Релятивистская механика - Relativistic mechanics

Дальнейшая информация: Масса в специальной теории относительности и Сохранение энергии

В физика, релятивистская механика относится к механика совместим с специальная теория относительности (SR) и общая теория относительности (GR). Он обеспечивает не-квантово-механический описание системы частиц или жидкость, в случаях, когда скорости движущихся объектов сопоставимы с скорость света c. Как результат, классическая механика правильно распространяется на частицы, движущиеся с высокими скоростями и энергиями, и обеспечивает последовательное включение электромагнетизм с механикой частиц. Это было невозможно в теории относительности Галилея, где разрешалось бы частицам и свету двигаться со скоростью Любые скорость, в том числе быстрее света. Основы релятивистской механики - это постулаты специальной теории относительности и общая теория относительности. Объединение СТО с квантовой механикой есть релятивистская квантовая механика, а попытки ОТО квантовая гравитация, нерешенная проблема в физике.

Как и в классической механике, предмет можно разделить на "кинематика "; описание движения путем указания позиции, скорости и ускорения, и "динамика "; полное описание с учетом энергии, импульсы, и угловые моменты и их законы сохранения, и силы действующий на частицы или оказываемый частицами. Однако есть тонкость; то, что кажется «движущимся», и то, что «находится в состоянии покоя» - что называется «статика "в классической механике - зависит от относительного движения наблюдатели кто измеряет в системы отсчета.

Хотя некоторые определения и концепции классической механики переносятся на СТО, например, сила как производная по времени импульса (Второй закон Ньютона ), Работа сделано частицей как линейный интеграл силы, действующей на частицу по пути, и мощность как производная от проделанной работы по времени, в остальные определения и формулы внесен ряд существенных изменений. СТО утверждает, что движение относительно, и законы физики одинаковы для всех экспериментаторов, независимо от их возраста. инерционный системы отсчета. Помимо изменения понятий пространство и время, СР заставляет пересмотреть представления о масса, импульс, и энергия все это важные конструкции в Ньютоновская механика. СР показывает, что все эти концепции представляют собой разные аспекты одной и той же физической величины, во многом так же, как показывает взаимосвязь пространства и времени. Следовательно, еще одной модификацией является концепция центр массы системы, которую легко определить в классической механике, но гораздо менее очевидной в теории относительности - см. релятивистский центр масс для подробностей.

Уравнения усложняются в более привычных трехмерный векторное исчисление формализм, благодаря нелинейность в Фактор Лоренца, который точно учитывает релятивистскую зависимость скорости и Ограничение скорости всех частиц и полей. Однако они имеют более простую и элегантную форму в четыре-размерный пространство-время, который включает квартиру Пространство Минковского (SR) и искривленное пространство-время (GR), потому что трехмерные векторы, полученные из пространства, и скаляры, полученные из времени, могут быть собраны в четыре вектора, или четырехмерный тензоры. Однако шестикомпонентный тензор углового момента иногда называют бивектором, потому что с трехмерной точки зрения это два вектора (один из них, обычный угловой момент, является осевой вектор ).

Релятивистская кинематика

Основная статья: Четырехскоростной

Релятивистская четырехскорость, то есть четырехвектор, представляющий скорость в теории относительности, определяется следующим образом:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}$

В приведенном выше описании ${\displaystyle {\tau }}$ это подходящее время пути через пространство-время, называемая мировой линией, за которой следует скорость объекта, представленная выше, и

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )}$

это четырехпозиционный; координаты мероприятие. Из-за замедление времени, собственное время - это время между двумя событиями в системе отсчета, где они происходят в одном месте. Правильное время связано с координировать время т от:

${\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}$

где ${\displaystyle {\gamma }(\mathbf {v} )}$ это Фактор Лоренца:

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}$

(можно цитировать любую версию), поэтому следует:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}$

Первые три члена, за исключением фактора ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$, - скорость, которую видит наблюдатель в своей системе отсчета. В ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$ определяется скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} }$ между системой отсчета наблюдателя и кадром объекта, который является кадром, в котором измеряется его собственное время. Эта величина инвариантна относительно преобразования Лоренца, поэтому, чтобы проверить, что видит наблюдатель в другой системе отсчета, нужно просто умножить четырехвектор скорости на матрицу преобразования Лоренца между двумя системами отсчета.

Релятивистская динамика

Масса покоя и релятивистская масса

Масса объекта, измеренная в его собственной системе отсчета, называется его массой. масса покоя или инвариантная масса и иногда пишется ${\displaystyle m_{0}}$. Если объект движется со скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} }$ в какой-то другой системе отсчета величина ${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$ в этой системе координат часто называют «релятивистской массой» объекта.^[1]Некоторые авторы используют ${\displaystyle m}$ для обозначения массы покоя, но для ясности в этой статье мы будем следовать соглашению об использовании ${\displaystyle m}$ для релятивистской массы и ${\displaystyle m_{0}}$ для массы покоя.^[2]

Лев Окун предположил, что концепция релятивистской массы «сегодня не имеет рационального оправдания» и ее больше не следует преподавать.^[3]Другие физики, в том числе Вольфганг Риндлер и Т. Р. Сандин, утверждают, что концепция полезна.^[4]Увидеть масса в специальной теории относительности для получения дополнительной информации об этой дискуссии.

Частица, масса покоя которой равна нулю, называется безмассовый. Фотоны и гравитоны считаются безмассовыми, и нейтрино почти так.

Релятивистская энергия и импульс

Есть несколько (эквивалентных) способов определения импульса и энергии в СТО. Один метод использует законы сохранения. Если эти законы должны оставаться в силе в СТО, они должны выполняться во всех возможных системах отсчета. Однако, если сделать несколько простых мысленные эксперименты используя ньютоновские определения импульса и энергии, можно увидеть, что эти величины не сохраняются в СТО. Можно спасти идею сохранения, внеся небольшие изменения в определения, чтобы учесть релятивистские скорости. Именно эти новые определения принимаются за правильные для импульса и энергии в СИ.

В четырехимпульсный объекта проста, идентична по форме классическому импульсу, но заменяет 3-векторы на 4-векторы:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

Энергия и импульс объекта с инвариантной массой ${\displaystyle m_{0}}$, двигаясь с скорость ${\displaystyle \mathbf {v} }$ относительно данной системы отсчета, соответственно задаются

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Фактор ${\displaystyle \gamma }$ происходит из определения четырехскоростной скорости, описанного выше. Появление ${\displaystyle \gamma }$ можно указать альтернативным способом, который будет объяснен в следующем разделе.

Кинетическая энергия, ${\displaystyle K}$, определяется как

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

а скорость как функция кинетической энергии определяется выражением

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

Пространственный импульс можно записать как ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$, сохраняя форму из механики Ньютона с релятивистской массой, замененной массой Ньютона. Однако такая замена не работает для некоторых величин, включая силу и кинетическую энергию. Более того, релятивистская масса не инвариантна относительно преобразований Лоренца, а масса покоя инвариантна. По этой причине многие люди предпочитают использовать массу покоя и учитывать ${\displaystyle \gamma }$ явно через 4-скоростное или координатное время.

Простое соотношение между энергией, импульсом и скоростью может быть получено из определений энергии и импульса путем умножения энергии на ${\displaystyle \mathbf {v} }$, умножая импульс на ${\displaystyle c^{2}}$, и отметив, что эти два выражения равны. Это дает

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$ затем можно исключить, разделив это уравнение на ${\displaystyle c}$ и возведение в квадрат,

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

разделив определение энергии на ${\displaystyle \gamma }$ и возведение в квадрат,

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

и подставив:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

Это релятивистский соотношение энергия-импульс.

Пока энергия ${\displaystyle E}$ и импульс ${\displaystyle \mathbf {p} }$ зависят от системы отсчета, в которой они измеряются, величина ${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$ инвариантен. Его ценность ${\displaystyle -c^{2}}$ умножить на квадрат величины 4-импульс вектор.

Инвариантная масса системы может быть записана как

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

Из-за кинетической энергии и энергии связи эта величина отличается от суммы масс покоя частиц, из которых состоит система. Масса покоя не является постоянной величиной в специальной теории относительности, в отличие от ситуации в ньютоновской физике. Однако даже если объект изменяется внутри, пока он не обменивается энергией или импульсом со своим окружением, его масса покоя не изменится и может быть вычислена с тем же результатом в любой системе отсчета.

Эквивалентность массы и энергии

Основная статья: Эквивалентность массы и энергии

Релятивистское уравнение энергии-импульса справедливо для всех частиц, даже для безмассовые частицы для которого м₀ = 0. В этом случае:

${\displaystyle E=pc}$

При замене на Ev = c²п, это дает v = c: безмассовые частицы (например, фотоны ) всегда движутся со скоростью света.

Обратите внимание, что масса покоя составной системы, как правило, будет немного отличаться от суммы масс покоя ее частей, поскольку в системе покоя их кинетическая энергия увеличит ее массу, а их (отрицательная) энергия связи уменьшит ее массу. В частности, гипотетический «ящик света» имел бы массу покоя, даже если бы он был сделан из частиц, которые не имеют, поскольку их импульсы сокращаются.

Глядя на приведенную выше формулу для инвариантной массы системы, можно увидеть, что когда один массивный объект находится в состоянии покоя (v = 0, п = 0) осталась ненулевая масса: м₀ = E/c²Соответствующая энергия, которая также является полной энергией, когда отдельная частица находится в состоянии покоя, называется «энергией покоя». В системах частиц, которые наблюдаются из движущейся инерциальной системы отсчета, полная энергия увеличивается, как и импульс. Однако для отдельных частиц масса покоя остается постоянной, а для систем частиц инвариантная масса остается постоянной, потому что в обоих случаях энергия и импульс увеличиваются, вычитаются друг из друга и сокращаются. Таким образом, инвариантная масса систем частиц является вычисляемой константой для всех наблюдателей, как и масса покоя отдельных частиц.

Масса систем и сохранение инвариантной массы

Смотрите также: Центр масс (релятивистский)

Для систем частиц уравнение энергии-импульса требует суммирования векторов импульса частиц:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

Инерциальная система отсчета, в которой импульсы всех частиц равны нулю, называется центр импульса кадра. В этой специальной системе отсчета релятивистское уравнение энергии-импульса имеет п = 0 и, таким образом, дает инвариантную массу системы как просто полную энергию всех частей системы, деленную на c²

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

Это инвариантная масса любой системы, которая измеряется в системе отсчета, где она имеет нулевой общий импульс, например, баллон с горячим газом на весах. В такой системе масса, которую взвешивают весы, является инвариантной массой, и она зависит от полной энергии системы. Таким образом, это больше, чем сумма масс покоя молекул, но также включает в себя все суммарные энергии в системе. Подобно энергии и импульсу, инвариантная масса изолированных систем не может быть изменена до тех пор, пока система остается полностью закрытой (масса или энергия не допускаются внутрь или наружу), потому что полная релятивистская энергия системы остается постоянной, пока ничто не может войти или выйти. Оставь это.

Увеличение энергии такой системы, вызванное переводом системы в инерциальную систему отсчета, которая не является центр импульса кадра, вызывает увеличение энергии и количества движения без увеличения инвариантной массы. E = м₀c²однако применимо только к изолированным системам в их системе отсчета центра импульса, где сумма импульса равна нулю.

Принимая эту формулу за чистую монету, мы видим, что в теории относительности масса - это просто энергия под другим именем (и измеряется в других единицах). В 1927 году Эйнштейн заметил о специальной теории относительности: «Согласно этой теории масса - это не неизменная величина, а величина, зависящая от (и, действительно, тождественная) количеству энергии».^[5]

Закрытые (изолированные) системы

В «полностью закрытой» системе (т. Е. изолированная система ) полная энергия, полный импульс и, следовательно, полная инвариантная масса сохраняются. Формула Эйнштейна для изменения массы переводится в простейшую формулу ΔE = ΔMC² форма, однако, только в незамкнутых системах, в которых энергия может уйти (например, в виде тепла и света), и, таким образом, инвариантная масса уменьшается. Уравнение Эйнштейна показывает, что такие системы должны терять массу в соответствии с приведенной выше формулой пропорционально энергии, которую они теряют в окружающую среду. И наоборот, если можно измерить разницу в массе между системой до того, как она подвергнется реакции, которая высвобождает тепло и свет, и системой после реакции, когда тепло и свет ушли, можно оценить количество энергии, которая ускользает из системы.

Химические и ядерные реакции

И в ядерных, и в химических реакциях такая энергия представляет собой разницу в энергиях связи электронов в атомах (для химии) или между нуклонами в ядрах (в атомных реакциях). В обоих случаях разность масс между реагентами и (охлажденными) продуктами измеряет массу тепла и света, которые ускользают от реакции, и, таким образом (используя уравнение), дают эквивалентную энергию тепла и света, которая может выделяться, если реакция продолжается. .

В химии разница масс, связанная с излучаемой энергией, составляет около 10⁻⁹ молекулярной массы.^[6] Однако в ядерных реакциях энергии настолько велики, что они связаны с разницей масс, которую можно оценить заранее, если продукты и реагенты были взвешены (атомы можно взвешивать косвенно, используя атомные массы, которые всегда одинаковы для каждый нуклид ). Таким образом, формула Эйнштейна становится важной при измерении масс различных атомных ядер. Глядя на разницу масс, можно предсказать, какие ядра имеют запасенную энергию, которая может быть высвобождена определенными ядерные реакции, предоставляя важную информацию, которая была полезна для развития ядерной энергетики и, следовательно, ядерная бомба. Исторически, например, Лиз Мейтнер смог использовать разницу масс ядер, чтобы оценить, что было достаточно энергии, чтобы сделать ядерное деление благоприятным процессом. Таким образом, применение этой особой формы формулы Эйнштейна сделало ее одним из самых известных уравнений во всей науке.

Центр импульса кадра

Уравнение E = м₀c² применяется только к изолированным системам в их центр импульса кадра. Обычно это неправильно понимается как означающее, что масса может быть преобразованный к энергии, после чего масса исчезает. Однако популярные объяснения уравнения применительно к системам включают открытые (неизолированные) системы, в которых теплу и свету позволено улетучиваться, хотя в противном случае они внесли бы свой вклад в массу (инвариантная масса ) системы.

Исторически сложилось так, что путанице с "преобразованием" массы в энергию способствовала путаница между массой и "дело ", где материя определяется как фермион частицы. В таком определении электромагнитное излучение и кинетическая энергия (или тепло) не считаются «материей». В некоторых ситуациях материя действительно может быть преобразована в нематериальные формы энергии (см. Выше), но во всех этих ситуациях материальные и нематериальные формы энергии все еще сохраняют свою первоначальную массу.

Для изолированных систем (закрытых для любого обмена массой и энергией) масса никогда не исчезает в системе координат центра импульса, потому что энергия не может исчезнуть. Вместо этого это уравнение в контексте означает только то, что когда какая-либо энергия добавляется к системе или ускользает из нее в системе отсчета центра импульса, система будет измеряться как набравшая или потерявшая массу пропорционально добавленной энергии. или удалено. Таким образом, теоретически, если атомную бомбу поместить в ящик, достаточно прочный, чтобы выдержать ее взрыв, и взорвать ее на весах, масса этой замкнутой системы не изменится, и весы не будут двигаться. Только когда в сверхсильном заполненном плазмой ящике откроется прозрачное «окно», и свет и тепло будут выходить в виде пучка, а компоненты бомбы охладятся, система потеряет массу, связанную с энергией взрыв. В бомбе мощностью 21 килотонн, например, создается около грамма света и тепла. Если бы этому теплу и свету дать уйти, остатки бомбы потеряли бы грамм массы при охлаждении. В этом мысленном эксперименте свет и тепло уносят грамм массы и, следовательно, откладывают этот грамм массы на объекты, которые их поглощают.^[7]

Угловой момент

Основная статья: Релятивистский угловой момент

В релятивистской механике изменяющийся во времени момент массы

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

и орбитальный 3-угловой момент

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

точечной частицы объединяются в четырехмерный бивектор в плане 4-х позиционного Икс и 4-импульс п частицы:^[8][9]

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

где ∧ обозначает внешний продукт. Этот тензор является аддитивным: полный угловой момент системы - это сумма тензоров углового момента для каждой составляющей системы. Итак, для сборки дискретных частиц суммируются тензоры углового момента по частицам или интегрируется плотность углового момента по степени непрерывного распределения массы.

Каждый из шести компонентов образует сохраняемую величину при агрегировании с соответствующими компонентами для других объектов и полей.

Сила

В специальной теории относительности Второй закон Ньютона не держится в форме F = ма, но это так, если это выражается как

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

где п = γ (v)м₀v - импульс, как определено выше, и м₀ это инвариантная масса. Таким образом, сила определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }}$

Вывод

Начиная с ${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v} )\,\mathbf {v} )}{dt}}=m_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v} )}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} ){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).}$ Проведение производных дает ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} .}$ Если ускорение разделить на часть, параллельная скорости (а∥) и перпендикулярная к нему часть (а⊥), так что: ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\,,}$ один получает ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\perp }+\mathbf {a} _{\parallel })\,.}$ По конструкции а∥ и v параллельны, поэтому (v·а∥)v вектор с величиной v^2а∥ в направлении v (и, следовательно а∥) что позволяет заменить: ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel })\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} _{\parallel }}$ тогда ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp })\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\end{aligned}}\,}$

Следовательно, в некоторых старых текстах γ (v)³м₀ называется продольная масса, а γ (v)м₀ называется поперечная масса, который численно совпадает с релятивистская масса. Увидеть масса в специальной теории относительности.

Если инвертировать это, чтобы вычислить ускорение от силы, получится

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

Сила, описанная в этом разделе, является классической трехмерной силой, которая не является четырехвекторный. Эта трехмерная сила является подходящим понятием силы, поскольку это сила, которая подчиняется Третий закон движения Ньютона. Не следует путать с так называемым четыре силы которая представляет собой всего лишь трехмерную силу в сопутствующей рамке объекта, преобразованного, как если бы он был четырехвекторным. Однако плотность 3-D силы (количество движения, передаваемое на единицу четырехтомный ) является четырехвектор (плотность веса +1) в сочетании с отрицательным значением плотности передаваемой мощности.

Крутящий момент

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная тензора углового момента, указанного выше, по собственному времени:^[10][11]

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

или в компонентах тензора:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

где F - 4d сила, действующая на частицу в событии Икс. Как и в случае с угловым моментом, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта можно суммировать или интегрировать распределение массы.

Кинетическая энергия

В теорема об энергии работы говорит^[12] изменение в кинетическая энергия равно работе, проделанной над телом. В специальной теории относительности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

Вывод

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W&=\int _{\mathbf {x} _{0}}^{\mathbf {x} _{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} \\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}(\gamma m_{0}\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} dt\\&=\left.\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt\\&=\left.\gamma m_{0}v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-m_{0}\int _{v_{0}}^{v_{1}}\gamma v\,dv\\&=m_{0}\left(\left.\gamma v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-c^{2}\int _{v_{0}}^{v_{1}}{\frac {2v/c^{2}}{2{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\,dv\right)\\&=\left.m_{0}\left({\frac {v^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\right)\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\gamma m_{0}c^{2}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\gamma _{1}m_{0}c^{2}-\gamma _{0}m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

Если в исходном состоянии тело было в покое, значит v₀ = 0 и γ₀(v₀) = 1, а в конечном состоянии имеет скорость v₁ = v, полагая γ₁(v₁) = γ (v) кинетическая энергия равна;

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

результат, который можно получить напрямую, вычитая энергию покоя м₀c² от полной релятивистской энергии γ (v)м₀c².

Ньютоновский предел

Фактор Лоренца γ (v) можно разложить на Серия Тейлор или биномиальный ряд для (v/c)² <1, получая:

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

и следовательно

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}$

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

Для скоростей, намного меньших скорости света, можно пренебречь членами с c² и выше в знаменателе. Эти формулы затем сводятся к стандартным определениям ньютоновского кинетическая энергия и импульс. Так и должно быть, поскольку специальная теория относительности должна согласовываться с ньютоновской механикой при малых скоростях.

Смотрите также

• Введение в специальную теорию относительности
• Парадокс близнецов
• Релятивистские уравнения
• Релятивистская теплопроводность
• Классический электромагнетизм и специальная теория относительности
• Релятивистская система (математика)
• Релятивистская лагранжева механика

использованная литература

Заметки

1. Филип Гиббс, Джим Карр и Дон Кокс (2008). "Что такое релятивистская масса?". Часто задаваемые вопросы по Usenet Physics. Получено 2008-09-19. Обратите внимание, что в 2008 году последний редактор, Дон Кокс, переписал значительную часть страницы, изменив ее взгляд с точки зрения, крайне пренебрегающей полезностью релятивистской массы, на точку зрения, которая практически не ставит ее под сомнение. Предыдущая версия была: Филип Гиббс и Джим Карр (1998). "Масса изменяется со скоростью?". Часто задаваемые вопросы по Usenet Physics. Архивировано из оригинал 30 июня 2007 г.
2. См. Например: Фейнман, Ричард (1998). «Специальная теория относительности». Шесть непростых пьес. Кембридж, Массачусетс: Книги Персея. ISBN  0-201-32842-9.
3. Лев Б. Окунь (июль 1989 г.). «Понятие массы» (требуется подписка). Физика сегодня. 42 (6): 31–36. Bibcode:1989ФТ .... 42ф..31О. Дои:10.1063/1.881171.
4. Т. Р. Сандин (ноябрь 1991 г.). «В защиту релятивистской массы». Американский журнал физики. 59 (11): 1032–1036. Bibcode:1991AmJPh..59.1032S. Дои:10.1119/1.16642.
5. Эйнштейн о Ньютоне
6. Рэнди Харрис (2008). Современная физика: второе издание. Пирсон Аддисон-Уэсли. п.38. ISBN  978-0-8053-0308-7.
7. Э. Ф. Тейлор и Дж. А. Уиллер, Физика пространства-времени, W.H. Фримен и Ко, Нью-Йорк. 1992 г. ISBN  0-7167-2327-1, см. стр. 248–9 для обсуждения массы, остающейся постоянной после взрыва ядерных бомб, пока не будет позволено уйти теплу.
8. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности. Винтажные книги. С. 437–438, 566–569. ISBN  978-0-09-944068-0. Заметка: Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют латинский буквы в этом определении, хотя обычно используются греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.
9. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. Джон Вили и сыновья. С. 137–139. ISBN  978-3-527-40607-4.
10. С. Аранофф (1969). «Крутящий момент и угловой момент в системе в состоянии равновесия в специальной теории относительности». Американский журнал физики. 37 (4): 453–454. Bibcode:1969AmJPh..37..453A. Дои:10.1119/1.1975612. Этот автор использует Т для крутящего момента здесь используется заглавная гамма Γ поскольку Т чаще всего зарезервировано для тензор энергии-импульса.
11. С. Аранофф (1972). «Равновесие в специальной теории относительности» (PDF). Nuovo Cimento. 10 (1): 159. Bibcode:1972NCimB..10..155A. Дои:10.1007 / BF02911417.
12. Р. К. Толман "Теория относительности, термодинамика и космология", стр. 47–48.

• К. Хриссомалакос; Х. Эрнандес-Коронадо; Э. Окон (2009). «Центр масс в специальной и общей теории относительности и его роль в эффективном описании пространства-времени». J. Phys. Конф. Сер. Мексика. 174 (1): 012026. arXiv:0901.3349. Bibcode:2009JPhCS.174a2026C. Дои:10.1088/1742-6596/174/1/012026.

дальнейшее чтение

Общая область применения и специальная / общая теория относительности

• ВЕЧЕРА. Уилан; М.Дж. Ходжесон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN  0-7195-3382-1.
• Дж. Воан (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57507-2.
• П.А. Типлер; Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). W.H. Фриман и Ко. ISBN  978-1-4292-0265-7.
• R.G. Лернер; Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ханс Варлимонт, Springer. ISBN  978-0-07-025734-4.
• Концепции современной физики (4-е издание), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN  0-07-100144-1
• К. Б. Паркер (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  0-07-051400-3.
• Т. Франкель (2012). Геометрия физики (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-60260-1.
• Л. Х. Гринберг (1978). Физика с современными приложениями. Holt-Saunders International W.B. Сондерс и Ко. ISBN  0-7216-4247-0.
• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаум. Мак Гроу Хилл. ISBN  978-0-07-025734-4.

Электромагнетизм и специальная теория относительности

• G.A.G. Беннет (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN  0-7131-2459-8.
• ЯВЛЯЕТСЯ. Грант; W.R. Phillips; Манчестерская физика (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-92712-9.
• Д.Дж. Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN  978-81-7758-293-2.

Классическая механика и специальная теория относительности

• Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность. Вайли. ISBN  978-0-470-01460-8.
• Д. Клеппнер; Р.Дж. Коленкова (2010). Введение в механику. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19821-9.
• Л.Н. Рука; Дж. Д. Финч (2008). Аналитическая механика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57572-0.
• П.Дж. О'Доннелл (2015). Основная динамика и теория относительности. CRC Press. ISBN  978-1-4665-8839-4.

Общая теория относительности

• Д. МакМахон (2006). Демистифицированная теория относительности. Мак Гроу Хилл. ISBN  0-07-145545-0.
• J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. ISBN  0-7167-0344-0.
• J.A. Уиллер; И. Чуфолини (1995). Гравитация и инерция. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-03323-5.
• R.J.A. Ламбурн (2010). Относительность, гравитация и космология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-13138-4.