Релятивистский угловой момент - Relativistic angular momentum

Основная статья: Угловой момент

В физика, релятивистский угловой момент относится к математическим формализмам и физическим понятиям, которые определяют угловой момент в специальная теория относительности (SR) и общая теория относительности (GR). Релятивистская величина незначительно отличается от трехмерный количество в классическая механика.

Угловой момент - важная динамическая величина, зависящая от положения и количества движения. Это мера вращательного движения объекта и его сопротивления остановке вращения. Кроме того, точно так же, как сохранение импульса соответствует трансляционной симметрии, сохранение углового момента соответствует вращательной симметрии - связи между симметрии и законы сохранения сделано Теорема Нётер. Хотя эти концепции были первоначально обнаружены в классическая механика, они также верны и значимы в специальной и общей теории относительности. В терминах абстрактной алгебры инвариантность углового момента, четырехимпульса и других симметрий в пространстве-времени описывается Группа Лоренца, или в более общем смысле Группа Пуанкаре.

Физические величины которые остаются отдельными в классической физике, естественно комбинированный в СТО и ОТО, усиливая постулаты относительности. В частности, пространственные и временные координаты объединяются в четырехпозиционный, а энергия и импульс объединяются в четырехимпульсный. Компоненты этих четырехвекторный зависит от точка зрения используется, и изменить под Преобразования Лоренца другим инерциальные системы отсчета или же ускоренные кадры.

Релятивистский угловой момент менее очевиден. Классическое определение углового момента - это перекрестное произведение позиции Икс с импульсом п получить псевдовектор Икс × пили, альтернативно, как внешний продукт получить второй заказ антисимметричный тензор Икс ∧ п. С чем это сочетается? Есть еще одна векторная величина, не часто обсуждаемая - это изменяющийся во времени момент массового полярного вектора (нет то момент инерции ), связанных с усилением центр масс системы, и это в сочетании с классическим псевдовектором углового момента образует антисимметричный тензор второго порядка, точно так же, как полярный вектор электрического поля объединяется с псевдовектором магнитного поля, образуя антисимметричный тензор электромагнитного поля. Для вращающихся распределений масса – энергия (например, гироскопы, планеты, звезды, и черные дыры ) вместо точечных частиц тензор углового момента выражается через тензор энергии-импульса вращающегося объекта.

Только в специальной теории относительности рама отдыха вращающегося объекта существует собственный угловой момент, аналогичный «спину» в квантовая механика и релятивистская квантовая механика, хотя для протяженного тела, а не для точечной частицы. В релятивистской квантовой механике элементарные частицы имеют вращение и это дополнительный вклад в орбитальный оператор углового момента, что дает общий Оператор тензора углового момента. В любом случае, внутренняя «спиновая» добавка к орбитальному угловому моменту объекта может быть выражена через Псевдовектор Паули – Любанского.^[1]

Определения

Дальнейшая информация: Евклидов вектор и Псевдовектор

Трехмерный угловой момент как бивектор (элемент плоскости) и осевой вектор, частицы массы м с мгновенным 3-х позиционным Икс и 3-импульс п.

Орбитальный трехмерный угловой момент

Для справки и фона даны две тесно связанные формы углового момента.

В классическая механика, орбитальный угловой момент частицы с мгновенным трехмерным вектором положения Икс = (Икс, у, z) и вектор импульса п = (п_Икс, п_у, п_z), определяется как осевой вектор

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

который имеет три компонента, которые систематически задаются циклические перестановки декартовых направлений (например, изменить x на y, y на z, z на x, повторить)

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}}$

Родственное определение - представить орбитальный угловой момент как плоский элемент. Этого можно добиться, заменив перекрестное произведение на внешний продукт на языке внешняя алгебра, а угловой момент становится контравариантный второго порядка антисимметричный тензор^[2]

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }$

или писать Икс = (Икс₁, Икс₂, Икс₃) = (Икс, у, z) и вектор импульса п = (п₁, п₂, п₃) = (п_Икс, п_у, п_z) компоненты можно компактно обозначить как обозначение тензорного индекса

${\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}}$

где индексы я и j принимают значения 1, 2, 3. С другой стороны, компоненты могут систематически отображаться полностью в формате 3 × 3. антисимметричная матрица

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Эта величина аддитивна, и для изолированной системы полный угловой момент системы сохраняется.

Динамический момент массы

В классической механике трехмерная величина для частицы массы м движется со скоростью ты^[2][3]

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p} }$

имеет размеры из момент массы - длина, умноженная на массу. Это связано с повышением (относительная скорость ) из центр масс (COM) частицы или системы частиц, как измерено в лабораторная рама. У этой величины нет универсального символа или даже универсального названия. Разные авторы могут обозначать это другими символами, если таковые имеются (например, μ), может обозначать другие имена и может определять N быть отрицанием того, что здесь используется. Вышеупомянутая форма имеет то преимущество, что она напоминает знакомую Преобразование Галилея для позиции, что, в свою очередь, является нерелятивистским преобразованием ускорения между инерциальными кадрами.

Этот вектор также аддитивен: для системы частиц векторная сумма является равнодействующей

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\mathrm {TOT} }(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)}$

где система центр масс положение, скорость и общая масса соответственно

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {COM} }={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}}}$, ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {COM} }={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}}}$, ${\displaystyle M_{\mathrm {TOT} }=\sum _{n}m_{n}}$.

Для изолированной системы N сохраняется во времени, что можно увидеть, дифференцируя по времени. Угловой момент L псевдовектор, но N является «обычным» (полярным) вектором и поэтому инвариантен относительно поворотов.

Результирующий N_общий для многочастичной системы есть физическая визуализация, что каким бы сложным ни было движение всех частиц, они движутся таким образом, что COM системы движется по прямой линии. Это не обязательно означает, что все частицы «следуют» за СОМ, или что все частицы движутся почти в одном направлении одновременно, только то, что движение всех частиц ограничено относительно центра масс.

В специальной теории относительности, если частица движется со скоростью ты относительно лабораторной рамы, тогда

${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},\quad \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$

куда

${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$

это Фактор Лоренца и м - масса (т.е. масса покоя) частицы. Соответствующий релятивистский момент массы через м, ты, п, E, в той же лабораторной раме

${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).}$

Декартовы компоненты:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}}$

Специальная теория относительности

Преобразования координат для ускорения в направлении x

Рассмотрим систему координат F ′, движущуюся со скоростью v = (v, 0, 0) относительно другой системы отсчета F вдоль направления совпадающей xx ′ топоры. Начало двух систем координат иногда совпадает. т = т′ = 0. Масса – энергия E = MC² и компоненты импульса п = (п_Икс, п_у, п_z) объекта, а также координаты положения Икс = (Икс, у, z) и время т в кадре F преобразуются в E′ = м′c², п′ = (п_Икс′, п_у′, п_z′), Икс′ = (Икс′, у′, z'), и т′ В F ′ согласно Преобразования Лоренца

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}}$

Фактор Лоренца здесь применяется к скорости v, относительная скорость между кадрами. Это не обязательно то же самое, что скорость ты объекта.

Для орбитального 3-го углового момента L в качестве псевдовектора имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}}$

Вывод

Для x-компоненты

${\displaystyle L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}}$

y-компонента

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}$

и z-компонент

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}$

Во втором периоде L_у' и L_z′, у и z компоненты перекрестное произведение v×N можно сделать вывод, признав циклические перестановки из v_Икс = v и v_у = v_z = 0 с компонентами N,

${\displaystyle {\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}}$

Сейчас же, L_Икс параллельна относительной скорости v, а другие компоненты L_у и L_z перпендикулярны v. Параллельно-перпендикулярному соответствию можно облегчить разделение всего псевдовектора трёхмерного углового момента на составляющие, параллельные (∥) и перпендикулярные () к v, в каждом кадре,

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.}$

Тогда составляющие уравнения можно собрать в уравнения псевдовектора

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}}$

Следовательно, составляющие момента количества движения вдоль направления движения не изменяются, а составляющие перпендикулярно изменяются. В отличие от преобразований пространства и времени, время и пространственные координаты меняются вдоль направления движения, а перпендикулярные - нет.

Эти преобразования верны для все v, а не только для движения по xx ′ топоры.

Учитывая L в качестве тензора получаем аналогичный результат

${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}}$

Увеличение динамического момента массы вдоль направления x равно

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}}$

Вывод

Для x-компоненты

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}$

y-компонента

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}$

и z-компонент

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}$

Сбор параллельных и перпендикулярных компонентов, как и раньше

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}}$

Опять же, компоненты, параллельные направлению относительного движения, не изменяются, а те, что перпендикулярны, изменяются.

Векторные преобразования для ускорения в любом направлении

Пока это только параллельные и перпендикулярные разложения векторов. Преобразования полных векторов могут быть построены из них следующим образом (здесь L является псевдовектором для конкретности и совместимости с векторной алгеброй).

Представьте единичный вектор в направлении v, данный п = v/v. Параллельные компоненты задаются векторная проекция из L или же N в п

${\displaystyle \mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

а перпендикулярная составляющая на вектор отклонения из L или же N из п

${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

и преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}}$

или восстановление v = vп,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Они очень похожи на преобразования Лоренца электрическое поле E и магнитное поле B, видеть Классический электромагнетизм и специальная теория относительности.

В качестве альтернативы, начиная с векторных преобразований Лоренца времени, пространства, энергии и импульса, для ускорения со скоростью v,

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}}$

вставив их в определения

${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {N} '={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '}$

дает преобразования.

Непосредственный вывод векторных преобразований

Орбитальный угловой момент в каждой системе отсчета равен

${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

поэтому взяв перекрестное произведение преобразований

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}}$

С использованием тройное произведение правило

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}}$

дает

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}}$

и вместе с определением N у нас есть

${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}$

Восстановление единичного вектора п,

${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]}$

Так как в преобразовании слева есть перекрестное произведение с п,

${\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$

тогда

${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$

4d Угловой момент как бивектор

В релятивистской механике ускорение COM и орбитальный трёхмерный угловой момент вращающегося объекта объединены в четырёхмерный бивектор с точки зрения четырехпозиционный Икс и четырехимпульсный п объекта^[4][5]

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

В компонентах

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$

Всего шесть независимых величин. Поскольку компоненты Икс и п зависят от кадра, поэтому M. Три компонента

${\displaystyle M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}}$

- это те из знакомых классических 3-пространственных орбитальных угловых моментов, а другие три

${\displaystyle M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}}$

- релятивистский момент массы, умноженный на -c. Тензор антисимметричен;

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }}$

Компоненты тензора можно систематически отображать в виде матрица

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}$

в котором последний массив - это блочная матрица сформированный путем лечения N как вектор строки который матрица транспонирует к вектор столбца N^Т, и Икс ∧ п как 3 × 3 антисимметричная матрица. Линии просто вставлены, чтобы показать, где находятся блоки.

Опять же, этот тензор является аддитивным: полный угловой момент системы - это сумма тензоров углового момента для каждой составляющей системы:

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {total} }=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.}$

Каждый из шести компонентов образует сохраняемую величину при агрегировании с соответствующими компонентами для других объектов и полей.

Тензор углового момента M действительно тензор, компоненты меняются согласно Преобразование Лоренца матрица Λ, как обычно обозначение тензорного индекса

${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},}$

где для наддува (без вращений) с нормированной скоростью β = v/c, матричные элементы преобразования Лоренца равны

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}}$

и ковариант β_я и контравариантный β^я компоненты β одинаковы, поскольку это всего лишь параметры.

Другими словами, можно провести Лоренц-преобразование четырех положений и четырех импульсов по отдельности, а затем антисимметризовать эти недавно обнаруженные компоненты, чтобы получить тензор углового момента в новой системе отсчета.

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Преобразование компонентов наддува:

${\displaystyle {\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}}$

что касается орбитального углового момента

${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}}$

Выражения в записях преобразования Лоренца:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}$

дает

${\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}$

или в векторной форме, разделив на c

${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} }$

или восстановление β = v/c,

${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L} }$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}$

или преобразование в форму псевдовектора

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}}$

в векторной записи

${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )}$

или восстановление β = v/c,

${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)}$

Вращение жесткого тела

Смотрите также: Парадокс Эренфеста

Для частицы, движущейся по кривой, перекрестное произведение своего угловая скорость ω (псевдовектор) и положение Икс дать его тангенциальную скорость

${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$

который не может превышать величину c, поскольку в СИ поступательная скорость любого массивного объекта не может превышать скорость света c. Математически это ограничение 0 ≤ |ты| < c, вертикальные полосы обозначают величина вектора. Если угол между ω и Икс является θ (предполагается ненулевым, иначе ты будет нулевым, что соответствует отсутствию движения), то |ты| = |ω||Икс| грехθ а угловая скорость ограничена

${\displaystyle 0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}}$

Следовательно, максимальная угловая скорость любого массивного объекта зависит от его размера. Для данного |Икс| минимальный верхний предел возникает, когда ω и Икс перпендикулярны, так что θ = π/ 2 и грехθ = 1.

Для вращающегося жесткое тело вращающийся с угловой скоростью ω, то ты тангенциальная скорость в точке Икс внутри объекта. Для каждой точки объекта существует максимальная угловая скорость.

Угловая скорость (псевдовектор) связана с угловым моментом (псевдовектор) через момент инерции тензор я

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}}$

(точка · означает тензорное сжатие по одному индексу). Релятивистский угловой момент также ограничен размером объекта.

Спин в специальной теории относительности

Четыре вращения

Частица может иметь «встроенный» угловой момент, не зависящий от ее движения, называемый вращение и обозначен s. Это трехмерный псевдовектор, подобный орбитальному угловому моменту. L.

Спину соответствует соответствующее спиновый магнитный момент, поэтому, если частица подвержена взаимодействиям (например, электромагнитные поля или же спин-орбитальная связь ) направление вектора спина частицы изменится, но его величина останется постоянной.

Расширение специальной теории относительности несложно.^[6] Для некоторых лабораторная рама F, пусть F ′ будет системой покоя частицы и предположим, что частица движется с постоянной 3-скоростью ты. Затем F 'увеличивается с той же скоростью, и преобразования Лоренца применяются как обычно; удобнее пользоваться β = ты/c. Как четырехвекторный в специальной теории относительности четырехспиновый S обычно принимает обычную форму четырехвектора с времениподобной составляющей s_т и пространственные компоненты s, в рамке лаборатории

${\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})}$

хотя в системе покоя частицы он определен так, что времениподобный компонент равен нулю, а пространственные компоненты являются компонентами фактического вектора спина частицы, в обозначениях здесь s′, Поэтому в кадре частицы

${\displaystyle \mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)}$

Приравнивание норм приводит к инвариантному соотношению

${\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '}$

поэтому, если величина спина задана в системе отсчета покоя частицы и в лабораторной системе отсчета наблюдателя, величина времениподобного компонента s_т дается также в рамке лаборатории.

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Усиленные компоненты четырех вращений относительно лабораторной рамы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}$

Здесь γ = γ(ты). S′ Находится в системе покоя частицы, поэтому ее времениподобная составляющая равна нулю, S′⁰ = 0, нет S⁰. Кроме того, первое эквивалентно внутреннему произведению четырехскоростной (деленной на c) и четырехспиновый. Объединение этих фактов приводит к

${\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$

который является инвариантом. Затем это в сочетании с преобразованием времениподобного компонента приводит к воспринимаемому компоненту в лабораторном кадре;

${\displaystyle S^{0}=\beta _{i}S^{i}}$

Обратные соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}}$

Ковариантным ограничением на спин является ортогональность вектору скорости,

${\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$

В 3-векторной записи для наглядности преобразования таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}}$

Обратные отношения

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}}$

- компоненты вращения лабораторной системы отсчета, вычисленные на основе компонентов системы покоя частицы. Хотя спин частицы постоянен для данной частицы, в лабораторных условиях он кажется другим.

Псевдовектор Паули – Любанского.

В Псевдовектор Паули – Любанского

${\displaystyle S_{\rho }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu \rho }U^{\lambda }J^{\mu \nu },}$

относится как к массивным, так и безмассовые частицы.

Спин-орбитальное разложение

В общем случае тензор полного углового момента распадается на орбитальную составляющую и компонент вращения,

${\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.}$

Это применимо к частице, распределению массы-энергии-импульса или полю.

Угловой момент распределения масса – энергия – импульс

Основные статьи: Спиновый тензор и Псевдовектор Паули – Любанского

Угловой момент из тензора массы-энергии-импульса

Ниже приводится краткое изложение MTW.^[7] Для простоты используются декартовы координаты. В специальной и общей теории относительности распределение массы – энергии – импульса, например жидкость или звезда описывается тензор энергии-импульса Т^βγ (второй порядок тензорное поле в зависимости от пространства и времени). С Т⁰⁰ - плотность энергии, Т^j0 за j = 1, 2, 3 - это j-й компонент трехмерного импульса объекта на единицу объема, и Т^ij формируют компоненты тензор напряжений включая касательные и нормальные напряжения, плотность орбитального углового момента о положении 4-вектора Икс^β задается тензором 3-го порядка

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }}$

Это антисимметрично в α и β. В специальной и общей теории относительности Т является симметричным тензором, но в других контекстах (например, в квантовой теории поля) может и не быть.

Пусть Ω - область 4-го пространства-времени. В граница представляет собой гиперповерхность трехмерного пространства-времени («объем поверхности пространства-времени» в отличие от «площади пространственной поверхности»), обозначаемый ∂Ω, где «∂» означает «граница». Интегрирование плотности углового момента по гиперповерхности трехмерного пространства-времени дает тензор углового момента около Икс,

${\displaystyle M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }}$

где dΣ_γ объем 1-форма играя роль единичный вектор нормальна к двумерной поверхности в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Интеграл берется по координатам Икс, нет Икс. Интеграл внутри пространственноподобной поверхности постоянного времени равен

${\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dxdydz}$

которые вместе образуют тензор углового момента.

Угловой момент относительно центра масс

В системе центра масс есть собственный угловой момент, другими словами, угловой момент любого события

${\displaystyle \mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)}$

на словарная линия центра масс объекта. С Т⁰⁰ - плотность энергии объекта, пространственные координаты центр массы даны

${\displaystyle X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz}$

Параметр Y = Икс_COM получает плотность орбитального углового момента относительно центра масс объекта.

Сохранение углового момента

В сохранение энергии-импульса дается в дифференциальной форме уравнение неразрывности

${\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0}$

где ∂_γ это четыре градиента. (В недекартовых координатах и ​​общей теории относительности это было бы заменено ковариантная производная ). Сохранение полного углового момента дается другим уравнением неразрывности

${\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0}$

В интегральных уравнениях используются Теорема Гаусса в пространстве-времени

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}}$

Крутящий момент в специальной теории относительности

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная тензора момента количества движения, указанного выше, по собственному времени:^[8][9]

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

или в компонентах тензора:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

куда F - 4d сила, действующая на частицу в событии Икс. Как и в случае с угловым моментом, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта можно суммировать или интегрировать распределение массы.

Угловой момент как генератор ускорений и вращений пространства-времени

Смотрите также: Симметрия в квантовой механике

В этом разделе см. (Например) Б.Р. Дурни (2011),^[10] и H.L. Berk et al.^[11] и ссылки в нем.

Тензор углового момента является генератором ускорений и вращений для Группа Лоренца. Лоренц усиливает может быть параметризовано быстрота, и 3d единичный вектор п указывающие в направлении ускорения, которые объединяются в "вектор скорости"

${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta }$

куда β = v / c это скорость относительного движения, деленная на скорость света. Пространственные вращения можно параметризовать с помощью ось-угол представление, угол θ и единичный вектор а указывающие в направлении оси, которые объединяются в "вектор ось-угол"

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a} }$

Каждый единичный вектор имеет только две независимые компоненты, третий определяется из единичной величины. Всего существует шесть параметров группы Лоренца; три для вращения и три для повышения. (Однородная) группа Лоренца шестимерна.

Генераторы наддува K и генераторы вращения J можно объединить в один генератор преобразований Лоренца; M антисимметричный тензор углового момента с компонентами

${\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.}$

и, соответственно, параметры разгона и вращения собираются в другую антисимметричную четырехмерную матрицу ω, с записями:

${\displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,}$

где соглашение о суммировании по повторяющимся индексам я, j, k используется для предотвращения неуклюжих знаков суммирования. Генерал Преобразование Лоренца тогда дается матричная экспонента

${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)}$

и соглашение о суммировании было применено к повторяющимся матричным индексам α и β.

Общее преобразование Лоренца Λ является законом преобразования для любого четыре вектора А = (А₀, А₁, А₂, А₃), задавая компоненты этого же 4-вектора в другой инерциальной системе отсчета

${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A} }$

Тензор углового момента формирует 6 из 10 генераторов Группа Пуанкаре, остальные четыре являются компонентами четырехимпульса для пространственно-временных трансляций.

Угловой момент в общей теории относительности

Угловой момент пробных частиц на слегка изогнутом фоне более сложен в ОТО, но может быть обобщен простым образом. Если Лагранжиан выражается относительно угловых переменных как обобщенные координаты, то угловые моменты равны функциональные производные лагранжиана относительно угловые скорости. В декартовых координатах они обычно задаются недиагональными условиями сдвига пространственноподобной части тензор энергии-импульса. Если пространство-время поддерживает Векторное поле убийства касательной к окружности, то момент количества движения относительно оси сохраняется.

Также желательно изучить влияние компактной вращающейся массы на окружающее ее пространство-время. Прототип решения имеет Метрика Керра, который описывает пространство-время вокруг аксиально-симметричной черная дыра. Очевидно, невозможно нарисовать точку на горизонте событий черной дыры Керра и наблюдать, как она кружится. Однако решение поддерживает константу системы, которая математически действует аналогично угловому моменту.

Смотрите также

• Прецессия Томаса
• Угловой момент света
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Проблема Кеплера в общей теории относительности
• Релятивистская механика
• Центр масс (релятивистский)
• Уравнения Матиссона – Папапетру – Диксона

Рекомендации

1. D.S.A. Фрид; К.К.А. Уленбек (1995). Геометрия и квантовая теория поля (2-е изд.). Институт перспективных исследований (Принстон, Нью-Джерси): Американское математическое общество. ISBN  0-8218-8683-5.
2. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности. старинные книги. п. 433. ISBN  978-0-09-944068-0. Пенроуз включает коэффициент 2 в произведение клина, другие авторы также могут.
3. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. Джон Уайли и сыновья. п. 138. ISBN  978-3-527-40607-4.
4. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности. старинные книги. С. 437–438, 566–569. ISBN  978-0-09-944068-0. Примечание: Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют латинский буквы в этом определении, хотя обычно используются греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.
5. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. Джон Вили и сыновья. С. 137–139. ISBN  978-3-527-40607-4.
6. Джексон, Дж. Д. (1975) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр.556–557. ISBN  0-471-43132-X. Обозначения Джексона: S (вращение в F, лабораторная рамка), s (спин в F ′, система покоя частицы), S⁰ (времениподобная составляющая в лабораторном кадре), S ′⁰ = 0 (времениподобная компонента в системе покоя частицы), нет символа для 4-спина как 4-вектора
7. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 156–159, §5.11. ISBN  0-7167-0344-0.
8. С. Аранофф (1969). «Крутящий момент и угловой момент в системе в состоянии равновесия в специальной теории относительности». Американский журнал физики. 37 (4): 453–454. Bibcode:1969AmJPh..37..453A. Дои:10.1119/1.1975612. Этот автор использует Т для крутящего момента здесь используется заглавная гамма Γ поскольку Т чаще всего зарезервировано для тензор энергии-импульса.
9. С. Аранофф (1972). «Равновесие в специальной теории относительности» (PDF). Nuovo Cimento. 10 (1): 159. Bibcode:1972NCimB..10..155A. Дои:10.1007 / BF02911417. S2CID  117291369.
10. Б.Р. Дурни (2011). «Преобразования Лоренца». arXiv:1103.0156 [Physics.gen-ph ].
11. Х.Л. Берк; К. Чайчердсакул; Т. Удагава. "Собственный однородный оператор преобразования Лоренца. е^L = е^{− ω·S − ξ·K}, Куда это идет, в чем поворот " (PDF). Техас, Остин.

• К. Хриссомалакос; Х. Эрнандес-Коронадо; Э. Окон (2009). «Центр масс в специальной и общей теории относительности и его роль в эффективном описании пространства-времени». J. Phys. Конф. Сер. Мексика. 174 (1): 012026. arXiv:0901.3349. Bibcode:2009JPhCS.174a2026C. Дои:10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.
• U.E. Шредер (1990). Специальная теория относительности. Конспект лекций по физике. 33. Всемирный научный. п. 139. ISBN  981-02-0132-X.

дальнейшее чтение

Специальная теория относительности

• Р. Торретти (1996). Относительность и геометрия. Дуврские книги по физике. Courier Dover Publications. ISBN  0-486-69046-6.

Общая теория относительности

• Л. Бланше; А. Спалличчи; Б. Уайтинг (2011). Масса и движение в общей теории относительности. Фундаментальные теории физики. 162. Springer. п. 87. ISBN  978-90-481-3015-3.
• М. Людвигсен (1999). Общая теория относительности: геометрический подход. Издательство Кембриджского университета. п. 77. ISBN  0-521-63976-X.
• Н. Эшби, Д.Ф. Бартлетт, У. Висс (1990). Общая теория относительности и гравитации 1989: Труды 12-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38428-1.
• Б.Л. Ху; М.П. Райан; М.П. Райан; РЕЗЮМЕ. Вишвешвара (2005). Направления в общей теории относительности: Том 1: Труды 1993 г.. Направления в общей теории относительности: материалы Международного симпозиума 1993 года, Мэриленд: статьи в честь Чарльза Миснера. 1. Издательство Кембриджского университета. п. 347. ISBN  0-521-02139-1.
• А. Папапетру (1974). Лекции по общей теории относительности. Springer. ISBN  90-277-0514-3.

внешняя ссылка

• Н. Меникуччи (2001). «Релятивистский угловой момент» (PDF).
• «Специальная теория относительности» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-11-04. Получено 2013-10-30.