Пространства строк и столбцов - Row and column spaces

Векторы-строки матрица. Пространство строк этой матрицы - это векторное пространство, созданное линейными комбинациями векторов-строк.

Векторы-столбцы a матрица. Пространство столбцов этой матрицы - это векторное пространство, созданное линейными комбинациями векторов-столбцов.

В линейная алгебра, то пространство столбца (также называемый классифицировать или же изображение ) из матрица А это охватывать (набор всех возможных линейные комбинации ) своего вектор-столбец. Пространство столбцов матрицы - это изображение или же классифицировать соответствующих преобразование матрицы.

Позволять ${\displaystyle \mathbb {F} }$ быть поле. Колонное пространство м × п матрица с компонентами из ${\displaystyle \mathbb {F} }$ это линейное подпространство из м-Космос ${\displaystyle \mathbb {F} ^{m}}$. В измерение пространства столбцов называется классифицировать матрицы и не превосходит min (м, п).^[1] Определение матриц над звенеть ${\displaystyle \mathbb {K} }$ также возможно.

В пространство строки определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы действительные числа. Пространства строк и столбцов являются подпространствами реальные пространства р^п и р^м соответственно.^[2]

Обзор

Позволять А быть м-к-п матрица. потом

1. классифицировать(А) = dim (rowsp (А)) = dim (colsp (А)),^[3]
2. классифицировать(А) = количество повороты в любом эшелоне формы А,
3. классифицировать(А) = максимальное количество линейно независимых строк или столбцов А.^[4]

Если рассматривать матрицу как линейное преобразование из р^п к р^м, то пространство столбцов матрицы равно изображение этого линейного преобразования.

Пространство столбцов матрицы А - это множество всех линейных комбинаций столбцов в А. Если А = [а₁, ...., а_п], затем colsp (А) = span {а₁, ...., а_п}.

Концепция пространства строк обобщается на матрицы над C, Поле сложные числа, или по любому поле.

Интуитивно, учитывая матрицу А, действие матрицы А на векторе Икс вернет линейную комбинацию столбцов А взвешенный по координатам Икс в качестве коэффициентов. Другой способ взглянуть на это - это (1) первый проект Икс в пространство строки А, (2) выполнить обратимое преобразование и (3) поместить полученный вектор у в пространстве столбцов А. Таким образом, результат у = А Икс должен находиться в пространстве столбца А. Видеть разложение по сингулярным числам для получения более подробной информации об этой второй интерпретации.^{[требуется разъяснение ]}

Пример

Учитывая матрицу J:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$

строкир₁ = (2,4,1,3,2),р₂ = (−1,−2,1,0,5),р₃ = (1,6,2,2,2),р₄ = (3,6,2,5,1), следовательно, пространство строк J является подпространством р⁵ охватывал к { р₁, р₂, р₃, р₄ }. Поскольку эти четыре вектора-строки линейно независимый, пространство строк 4-мерное. Более того, в этом случае видно, что все они ортогональный к вектору п = (6, −1,4, −4,0), поэтому можно вывести, что пространство строк состоит из всех векторов в р⁵ которые ортогональны п.

Колонка

Определение

Позволять K быть поле из скаляры. Позволять А быть м × п матрица с векторами-столбцами v₁, v₂, ..., v_п. А линейная комбинация из этих векторов - это любой вектор вида

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}$

куда c₁, c₂, ..., c_п скаляры. Множество всех возможных линейных комбинаций v₁, ... ,v_п называется пространство столбца из А. То есть пространство столбцов А это охватывать векторов v₁, ... , v_п.

Любая линейная комбинация векторов-столбцов матрицы А можно записать как произведение А с вектором-столбцом:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{m1}+&\cdots &+c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}$

Следовательно, пространство столбцов А состоит из всех возможных продуктов АИкс, за Икс ∈ C^п. Это то же самое, что и изображение (или же классифицировать ) соответствующих преобразование матрицы.

Пример

Если ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}}$, то векторы-столбцы равны v₁ = (1, 0, 2)^Т и v₂ = (0, 1, 0)^Т.

Линейная комбинация v₁ и v₂ любой вектор вида

${\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,}$

Набор всех таких векторов - это пространство столбцов А. В этом случае пространство столбцов - это в точности набор векторов (Икс, у, z) ∈ р³ удовлетворяющий уравнению z = 2Икс (с помощью Декартовы координаты, этот набор является самолет через происхождение в трехмерное пространство ).

Основа

Колонны А охватывают пространство столбца, но они не могут образовывать основа если векторы-столбцы не линейно независимый. К счастью, элементарные операции со строками не влияют на отношения зависимости между векторами-столбцами. Это позволяет использовать сокращение ряда найти основа для пространства столбца.

Например, рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Столбцы этой матрицы охватывают пространство столбцов, но могут не быть линейно независимый, и в этом случае некоторое их подмножество станет основой. Чтобы найти эту основу, сводим А к сокращенная форма эшелона строки:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}{\text{.}}}$^[5]

На этом этапе ясно, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы, а третий столбец представляет собой линейную комбинацию первых двух. (Конкретно, v₃ = –2v₁ + v₂.) Следовательно, первый, второй и четвертый столбцы исходной матрицы являются основой для пространства столбцов:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Обратите внимание, что независимые столбцы приведенной формы эшелона строк - это в точности столбцы с повороты. Это позволяет определить, какие столбцы линейно независимы, уменьшив только до форма эшелона.

Вышеупомянутый алгоритм может использоваться в общем случае для нахождения отношений зависимости между любым набором векторов и для выбора основы из любого связующего набора. Также найдя основу для колоночного пространства А эквивалентно нахождению основы для пространства строк транспонировать матрицаА^Т.

Чтобы найти основу в практических условиях (например, для больших матриц), сингулярное разложение обычно используется.

Измерение

Основная статья: Ранг (линейная алгебра)

В измерение пространства столбцов называется классифицировать матрицы. Ранг равен количеству опорных точек в сокращенная форма эшелона строки, и - максимальное количество линейно независимых столбцов, которое можно выбрать из матрицы. Например, матрица 4 × 4 в приведенном выше примере имеет третий ранг.

Поскольку пространство столбца - это изображение соответствующих преобразование матрицы, ранг матрицы такой же, как размер изображения. Например, преобразование р⁴ → р⁴ описанный матрицей выше отображает все р⁴ к какому-то трехмерному подпространство.

В ничтожность матрицы - это размерность пустое пространство, и равно количеству столбцов в сокращенной форме эшелона строк, не имеющих точек поворота.^[6] Ранг и недействительность матрицы А с п столбцы связаны уравнением:

${\displaystyle {\text{rank}}(A)+{\text{nullity}}(A)=n.\,}$

Это известно как теорема ранга-недействительности.

Отношение к левому пустому пространству

В оставил пустое пространство из А это множество всех векторов Икс такой, что Икс^ТА = 0^Т. Это то же самое, что и пустое пространство из транспонировать из А. Произведение матрицы А^Т и вектор Икс можно записать в терминах скалярное произведение векторов:

${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

потому что векторы-строки из А^Т транспозиции векторов-столбцов v_k из А. Таким образом А^ТИкс = 0 если и только если Икс является ортогональный (перпендикулярно) каждому из векторов-столбцов А.

Отсюда следует, что левое пустое пространство (пустое пространство А^Т) это ортогональное дополнение в пространство столбцов А.

Для матрицы А, пространство столбца, пространство строки, пустое пространство и левое пустое пространство иногда называют четыре фундаментальных подпространства.

Для матриц над кольцом

Точно так же пространство столбца (иногда обозначаемое как верно пространство столбцов) можно определить для матриц над звенеть K в качестве

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}}$

для любого c₁, ..., c_п, с заменой вектора м-пространство с "верно бесплатный модуль ", который меняет порядок скалярное умножение вектора v_k к скаляру c_k так что он написан в необычном порядке вектор–скаляр.^[7]

Место в строке

Определение

Позволять K быть поле из скаляры. Позволять А быть м × п матрица с векторами-строками р₁, р₂, ... , р_м. А линейная комбинация из этих векторов - это любой вектор вида

${\displaystyle c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},}$

куда c₁, c₂, ... , c_м скаляры. Множество всех возможных линейных комбинаций р₁, ... , р_м называется пространство строки из А. То есть пространство строки А это охватывать векторов р₁, ... , р_м.

Например, если

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},}$

тогда векторы-строки р₁ = (1, 0, 2) и р₂ = (0, 1, 0). Линейная комбинация р₁ и р₂ любой вектор вида

${\displaystyle c_{1}(1,0,2)+c_{2}(0,1,0)=(c_{1},c_{2},2c_{1}).\,}$

Множество всех таких векторов - это пространство строк А. В этом случае пространство строк - это в точности набор векторов (Икс, у, z) ∈ K³ удовлетворяющий уравнению z = 2Икс (с помощью Декартовы координаты, этот набор является самолет через происхождение в трехмерное пространство ).

Для матрицы, представляющей однородную система линейных уравнений, пространство строк состоит из всех линейных уравнений, следующих из уравнений системы.

Пространство столбца А равно пространству строки А^Т.

Основа

На пространство строки не влияет элементарные операции со строками. Это позволяет использовать сокращение ряда найти основа для пространства строки.

Например, рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.}$

Строки этой матрицы охватывают пространство строк, но они не могут быть линейно независимый, в этом случае ряды не будут основой. Чтобы найти основу, сокращаем А к форма эшелона строки:

р₁, р₂, р₃ представляет строки.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{2}-2r_{1}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{3}-r_{1}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{3}-2r_{2}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{1}-3r_{2}}{\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Когда матрица находится в эшелонированной форме, ненулевые строки являются основой для пространства строк. В этом случае базис - {(1, 3, 2), (2, 7, 4)}. Другой возможный базис {(1, 0, 2), (0, 1, 0)} возникает в результате дальнейшего сокращения.^[8]

Этот алгоритм может использоваться в целом для поиска основы для диапазона набора векторов. Если матрицу дополнительно упростить до сокращенная форма эшелона строки, то результирующий базис однозначно определяется пространством строк.

Иногда вместо этого удобно найти основу для пространства строк среди строк исходной матрицы (например, этот результат полезен для предоставления элементарного доказательства того, что детерминантный ранг матрицы равен ее рангу). Поскольку операции со строками могут влиять на отношения линейной зависимости векторов-строк, такой базис вместо этого находят косвенно, используя тот факт, что пространство столбцов А^Т равно пространству строки А. Используя пример матрицы А выше найти А^Т и свести его к форме эшелона строк:

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Сводные точки указывают, что первые два столбца А^Т составляют основу колоночного пространства А^Т. Поэтому первые два ряда А (перед сокращениями строк) также составляют основу пространства строк А.

Измерение

Основная статья: Ранг (линейная алгебра)

В измерение пространства строки называется классифицировать матрицы. Это то же самое, что и максимальное количество линейно независимых строк, которые могут быть выбраны из матрицы, или, что то же самое, количество точек поворота. Например, матрица 3 × 3 в приведенном выше примере имеет ранг два.^[8]

Ранг матрицы также равен размерности пространство столбца. Размер пустое пространство называется ничтожность матрицы, и связан с рангом следующим уравнением:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,}$

куда п это количество столбцов матрицы А. Приведенное выше уравнение известно как теорема ранга-недействительности.

Отношение к нулевому пространству

В пустое пространство матрицы А это множество всех векторов Икс для которого АИкс = 0. Произведение матрицы А и вектор Икс можно записать в терминах скалярное произведение векторов:

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

куда р₁, ... , р_м являются векторами-строками А. Таким образом АИкс = 0 если и только если Икс является ортогональный (перпендикулярно) каждому из векторов-строк А.

Отсюда следует, что нулевое пространство А это ортогональное дополнение в пространство строки. Например, если пространство строки представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в трех измерениях, то пустое пространство будет перпендикулярной линией, проходящей через начало координат. Это является доказательством теорема ранга-недействительности (видеть измерение над).

Пространство строки и пустое пространство - два из четыре фундаментальных подпространства связанный с матрицей А (два других - пространство столбца и оставил пустое пространство ).

Отношение к coimage

Если V и W находятся векторные пространства, то ядро из линейное преобразование Т: V → W это набор векторов v ∈ V для которого Т(v) = 0. Ядро линейного преобразования аналогично пустому пространству матрицы.

Если V является внутреннее пространство продукта, то ортогональное дополнение к ядру можно рассматривать как обобщение пространства строк. Иногда это называют коимаж из Т. Преобразование Т взаимно однозначно по своему кообразу, а коимаж отображает изоморфно на изображение из Т.

Когда V не внутреннее пространство продукта, coimage Т можно определить как факторное пространство V / кер (Т).

Смотрите также

• Евклидово подпространство

Примечания

1. Линейная алгебра, обсуждаемая в этой статье, - это очень хорошо сложившаяся математическая дисциплина, для которой существует множество источников. Почти весь материал в этой статье можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.
2. Антон (1987 г., п. 179)
3. Антон (1987 г., п. 183)
4. Борегар и Фрали (1973), п. 254)
5. Это вычисление использует Гаусс – Джордан алгоритм сокращения строк. Каждый из показанных шагов включает в себя несколько элементарных операций со строками.
6. Столбцы без точек поворота представляют свободные переменные в связанных однородных система линейных уравнений.
7. Важно только если K не является коммутативный. На самом деле эта форма - просто товар Аc матрицы А в вектор-столбец c из K^п где порядок факторов сохранился, В отличие от формула выше.
8. Пример действителен на действительные числа, то рациональное число, и другие числовые поля. Это не обязательно верно для полей и колец с ненулевым характеристика.

Рекомендации

Смотрите также: Линейная алгебра § Дополнительная литература

Учебники

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-84819-0
• Акслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0
• Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (6 июня 2014 г.), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики (1-е изд.), CRC Press, ISBN  978-1-42-009538-8
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Компания Houghton Mifflin, ISBN  0-395-14017-X
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинал 1 марта 2001 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN  0-534-99845-3
• Стрэнг, Гилберт (19 июля 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.), Брукс Коул, ISBN  978-0-03-010567-8

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Строка". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство колонны». MathWorld.
• Гилберт Стрэнг, Лекция MIT по линейной алгебре о четырех фундаментальных подпространствах в Google Video с MIT OpenCourseWare
• Видеоурок Khan Academy
• Лекция Гилберта Стрэнга из Массачусетского технологического института о пространстве столбцов и нулевом пространстве
• Пространство строк и столбцов