителем матрицы, полученной из А путем замены столбца j к б, так что мы получаем выражение правила Крамера как необходимое условие решения. Эту же процедуру можно повторить для других значений j чтобы найти значения для других неизвестных.

Единственное, что осталось доказать, это то, что эти значения неизвестных, единственно возможные, действительно вместе образуют решение. Но если матрица А обратима с обратным А⁻¹, тогда Икс = А⁻¹б будет решением, тем самым показывая его существование. Чтобы увидеть это А обратима, когда det (А) отличен от нуля, рассмотрим п × п матрица M полученные путем наложения однострочных матриц L_(j) друг на друга для j = 1, ..., п (это дает сопряженная матрица за А). Было показано, что L_(j)А = (0 ... 0 дет (А) 0 ... 0) куда det (А) появляется в позиции j; из этого следует, что MA = det (А)я_п. Следовательно,

${\displaystyle {\frac {1}{\det(A)}}M=A^{-1},}$

завершая доказательство.

Другие доказательства см. ниже.

Нахождение обратной матрицы

Основная статья: Обратимая матрица § Методы обращения матрицы

Позволять А быть п × п матрица. потом

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=\operatorname {det} (A)I}$

где прил (А) обозначает сопряженная матрица из А, det (А) - определитель, а я это единичная матрица. Если det (А) обратима в р, то обратная матрица А является

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (A)}}\operatorname {adj} (A).}$

Если р это поле (например, поле действительных чисел), то это дает формулу, обратную А, при условии det (А) ≠ 0. Фактически, эта формула будет работать всякий раз, когда р это коммутативное кольцо, при условии, что det (А) это единица измерения. Если det (А) не является единицей, то А не обратима.

Приложения

Явные формулы для малых систем

Рассмотрим линейную систему

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.}$

который в матричном формате

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}.}$

Предполагать а₁б₂ − б₁а₂ ненулевой. Затем с помощью детерминанты, Икс и у можно найти с помощью правила Крамера как

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.}$

Правила для 3 × 3 матрицы аналогичны. Данный

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.}$

который в матричном формате

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.}$

Тогда значения х, у и z можно найти следующим образом:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.}$

Дифференциальная геометрия

Исчисление Риччи

Правило Крамера используется в Исчисление Риччи в различных расчетах с участием Символы Кристоффеля первого и второго рода.^[13]

В частности, с помощью правила Крамера можно доказать, что оператор дивергенции на римановом многообразии инвариантен относительно замены координат. Приведем прямое доказательство, прикрыв роль символов Кристоффеля. ${\displaystyle (M,g)}$ быть Риманово многообразие оснащен местные координаты ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$. Позволять ${\displaystyle A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ быть векторное поле. Мы используем соглашение о суммировании на протяжении.

Теорема.

В расхождение из ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right),}$

инвариантен относительно изменения координат.

Доказательство

Позволять ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})}$ быть преобразование координат с неособый Якобиан. Тогда классический законы преобразования подразумевают, что ${\displaystyle A={\bar {A}}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}}$ куда ${\displaystyle {\bar {A}}^{k}={\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{j}}}A^{j}}$. Аналогично, если ${\displaystyle g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}={\bar {g}}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j}}$, тогда ${\displaystyle {\bar {g}}_{ij}=\,{\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}g_{mk}}$. Запись этого закона преобразования в терминах матриц дает ${\displaystyle {\bar {g}}=\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\text{T}}g\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}$, что означает ${\displaystyle \det {\bar {g}}=\left(\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)\right)^{2}\det g}$. Теперь можно вычислить ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} A&={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right)\\&=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}{\bar {A}}^{\ell }\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!-1}\!{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right).\end{aligned}}}$ Чтобы показать, что это равно ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)}$, необходимо и достаточно показать, что ${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!\!-1}\right)=0\qquad {\text{for all }}\ell ,}$ что эквивалентно ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{\ell }}}.}$ Проводя дифференцирование в левой части, получаем: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)&=(-1)^{i+j}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det M(i|j)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)=(\ast ),\end{aligned}}}$ куда ${\displaystyle M(i|j)}$ обозначает матрицу, полученную из ${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}$ удалив ${\displaystyle i}$й ряд и ${\displaystyle j}$-й столбец Но правило Крамера гласит, что ${\displaystyle {\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)}$ это ${\displaystyle (j,i)}$й элемент матрицы ${\displaystyle \left({\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial x}}\right)}$.Таким образом ${\displaystyle (\ast )=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}},}$ завершая доказательство.

Неявное вычисление производных

Рассмотрим два уравнения ${\displaystyle F(x,y,u,v)=0}$ и ${\displaystyle G(x,y,u,v)=0}$. Когда ты и v являются независимыми переменными, мы можем определить ${\displaystyle x=X(u,v)}$ и ${\displaystyle y=Y(u,v).}$

Уравнение для ${\displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}}$ можно найти, применив правило Крамера.

Расчет ${\displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}}$

Сначала вычислите первые производные от F, грамм, Икс, и у: ${\displaystyle {\begin{aligned}dF&={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dG&={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dx&={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv\\[6pt]dy&={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv.\end{aligned}}}$ Подстановка dx, dy в dF и dG, у нас есть: ${\displaystyle {\begin{aligned}dF&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0\\[6pt]dG&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0.\end{aligned}}}$ С ты, v оба независимы, коэффициенты при ду, dv должно быть равно нулю. Итак, мы можем записать уравнения для коэффициентов: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial F}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial G}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial F}{\partial v}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial G}{\partial v}}.\end{aligned}}}$ Теперь по правилу Крамера мы видим, что: ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}.}$ Теперь это формула в виде двух Якобианцы: ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}\right)}{\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}\right)}}.}$ Аналогичные формулы можно получить для ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial v}}.}$

Целочисленное программирование

Правило Крамера можно использовать для доказательства того, что целочисленное программирование задача, матрица ограничений которой полностью унимодулярный и чья правая часть является целым числом, имеет целые базовые решения. Это значительно упрощает решение целочисленной программы.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Правило Крамера используется для вывода общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения методом вариация параметров.

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация правила Крамера. Площади второго и третьего заштрихованных параллелограммов одинаковы, а второй - ${\displaystyle x_{1}}$ раз первый. Из этого равенства следует правило Крамера.

Правило Крамера имеет геометрическую интерпретацию, которую также можно рассматривать как доказательство или просто для понимания его геометрической природы. Эти геометрические аргументы работают в целом, а не только в случае представленных здесь двух уравнений с двумя неизвестными.

Учитывая систему уравнений

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}}$

его можно рассматривать как уравнение между векторами

${\displaystyle x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.}$

Площадь параллелограмма определяется ${\displaystyle {\binom {a_{11}}{a_{21}}}}$ и ${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$ дается определителем системы уравнений:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.}$

В общем, когда есть больше переменных и уравнений, определитель п векторы длины п даст объем из параллелепипед определяется этими векторами в п-мерный Евклидово пространство.

Следовательно, площадь параллелограмма, определяемая ${\displaystyle x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}}$ и ${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$ должно быть ${\displaystyle x_{1}}$ умноженное на площадь первого, так как одна из сторон умножена на этот коэффициент. Итак, этот последний параллелограмм по Принцип Кавальери, имеет ту же площадь, что и параллелограмм, определяемый ${\displaystyle {\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$ и ${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}.}$

Приравнивание площадей этого последнего и второго параллелограмма дает уравнение

${\displaystyle {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}$

из которого следует правило Крамера.

Прочие доказательства

Доказательство абстрактной линейной алгеброй

Это повторение приведенного выше доказательства на абстрактном языке.

Рассмотрим карту ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})),}$ куда ${\displaystyle A_{i}}$ это матрица ${\displaystyle A}$ с ${\displaystyle {\vec {x}}}$ заменен в ${\displaystyle i}$-й столбец, как в правиле Крамера. Из-за линейности определителя в каждом столбце эта карта является линейной. Обратите внимание, что он отправляет ${\displaystyle i}$-й столбец ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle i}$й базисный вектор ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)}$ (с 1 в ${\displaystyle i}$-е место), потому что определитель матрицы с повторяющимся столбцом равен 0. Итак, у нас есть линейное отображение, которое согласуется с обратным к ${\displaystyle A}$ на пространстве столбцов; следовательно, он согласен с ${\displaystyle A^{-1}}$ на промежутке между колонками. С ${\displaystyle A}$ обратима, векторы-столбцы охватывают все ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, так что наша карта действительно обратна ${\displaystyle A}$. Правило Крамера следует.

Краткое доказательство

Краткое доказательство правила Крамера ^[14] можно дать, заметив, что ${\displaystyle x_{1}}$ - определитель матрицы

${\displaystyle X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\dots &0\\x_{2}&1&0&\dots &0\\x_{3}&0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$

С другой стороны, если предположить, что наша исходная матрица А обратима, эта матрица ${\displaystyle X_{1}}$ есть столбцы ${\displaystyle A^{-1}b,A^{-1}v_{2},\ldots ,A^{-1}v_{n}}$, куда ${\displaystyle v_{n}}$ это п-й столбец матрицы А. Напомним, что матрица ${\displaystyle A_{1}}$ есть столбцы ${\displaystyle b,v_{2},\ldots ,v_{n}}$, и поэтому ${\displaystyle X_{1}=A^{-1}A_{1}}$. Следовательно, используя то, что определитель произведения двух матриц является произведением определителей, мы имеем

${\displaystyle x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.}$

Доказательство для других ${\displaystyle x_{j}}$ похож.

Доказательство с использованием Алгебра Клиффорда

Рассмотрим систему трех скалярных уравнений с тремя неизвестными скалярами ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}&=c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}&=c_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}&=c_{3}\end{aligned}}}$

и назначить ортонормированный векторный базис ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ за ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{3}}$ в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}\mathbf {e} _{1}x_{1}+a_{12}\mathbf {e} _{1}x_{2}+a_{13}\mathbf {e} _{1}x_{3}&=c_{1}\mathbf {e} _{1}\\a_{21}\mathbf {e} _{2}x_{1}+a_{22}\mathbf {e} _{2}x_{2}+a_{23}\mathbf {e} _{2}x_{3}&=c_{2}\mathbf {e} _{2}\\a_{31}\mathbf {e} _{3}x_{1}+a_{32}\mathbf {e} _{3}x_{2}+a_{33}\mathbf {e} _{3}x_{3}&=c_{3}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

Пусть векторы

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{1}&=a_{11}\mathbf {e} _{1}+a_{21}\mathbf {e} _{2}+a_{31}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {a} _{2}&=a_{12}\mathbf {e} _{1}+a_{22}\mathbf {e} _{2}+a_{32}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {a} _{3}&=a_{13}\mathbf {e} _{1}+a_{23}\mathbf {e} _{2}+a_{33}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

Сложив систему уравнений, видно, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=c_{1}\mathbf {e} _{1}+c_{2}\mathbf {e} _{2}+c_{3}\mathbf {e} _{3}\\&=x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\end{aligned}}}$

С использованием внешний продукт, каждый неизвестный скаляр ${\displaystyle x_{k}}$ можно решить как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}&=x_{1}\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}&=x_{2}\mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}&=x_{3}\mathbf {a} _{3}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\\x_{1}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\\x_{2}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}}}={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\\x_{3}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{3}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}}}={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {c} }{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\end{aligned}}}$

За п уравнения в п неизвестных, решение для k-й неизвестный ${\displaystyle x_{k}}$ обобщает на

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}&={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n}}}\\&=(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})^{-1}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\end{aligned}}}$

Если а_k линейно независимы, то ${\displaystyle x_{k}}$ может быть выражено в детерминантной форме, идентичной правилу Крамера, как

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}&={\frac {(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\vdots \\\mathbf {a} _{k}\\\vdots \\\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &(\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\vdots \\\mathbf {a} _{k}\\\vdots \\\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &(\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &c_{1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &c_{k}&\cdots &a_{kn}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &c_{n}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&\cdots &a_{1n}\\\vdots \end{vmatrix}}^{-1}\end{aligned}}}$

куда (c)_k обозначает замену вектора а_k с вектором c в k-я позиция числителя.

Несовместимые и неопределенные случаи

Система уравнений называется несовместимой или несовместимой. непоследовательный когда нет решений и это называется неопределенный когда существует более одного решения. Для линейных уравнений неопределенная система будет иметь бесконечно много решений (если она находится над бесконечным полем), так как решения могут быть выражены через один или несколько параметров, которые могут принимать произвольные значения.

Правило Крамера применяется к случаю, когда определитель коэффициента отличен от нуля. В случае 2 × 2, если определитель коэффициента равен нулю, то система несовместима, если определители числителя не равны нулю, или неопределенная, если определители числителя равны нулю.

Для систем 3 × 3 или выше единственное, что можно сказать, когда определитель коэффициента равен нулю, это то, что если какой-либо из определителей числителя отличен от нуля, то система должна быть несовместимой. Однако наличие всех определителей нуля не означает, что система неопределенна. Простым примером, когда все определители обращаются в нуль (равны нулю), но система по-прежнему несовместима, является система 3 × 3 x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3.

Рекомендации

1. Крамер, Габриэль (1750). "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (На французском). Женева: Europeana. стр. 656–659. Получено 2012-05-18.
2. Косинский, А.А. (2001). «Правило Крамера принадлежит Крамеру». Математический журнал. 74: 310–312. Дои:10.2307/2691101.
3. Маклаурин, Колин (1748). Трактат по алгебре в трех частях.
4. Бойер, Карл Б. (1968). История математики (2-е изд.). Вайли. п. 431.
5. Кац, Виктор (2004). История математики (Краткое под ред.). Pearson Education. С. 378–379.
6. Хедман, Брюс А. (1999). «Ранняя дата» правила Крамера"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. Дои:10.1006 / hmat.1999.2247.
7. Дэвид Пул (2014). Линейная алгебра: современное введение. Cengage Learning. п. 276. ISBN  978-1-285-98283-0.
8. Джо Д. Хоффман; Стивен Франкель (2001). Численные методы для инженеров и ученых, второе издание,. CRC Press. п. 30. ISBN  978-0-8247-0443-8.
9. Томас С. Шорс (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ. Springer Science & Business Media. п. 132. ISBN  978-0-387-48947-6.
10. Николас Дж. Хайэм (2002). Точность и стабильность численных алгоритмов: второе издание. СИАМ. п. 13. ISBN  978-0-89871-521-7.
11. Кен Хабгуд; Итамар Арель (2012). «Основанное на конденсации применение правила Крамера для решения крупномасштабных линейных систем» (PDF). Журнал дискретных алгоритмов. 10: 98–109. Дои:10.1016 / j.jda.2011.06.007.
12. Чжимин Гун; М. Алдин; Л. Эльснер (2002). «Заметка об обобщенном правиле Крамера». Линейная алгебра и ее приложения. 340: 253–254. Дои:10.1016 / S0024-3795 (01) 00469-4.
13. Леви-Чивита, Туллио (1926). Абсолютное дифференциальное исчисление (тензорное исчисление). Дувр. С. 111–112. ISBN  9780486634012.
14. Робинсон, Стивен М. (1970). «Краткое доказательство правила Крамера». Математический журнал. 43: 94–95.

внешняя ссылка

• Доказательство правила Крамера
• WebApp описательно решает системы линейных уравнений с помощью правила Крамера^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Онлайн-калькулятор системы линейных уравнений
• Объяснение Wolfram MathWorld по этому вопросу