Парадокс близнецов - Twin paradox

"Проблема с часами" перенаправляется сюда. Для математических задач, связанных с положением стрелок на циферблате, см. Проблема угла часов.

В физике парадокс близнецов это мысленный эксперимент в специальная теория относительности с участием однояйцевых близнецов, один из которых совершает путешествие в космос на высокоскоростной ракете и возвращается домой, чтобы обнаружить, что близнец, оставшийся на Земле, постарел еще больше. Этот результат вызывает недоумение, потому что каждый из близнецов видит другого близнеца как движущийся, и поэтому, согласно неправильному^[1][2] и наивный^[3][4] применение замедление времени и принцип относительности, каждый должен парадоксальным образом обнаружить, что другой постарел меньше. Однако этот сценарий может быть разрешен в стандартных рамках специальной теории относительности: траектория путешествующего близнеца включает в себя два разных инерциальные системы отсчета, один для выезда и один для въезда.^[5] Другой способ взглянуть на это - понять, что странствующий близнец переживает ускорение, что делает его неинерциальным наблюдателем. В обоих представлениях нет симметрии между пространственно-временными путями близнецов. Следовательно, парадокс близнецов - это не парадокс в смысле логического противоречия.

Начиная с Поль Ланжевен в 1911 г. этому парадоксу были даны различные объяснения. Эти объяснения «могут быть сгруппированы на те, которые сосредоточены на влиянии различных стандартов одновременности в разных кадрах, и те, которые определяют ускорение [испытываемое путешествующим близнецом] как главную причину».^[6] Макс фон Лауэ В 1913 году утверждал, что, поскольку движущийся близнец должен находиться в двух отдельных инерциальных системах отсчета, одна на выходе, а другая на обратном пути, этот переключатель кадров является причиной разницы в старении.^[7] Объяснения, выдвинутые Альберт Эйнштейн и Макс Борн призванный гравитационное замедление времени объяснять старение как прямой эффект ускорения.^[8] Однако было доказано, что общая теория относительности^{[9][10][11][12][13]} или даже ускорение, не являются необходимыми для объяснения эффекта, поскольку эффект по-прежнему применим к теоретическому наблюдателю, который может мгновенно изменить направление движения, поддерживая постоянную скорость на всех двух этапах поездки. Такого наблюдателя можно представить как пару наблюдателей, один из которых движется от начальной точки, а другой движется к ней, проходя друг мимо друга там, где должна быть точка поворота. В этот момент показания часов первого наблюдателя передаются второму, оба поддерживают постоянную скорость, и оба времени поездки добавляются в конце их пути.^[14]

История

Дальнейшая информация: История специальной теории относительности § Замедление времени и парадокс близнецов

В своей знаменитой статье о специальная теория относительности в 1905 г., Альберт Эйнштейн пришел к выводу, что когда два часы были собраны и синхронизированы, а затем один был перемещен и принесен обратно, часы, которые прошли путь, будут отставать от часов, которые остались стоять.^{[A 1]} Эйнштейн считал это естественным следствием специальной теории относительности, а не парадокс как предлагали некоторые, и в 1911 году он повторил и развил этот результат следующим образом (с физиком Роберт Резник комментарии вслед за Эйнштейном):^{[A 2][15]}

Если бы мы поместили живой организм в ящик ... можно было бы сделать так, чтобы организм после любого произвольного длительного полета мог быть возвращен на исходное место в почти не измененном состоянии, в то время как соответствующие организмы, которые остались на своих исходных положениях, уже успели давно уступили место новым поколениям. Для движущегося организма длительное путешествие составляло мгновение при условии, что движение происходило со скоростью, приблизительно равной скорости света. Если неподвижный организм - человек, а путешествующий - его близнец, то путешественник возвращается домой, чтобы найти его брат-близнец намного старше себя. Парадокс основан на утверждении, что в теории относительности один из близнецов может рассматривать другого как путешественника, и в этом случае каждый должен найти другого моложе - логическое противоречие. Это утверждение предполагает, что ситуации близнецов симметричны и взаимозаменяемы, что неверно. Кроме того, были проведены доступные эксперименты, которые подтверждают предсказание Эйнштейна.

В 1911 г. Поль Ланжевен привел «яркий пример», описав историю путешественника, совершавшего поездку в Фактор Лоренца из γ = 100 (99,995% скорости света). Путешественник остается в снаряде в течение одного года своего времени, а затем меняет направление. По возвращении путешественник обнаружит, что он постарел на два года, а на Земле прошло 200 лет. Во время путешествия и путешественник, и Земля продолжают посылать сигналы друг другу с постоянной скоростью, что ставит историю Ланжевена среди версий доплеровского сдвига парадокса близнецов. Релятивистские эффекты на скорости передачи сигналов используются для учета различных скоростей старения. Асимметрия, возникшая из-за того, что только путешественник испытал ускорение, используется для объяснения того, почему вообще есть какая-либо разница, потому что «любое изменение скорости или любое ускорение имеет абсолютное значение».^{[A 3]}

Макс фон Лауэ (1911, 1913) развили объяснение Ланжевена. С помощью Герман Минковски с пространство-время формализма, Лауэ продемонстрировал, что мировые линии инерционно движущихся тел максимизируют подходящее время прошло между двумя событиями. Он также написал, что асимметричное старение полностью объясняется тем фактом, что близнец-космонавт движется в двух отдельных кадрах, в то время как близнец Земли остается в одном кадре, и время ускорения можно сделать сколь угодно малым по сравнению со временем инерционное движение.^{[A 4][A 5][A 6]} В конце концов, Господь Halsbury и другие устранили любое ускорение, введя подход «трех братьев». Путешествующий близнец передает свои часы третьему, движущемуся в противоположном направлении. Другой способ избежать эффектов ускорения - это использование релятивистского эффекта Доплера (см. Как это выглядит: релятивистский доплеровский сдвиг ниже).

Ни Эйнштейн, ни Ланжевен не считали такие результаты проблематичными: Эйнштейн только назвал их «странными», а Ланжевен представил их как следствие абсолютного ускорения.^{[A 7]} Оба мужчины утверждали, что из-за разницы во времени, проиллюстрированной историей близнецов, нельзя построить никакого противоречия между собой. Другими словами, ни Эйнштейн, ни Ланжевен не считали историю о близнецах вызовом самосогласованности релятивистской физики.

Конкретный пример

Представьте космический корабль, путешествующий с Земли до ближайшей звездной системы: расстояние d = 4 свет лет прочь, со скоростью v = 0.8c (т.е. 80% скорости света).

Чтобы упростить подсчеты, предполагается, что корабль набирает полную скорость за незначительное время при отбытии (хотя на самом деле на ускорение на скорости потребуется около 9 месяцев). 1 грамм чтобы набрать скорость). Аналогичным образом предполагается, что в конце исходящего рейса изменение направления, необходимое для начала обратного пути, происходит за незначительное время. Это также можно смоделировать, если предположить, что корабль уже находится в движении в начале эксперимента и что событие возврата моделируется Дельта Дирака распределение ускорение.^[16]

Стороны будут наблюдать за ситуацией следующим образом:^[17][18]

Перспектива Земли

Земной центр управления полетами рассуждает о путешествии следующим образом: поездка туда и обратно займет т = 2d/v = 10 лет по земному времени (т.е. когда корабль вернется, все на Земле будут на 10 лет старше). Количество времени, измеряемое на корабельных часах, и старение путешественников во время их путешествия будут уменьшены в раз. ${displaystyle varepsilon =scriptstyle {sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$, обратная Фактор Лоренца (замедление времени ). В этом случае ε = 0.6 и путешественники будут только в возрасте 0,6 × 10 = 6 лет когда они вернутся.

Взгляд путешественников

Члены экипажа корабля также просчитывают детали своего путешествия со своей точки зрения. Они знают, что далекая звездная система и Земля движутся относительно корабля со скоростью v во время поездки. В их системе координат покоя расстояние между Землей и звездной системой равно εd = 0,6 × 4 = 2,4 света годы (сокращение длины ), как в обратном направлении, так и в обратном направлении. Каждая половина пути занимает εd / v = 2,4 / 0,8 = 3 года, а поездка туда и обратно занимает вдвое больше (6 лет). Их расчеты показывают, что они вернутся домой в возрасте 6 лет. Окончательный расчет путешественников относительно своего старения полностью согласуется с расчетами тех, кто живет на Земле, хотя они переживают путешествие совсем иначе, чем те, кто остается дома.

Вывод

Показания на часах Земли и космических кораблей

Мероприятие	земной шар (годы)	Космический корабль (годы)
Отправление	0	0
Конец исходящей поездки = Начало въезда	5	3
Пребытие	10	6

Независимо от того, какой метод они используют для прогнозирования показаний часов, все согласятся с ними. Если в день отплытия корабля родятся близнецы, и один из них отправится в путешествие, а другой останется на Земле, они встретятся снова, когда путешественнику исполнится 6 лет, а близнецу-домоседу - 10 лет.

Разрешение парадокса в специальной теории относительности

Парадоксальный аспект ситуации близнецов возникает из-за того факта, что в любой данный момент часы путешествующего близнеца идут медленно в инерциальной системе отсчета земного близнеца, но, основываясь на принципе относительности, можно в равной степени утверждать, что часы земного близнеца идут медленно в инерциальной системе отсчета. инерциальная система путешествующего близнеца.^[19][20][21] Одно из предлагаемых решений основано на том факте, что привязанный к Земле близнец находится в покое в одной и той же инерциальной системе отсчета на протяжении всего путешествия, в то время как путешествующий близнец - нет: в простейшей версии мысленного эксперимента перемещающийся близнец переключается в середине путешествие от состояния покоя в инерциальной системе отсчета, которая движется в одном направлении (от Земли) до состояния покоя в инерциальной системе отсчета, которая движется в противоположном направлении (по направлению к Земле). В этом подходе решающее значение имеет определение того, какой наблюдатель переключает кадры, а какой нет. Хотя оба близнеца могут законно утверждать, что они находятся в состоянии покоя в собственном теле, только путешествующий близнец испытывает ускорение, когда включаются двигатели космического корабля. Это ускорение, которое можно измерить с помощью акселерометра, временно делает его опорную раму неинерционной. Это выявляет критическую асимметрию между точками зрения близнецов: хотя мы можем предсказать разницу в старении с обеих точек зрения, нам необходимо использовать разные методы для получения правильных результатов.

Роль ускорения

Хотя в некоторых решениях решающую роль приписывают ускорению движущегося двойника во время поворота,^{[19][20][21][22]} другие отмечают, что эффект также возникает, если вообразить двух отдельных путешественников, одного идущего вовнутрь, а другого прибывающего внутрь, которые обгоняют друг друга и синхронизируют свои часы в точке, соответствующей «повороту» одного путешественника. В этой версии физическое ускорение ходовых часов не играет прямой роли;^[23][24][16] «Вопрос в том, какова длина мировых линий, а не в том, насколько они изогнуты».^[25] Упомянутая здесь длина - это лоренц-инвариантная длина или «собственный временной интервал» траектории, который соответствует истекшему времени, измеренному часами, следующими по этой траектории (см. Раздел Разница в прошедшем времени из-за различий в пространственно-временных путях близнецов ниже). В пространстве-времени Минковского путешествующий близнец должен ощущать иную историю ускорений, чем близнец, привязанный к Земле, даже если это означает просто ускорения одного размера, разделенные разным промежутком времени,^[25] однако «даже эта роль ускорения может быть устранена в формулировках парадокса близнецов в искривленном пространстве-времени, где близнецы могут свободно падать по геодезическим пространствам-времени между встречами».^[6]

Относительность одновременности

Диаграмма Минковского парадокса близнецов. Между траекториями близнецов есть разница: траектория корабля поровну делится между двумя разными инерциальными системами отсчета, в то время как земной близнец остается в той же инерциальной системе отсчета.

Чтобы понять, как проявляется разница во времени между близнецами, нужно понимать, что в специальной теории относительности нет понятия абсолютное настоящее. Для разных инерциальных кадров существуют разные наборы событий, одновременных в этом кадре. Этот относительность одновременности означает, что переключение с одного инерциального кадра на другой требует корректировки того, какой срез пространства-времени считается «настоящим». На пространственно-временной диаграмме справа, нарисованной для системы отсчета земного близнеца, мировая линия этого близнеца совпадает с вертикальной осью (его положение постоянно в пространстве, движется только во времени). На первом отрезке пути второй близнец перемещается вправо (черная наклонная линия); и на второй ноге обратно влево. Синие линии показывают плоскости одновременности для путешествующего близнеца на первом этапе путешествия; красные линии во время ответного матча. Непосредственно перед разворотом путешествующий близнец вычисляет возраст земного двойника, измеряя интервал по вертикальной оси от начала координат до верхней синей линии. Сразу после поворота, если он произведет повторный расчет, он измерит интервал от начала координат до нижней красной линии. В некотором смысле, во время разворота плоскость одновременности перескакивает с синего на красный и очень быстро пролетает над большим отрезком мировой линии близнеца, находящегося на Земле. При переходе от исходящей инерциальной системы отсчета к входящей инерциальной системе происходит скачкообразный скачок в возрасте земного двойника.^{[19][20][24][26][27]} (6,4 года в пример над).

Непространственно-временной подход

Как упоминалось выше, двойное парадоксальное приключение "туда-сюда" может включать в себя передачу показаний часов от "уходящего" астронавта к "прибывающему" астронавту, таким образом полностью устраняя эффект ускорения. Кроме того, согласно так называемому «постулату часов», физическое ускорение часов не способствует кинематический эффекты специальной теории относительности. Скорее, разница во времени между двумя воссоединенными часами возникает исключительно за счет равномерного движения по инерции, как обсуждалось в оригинальной статье Эйнштейна 1905 года по теории относительности:^[23] а также во всех последующих кинематических выводах преобразований Лоренца.

Поскольку диаграммы пространства-времени включают синхронизацию часов Эйнштейна (с его методологией решетки часов), произойдет необходимый скачок в показании времени земных часов, сделанный «внезапно возвращающимся астронавтом», который наследует «новое значение одновременности» в соответствии с новая синхронизация часов, продиктованная переходом в другую инерциальную систему отсчета, как объяснил Джон А. Уиллер в книге «Физика пространства-времени».^[26]

Если вместо включения синхронизации часов Эйнштейна (решетка часов), астронавт (исходящий и входящий) и наземная сторона регулярно обновляют друг друга о состоянии своих часов путем отправки радиосигналов (которые движутся со скоростью света) , то все стороны отметят постепенное нарастание асимметрии в хронометраже, начиная с точки «разворота». До «поворота» каждая сторона считает, что часы другой стороны записывают время иначе, чем ее собственное, но отмеченная разница симметрична между двумя сторонами. После «поворота» отмеченные различия не являются симметричными, и асимметрия постепенно увеличивается, пока две стороны не воссоединятся. После окончательного воссоединения эту асимметрию можно увидеть в реальной разнице, показываемой на двух воссоединившихся часах.^[28]

Эквивалентность биологического старения и хронометража часов

Все процессы - химические, биологические, функционирование измерительной аппаратуры, человеческое восприятие с участием глаза и мозга, передача силы - ограничены скоростью света. Часы работают на каждом уровне, в зависимости от скорости света и присущей ему задержки даже на атомном уровне. Следовательно, биологическое старение ничем не отличается от хронометража часов.^[29] Это означает, что биологическое старение замедлится так же, как часы.

Как это выглядит: релятивистский доплеровский сдвиг

Ввиду зависимости от кадра одновременности событий в разных точках пространства, некоторые методы лечения предпочитают более феноменологический подход, описывающий то, что близнецы наблюдали бы, если бы каждый из них посылал серию регулярных радиоимпульсов, равномерно распределенных во времени в соответствии с излучателем. Часы.^[24] Это равносильно вопросу: если каждый из близнецов отправил друг другу видео о себе, что они видят на своих экранах? Или, если у каждого близнеца всегда есть часы, показывающие его возраст, какое время каждый увидит на изображении своего далекого близнеца и его часов?

Вскоре после отъезда путешествующий близнец без промедления видит близнеца-домоседа. По прибытии изображение на экране корабля показывает оставшегося близнеца таким, каким он был через год после запуска, потому что радио, излучаемое с Земли через год после запуска, достигает другой звезды через 4 года и встречает там корабль. Во время этого этапа путешествия странствующий близнец видит, что его собственные часы опережают на 3 года, а часы на экране опережаются на 1 год, так что кажется, что они идут вперед на 3 года.¹⁄₃ нормальная скорость, всего 20 секунд изображения в минуту корабля. Это объединяет эффекты замедления времени из-за движения (с коэффициентом ε = 0,6, пять лет на Земле - это 3 года на корабле) и эффект увеличения световой задержки (которая возрастает с 0 до 4 лет).

Конечно, наблюдаемая частота передачи тоже¹⁄₃ частота передатчика (уменьшение частоты; "красное смещение"). Это называется релятивистский эффект Доплера. Частота тактовых импульсов (или волновых фронтов), которую видит источник с частотой покоя. ж_отдых является

${displaystyle f_{mathrm {obs} }=f_{mathrm {rest} }{sqrt {left({1-v/c}ight)/left({1+v/c}ight)}}}$

когда источник удаляется прямо. Это ж_{Наблюдения} = ​¹⁄₃ж_отдых за v/c = 0.8.

Что касается близнеца-домоседа, он получает замедленный сигнал с корабля в течение 9 лет с частотой¹⁄₃ частота передатчика. За эти 9 лет часы странствующего близнеца на экране, кажется, опередили 3 года, поэтому оба близнеца видят изображение старения своего брата или сестры лишь со скоростью.¹⁄₃ их собственная ставка. Другими словами, они оба увидят, как часы друг друга идут на¹⁄₃ собственная тактовая частота. Если вычесть из расчета тот факт, что световая задержка передачи увеличивается со скоростью 0,8 секунды в секунду, обе может понять, что второй близнец стареет медленнее, на 60%.

Затем корабль поворачивает обратно к дому. Часы оставшегося близнеца показывают на экране корабля «1 год после запуска», а за 3 года обратного путешествия они увеличиваются до «10 лет после запуска», поэтому часы на экране, кажется, идут вперед. В 3 раза быстрее обычного.

Когда источник движется к наблюдателю, наблюдаемая частота выше ("с синим смещением") и определяется выражением

${displaystyle f_{mathrm {obs} }=f_{mathrm {rest} }{sqrt {left({1+v/c}ight)/left({1-v/c}ight)}}}$

Это ж_{Наблюдения} = 3ж_отдых за v/c = 0.8.

Что касается экрана на Земле, он показывает, что путешествие началось через 9 лет после запуска, а путевые часы на экране показывают, что на корабле прошло 3 года. Год спустя корабль возвращается домой, и часы показывают 6 лет. Итак, во время обратного пути обе близнецы видят, что часы их брата или сестры идут в 3 раза быстрее, чем их собственные. С учетом того факта, что время задержки света уменьшается на 0,8 секунды каждую секунду, каждый близнец считает, что другой близнец стареет на 60% своей собственной скорости старения.

Световые дорожки для изображений, которыми обмениваются во время поездки
Слева: Земля для отправки. Справа: корабль на Землю.
Красные линии указывают на получение низкочастотных изображений, синие линии указывают на получение высокочастотных изображений.

В Икс–т Диаграммы (пространство-время) слева показывают пути световых сигналов, проходящих между Землей и кораблем (1-я диаграмма) и между кораблем и Землей (2-я диаграмма). Эти сигналы несут изображения каждого близнеца и его возрастные часы другому близнецу. Вертикальная черная линия - это путь Земли в пространстве-времени, а две другие стороны треугольника показывают путь корабля в пространстве-времени (как на диаграмме Минковского выше). Что касается отправителя, он передает их с равными интервалами (скажем, один раз в час) в соответствии со своими часами; но согласно часам близнеца, принимающего эти сигналы, они не принимаются с равными интервалами.

После того, как корабль достиг крейсерской скорости 0,8c, каждый из близнецов будет видеть 1-секундный проход в полученном изображении другого близнеца за каждые 3 секунды своего времени. То есть каждый будет видеть изображение часов другого, идущих медленно, а не только медленнее. ε коэффициент 0,6, но даже медленнее, потому что время задержки света увеличивается на 0,8 секунды в секунду. На рисунках это показано красными световыми дорожками. В какой-то момент изображения, полученные каждым из близнецов, меняются так, что каждый видит 3 секунды, проходящие в изображении за каждую секунду своего собственного времени. То есть частота принимаемого сигнала увеличилась за счет доплеровского сдвига. Эти высокочастотные изображения показаны на рисунках путями синего света.

Асимметрия доплеровских смещенных изображений

Асимметрия между Землей и космическим кораблем проявляется на этой диаграмме в том факте, что корабль получает больше изображений с синим смещением (быстрое старение). Другими словами, космический корабль видит изменение изображения с красного смещения (более медленное старение изображения) на синее смещение (более быстрое старение изображения) в середине своего полета (на обратном пути, через 5 лет после вылета). ); Земля видит, как изображение корабля меняется с красного смещения на синее через 9 лет (почти в конце периода отсутствия корабля). В следующем разделе мы увидим еще одну асимметрию в изображениях: земной близнец видит возраст близнеца корабля на одинаковую величину на красных и синих смещенных изображениях; корабль-близнец видит возраст двойника Земли по-разному на красных и синих изображениях.

Расчет прошедшего времени по доплеровской диаграмме

Близнец на корабле видит низкочастотные (красные) изображения в течение 3 лет. За это время он увидел бы двойника Земли на изображении, который стал старше на 3/3 = 1 год. Затем он видит высокочастотные (синие) изображения во время трехлетнего обратного путешествия. За это время он увидел бы двойника Земли на изображении, который стал старше на 3 × 3 = 9 лет. Когда путешествие закончено, изображение двойника Земли постарело на 1 + 9 = 10 лет.

Земляной близнец видит 9-летние медленные (красные) изображения корабля-близнеца, в течение которых он стареет (на изображении) на 9/3 = 3 года. Затем он видит быстрые (синие) изображения за оставшийся 1 год до возвращения корабля. На быстрых изображениях корабль-близнец стареет на 1 × 3 = 3 года. Общее старение корабля-близнеца на снимках, полученных Землей, составляет 3 + 3 = 6 лет, поэтому корабль-близнец возвращается моложе (на 6 лет, а не на 10 лет на Земле).

Разница между тем, что они видят, и тем, что они вычисляют

Чтобы избежать путаницы, обратите внимание на разницу между тем, что видит каждый из близнецов, и тем, что каждый из них рассчитывает. Каждый видит изображение своего близнеца, которое, как он знает, возникло в предыдущий раз и которое, как он знает, доплеровски сдвинуто. Он не воспринимает прошедшее время на изображении как возраст своего близнеца сейчас.

• Если он хочет вычислить, когда его близнецу был возраст, указанный на картинке (т.е. сколько ему тогда было лет), он должен определить, как далеко находился его близнец, когда был подан сигнал - другими словами, он должен учитывать одновременность отдаленного события.
• Если он хочет подсчитать, насколько быстро стареет его близнец, когда изображение было передано, он настраивается на доплеровский сдвиг. Например, когда он получает высокочастотные изображения (показывающие, что его близнец быстро стареет) с частотой ${displaystyle scriptstyle {f_{mathrm {rest} }{sqrt {left({1+v/c}ight)/left({1-v/c}ight)}}}}$, он не делает вывод о том, что близнец так быстро стареет, когда было создано изображение, равно как и о том, что сирена машины скорой помощи излучает ту частоту, которую он слышит. Он знает, что Эффект Допплера увеличил частоту изображения в 1 / (1 - v/c). Следовательно, он подсчитал, что его близнец стареет со скоростью

${displaystyle f_{mathrm {rest} }{sqrt {left({1+v/c}ight)/left({1-v/c}ight)}} imes left(1-v/cight)=f_{mathrm {rest} }{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}equiv epsilon f_{mathrm {rest} }}$

когда изображение было выпущено. Аналогичный расчет показывает, что его близнец стареет с такой же пониженной скоростью εf_отдых во всех низкочастотных изображениях.

Одновременность расчета доплеровского сдвига

Может быть трудно увидеть, где одновременность появилась в расчете доплеровского сдвига, и действительно, расчет часто предпочтительнее, потому что не нужно беспокоиться об одновременности. Как видно выше, корабль-близнец может преобразовать полученный коэффициент с доплеровским сдвигом в более медленный ход часов дальних часов как для красных, так и для синих изображений. Если он проигнорирует одновременность, он может сказать, что его близнец стареет медленнее на протяжении всего путешествия и, следовательно, должен быть моложе его. Теперь он вернулся к исходной точке и должен принять во внимание изменение в своем представлении об одновременности во время поворота. Скорость, которую он может вычислить для изображения (с поправкой на эффект Доплера), - это скорость часов двойника Земли в момент отправки, а не в момент получения. Поскольку он получает неравное количество изображений с красным и синим смещением, он должен понимать, что излучения с красным и синим смещениями не испускались в течение равных периодов времени для двойника Земли, и поэтому он должен учитывать одновременность на расстоянии.

Точка зрения путешествующего близнеца

Во время разворота путешествующий близнец находится в ускоренная система отсчета. Согласно принцип эквивалентности, путешествующий близнец может анализировать фазу обращения, как если бы одинокий близнец свободно падал в гравитационном поле и как если бы путешествующий близнец был неподвижен. В статье Эйнштейна 1918 года представлен концептуальный набросок идеи.^{[A 8]} С точки зрения путешественника расчет для каждого отдельного этапа без учета поворота приводит к результату, в котором часы Земли стареют меньше, чем путешественник.Например, если часы Земли на каждой ноге устареют на 1 день меньше, то время, на которое часы Земли будут отставать, составит 2 дня. Физическое описание того, что происходит при повороте, должно производить противоположный эффект вдвое больше: опережение земных часов на 4 дня. Тогда часы путешественника будут иметь чистую двухдневную задержку на земных часах, что согласуется с расчетами, сделанными в рамках системы-близнеца-домоседа.

Механизм опережения часов близнеца-домоседа гравитационное замедление времени. Когда наблюдатель обнаруживает, что движущиеся по инерции объекты ускоряются относительно самих себя, эти объекты находятся в гравитационном поле, насколько это касается теории относительности. Для движущегося близнеца на повороте это гравитационное поле заполняет Вселенную. В приближении слабого поля часы идут со скоростью т ' = т (1 + Φ / c²) куда Φ это разница в гравитационном потенциале. В этом случае, Φ = gh куда грамм - ускорение путешествующего наблюдателя во время разворота и час расстояние до домоседка-близнеца. Ракета стреляет в близнеца-домоседа, тем самым создавая для этого близнеца более высокий гравитационный потенциал. Из-за большого расстояния между близнецами часы близнеца-домоседа будут ускоряться достаточно быстро, чтобы учесть разницу в собственном времени, которую испытывают близнецы. Не случайно, что этого ускорения достаточно, чтобы учесть описанный выше сдвиг одновременности. Решение общей теории относительности для статического однородного гравитационного поля и решение специальной теории относительности для конечного ускорения дают идентичные результаты.^[30]

Другие расчеты были сделаны для движущегося близнеца (или для любого наблюдателя, который иногда ускоряется), которые не включают принцип эквивалентности и не включают никаких гравитационных полей. Такие расчеты основаны только на специальной теории относительности, а не на общей. Один из подходов вычисляет поверхности одновременности с учетом световых импульсов в соответствии с Герман Бонди представление о k-исчисление.^[31] При втором подходе вычисляется простой, но технически сложный интеграл, чтобы определить, как путешествующий близнец измеряет прошедшее время на часах домоседов. Схема этого второго подхода дана в отдельный раздел ниже.

Разница в прошедшем времени из-за различий в пространственно-временных путях близнецов

Дальнейшая информация: Гиперболическое движение (относительность)

Двойной парадокс, в котором ракета следует профилю ускорения с точки зрения координатного времени T и при установке c = 1: Фаза 1 (a = 0,6, T = 2); Фаза 2 (а = 0, Т = 2); Фаза 3-4 (а = -0,6, 2Т = 4); Фаза 5 (а = 0, Т = 2); Фаза 6 (а = 0,6, Т = 2). Близнецы встречаются при T = 12 и τ = 9,33. Синие числа указывают время T в инерциальной системе отсчета близнеца-дома, красные цифры - собственное время τ близнеца-ракеты, а «a» - собственное ускорение. Тонкие красные линии представляют собой линии одновременности с точки зрения различных моментальных инерциальных систем отсчета ракеты-близнеца. Красные точки большего размера указывают время, когда ускорение меняет направление.

В следующем абзаце показано несколько вещей:

• как применить точный математический подход к вычислению разницы во времени
• как точно доказать зависимость прошедшего времени от различных путей, пройденных близнецами в пространстве-времени
• как количественно оценить разницу во времени
• как рассчитать подходящее время как функция (интеграл) от координировать время

Пусть часы K будет ассоциироваться с «близнецом дома». Пусть часы K ' быть связанным с ракетой, которая совершает поездку. в событии вылета оба таймера устанавливаются на 0.

Фаза 1: Ракета (с часами K ') отправляется с постоянным правильное ускорение а в течение времени Т_а как измерено часами K пока он не достигнет некоторой скорости V.

Фаза 2: Ракета продолжает двигаться по инерции на высокой скорости. V в течение некоторого времени Т_c по часам K.

Фаза 3: Ракета запускает двигатели в направлении, противоположном K в течение времени Т_а по часам K пока он не остановится относительно часов K. Постоянное собственное ускорение имеет значение -а, другими словами, ракета замедление.

Фаза 4: Ракета продолжает запускать двигатели в направлении, противоположном K, в то же время Т_а по часам K, до того как K ' восстанавливает ту же скорость V относительно K, но теперь к K (со скоростью -V).

Фаза 5: Ракета продолжает движение по инерции к K на скорости V в то же время Т_c по часам K.

Фаза 6: Ракета снова запускает двигатели в направлении K, поэтому он замедляется с постоянным надлежащим ускорением а в течение времени Т_а, все еще по часам K, пока часы не воссоединятся.

Зная, что часы K остается инерционным (стационарным), общая накопленная подходящее время Δτ часов K ' будет задана интегральной функцией от координировать время Δт

${displaystyle Delta au =int {sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}} dt }$

куда v(т) это координатная скорость часов K ' как функция т по часам K, и, например, во время фазы 1, заданной

${displaystyle v(t)={frac {at}{sqrt {1+left({frac {at}{c}}ight)^{2}}}}.}$

Этот интеграл можно рассчитать для 6 фаз:^[32]

Фаза 1 ${displaystyle :quad c/a { ext{arsinh}}(a T_{a}/c),}$

Фаза 2 ${displaystyle :quad T_{c} {sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Фаза 3 ${displaystyle :quad c/a { ext{arsinh}}(a T_{a}/c),}$

Фаза 4 ${displaystyle :quad c/a { ext{arsinh}}(a T_{a}/c),}$

Фаза 5 ${displaystyle :quad T_{c} {sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

6 этап ${displaystyle :quad c/a { ext{arsinh}}(a T_{a}/c),}$

куда а правильное ускорение, ощущаемое часами K ' во время фазы (ов) ускорения и где следующие соотношения выполняются между V, а и Т_а:

${displaystyle V=a T_{a}/{sqrt {1+(a T_{a}/c)^{2}}}}$

${displaystyle a T_{a}=V/{sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Итак, путевые часы K ' покажет прошедшее время

${displaystyle Delta au =2T_{c}{sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}+4c/a { ext{arsinh}}(a T_{a}/c)}$

который можно выразить как

${displaystyle Delta au =2T_{c}/{sqrt {1+(a T_{a}/c)^{2}}}+4c/a { ext{arsinh}}(a T_{a}/c)}$

тогда как стационарные часы K показывает прошедшее время

${displaystyle Delta t=2T_{c}+4T_{a},}$

что для всех возможных значений а, Т_а, Т_c и V, больше, чем показания часов K ':

${displaystyle Delta t>Delta au ,}$

Разница во времени: как рассчитать ее с корабля

Парадокс близнецов, в котором ракета следует профилю ускорения с точки зрения собственного времени τ и при установке c = 1: Фаза 1 (a = 0,6, τ = 2); Фаза 2 (a = 0, τ = 2); Фаза 3-4 (а = -0,6, 2τ = 4); Фаза 5 (a = 0, τ = 2); Фаза 6 (a = 0,6, τ = 2). Близнецы встречаются при T = 17,3 и τ = 12.

В стандартной формуле собственного времени

${displaystyle Delta au =int _{0}^{Delta t}{sqrt {1-left({frac {v(t)}{c}}ight)^{2}}} dt, }$

Δτ представляет время неинерциального (путешествующего) наблюдателя K ' как функция затраченного времени Δт инерциального наблюдателя K для кого наблюдатель K ' имеет скорость v(т) вовремя т.

Для расчета прошедшего времени Δт инерциального наблюдателя K как функция затраченного времени Δτ неинерциального наблюдателя K ', где только величины, измеренные K ' доступны, можно использовать следующую формулу:^[16]

${displaystyle Delta t^{2}=left[int _{0}^{Delta au }e^{int _{0}^{ar { au }}a( au ')d au '},d{ar { au }}ight],left[int _{0}^{Delta au }e^{-int _{0}^{ar { au }}a( au ')d au '},d{ar { au }}ight], }$

куда а (т) это правильное ускорение неинерциального наблюдателя K ' измеренный им самим (например, акселерометром) в течение всего пути туда и обратно. В Неравенство Коши – Шварца можно использовать, чтобы показать, что неравенство Δт > Δτ следует из предыдущего выражения:

${displaystyle {egin{aligned}Delta t^{2}&=left[int _{0}^{Delta au }e^{int _{0}^{ar { au }}a( au ')d au '},d{ar { au }}ight],left[int _{0}^{Delta au }e^{-int _{0}^{ar { au }}a( au ')d au '},d{ar { au }}ight]&>left[int _{0}^{Delta au }e^{int _{0}^{ar { au }}a( au ')d au '},e^{-int _{0}^{ar { au }}a( au '),d au '},d{ar { au }}ight]^{2}=left[int _{0}^{Delta au }d{ar { au }}ight]^{2}=Delta au ^{2}.end{aligned}}}$

С использованием Дельта-функция Дирака для моделирования фазы бесконечного ускорения в стандартном случае путешественника, имеющего постоянную скорость v во время исходящего и входящего рейса формула дает известный результат:

${displaystyle Delta t={frac {1}{sqrt {1-{ frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}Delta au . }$

В случае, когда ускоренный наблюдатель K ' отходит от K при нулевой начальной скорости общее уравнение сводится к более простой форме:

${displaystyle Delta t=int _{0}^{Delta au }e^{pm int _{0}^{ar { au }}a( au ')d au '},d{ar { au }}, }$

который в гладкий версия парадокса близнецов, где у путешественника есть постоянные собственные фазы ускорения, последовательно задаваемые а, −а, −а, а, приводит к^[16]

${displaystyle Delta t={ frac {4}{a}}sinh({ frac {a}{4}}Delta au ) }$

где конвенция c = 1, в соответствии с приведенным выше выражением с фазами ускорения Т_а = Δт/4 и инерционная (выбег) фазы Т_c = 0.

Ротационная версия

Близнецы Боб и Алиса обитают на космической станции, вращающейся по круговой орбите вокруг массивного тела в космосе. Боб одевается и выходит из станции. Пока Алиса остается внутри станции, продолжая двигаться по орбите, как и раньше, Боб использует ракетную силовую установку, чтобы прекратить движение по орбите и зависнуть там, где он был. Когда станция завершает движение по орбите и возвращается к Бобу, он присоединяется к Алисе. Алиса теперь моложе Боба.^[33] Помимо ускорения вращения, Боб должен замедлиться, чтобы стать неподвижным, а затем снова ускориться, чтобы соответствовать орбитальной скорости космической станции.

Нет двойного парадокса в абсолютной системе отсчета

Вывод Эйнштейна о реальной разнице в зарегистрированном времени (или старении) между воссоединившимися сторонами заставил Пола Ланжевена постулировать действительную, хотя и не поддающуюся экспериментальному обнаружению, абсолютную систему отсчета:

В 1911 году Ланжевен писал: «Единообразный перевод в эфире не имеет экспериментального смысла. Но из-за этого не следует делать вывод, как это иногда случалось преждевременно, что концепция эфира должна быть отброшена, что эфира не существует. и недоступна для эксперимента. Невозможно обнаружить только равномерную скорость относительно нее, но любое изменение скорости ... имеет абсолютный смысл ".^[34]

В 1913 г. Анри Пуанкаре посмертный Последние очерки были опубликованы, и там он повторил свою позицию: «Сегодня некоторые физики хотят принять новую конвенцию. Дело не в том, что они вынуждены это сделать; они считают эту новую конвенцию более удобной, вот и все. это мнение может законно сохранить старое. ".^[35]

В теории относительности Пуанкаре и Хендрик Лоренц, который предполагает абсолютную (хотя экспериментально неразличимую) систему отсчета, никакого двойного парадокса не возникает из-за того, что замедление часов (наряду с сокращением длины и скоростью) рассматривается как действительность, отсюда и фактическая разница во времени между воссоединенными часами.

Та интерпретация относительности, которую Джон А. Уиллер называет «теорией эфира B (сокращение длины плюс сокращение времени)», не получила такой поддержки, как теория Эйнштейна, которая просто игнорировала любую более глубокую реальность, стоящую за симметричными измерениями в инерциальных системах отсчета. Не существует физического теста, который отличал бы одну интерпретацию от другой.^[36]

Совсем недавно (в 2005 году) Роберт Б. Лафлин (лауреат Нобелевской премии по физике, Стэнфордский университет) писал о природе космоса:

«Парадоксально, что самая творческая работа Эйнштейна, общая теория относительности, сводится к концептуализации пространства как среды, в то время как его первоначальная посылка [в специальной теории относительности] заключалась в том, что такой среды не существовало ... Слово« эфир »чрезвычайно важно. отрицательные коннотации в теоретической физике из-за того, что в прошлом она ассоциировалась с противостоянием теории относительности. Это прискорбно, потому что, лишенное этих коннотаций, оно довольно хорошо отражает то, как большинство физиков на самом деле думают о вакууме ... Теория относительности фактически ничего не говорит о существовании или отсутствие материи, пронизывающей вселенную, только то, что любая такая материя должна иметь релятивистскую симметрию ". (т.е. как измерено) ".^[37]

А. П. Френч пишет в Специальная теория относительности:

Однако обратите внимание, что мы апеллируем к реальности ускорения A и к наблюдаемости связанных с ним сил инерции. Существовали бы такие эффекты, как парадокс близнецов, если бы не существовало каркаса неподвижных звезд и далеких галактик? физики сказали бы нет. Наше окончательное определение инерциальной системы отсчета действительно может заключаться в том, что это система отсчета, имеющая нулевое ускорение по отношению к материи Вселенной в целом ")".^[38]

Смотрите также

• Парадокс космического корабля Белла
• Гипотеза часов
• Парадокс Эренфеста
• Герберт Дингл
• Лестничный парадокс
• Парадокс Supplee
• Замедление времени
• Время для звезд

Основные источники

1. Эйнштейн, Альберт (1905). «К электродинамике движущихся тел». Annalen der Physik. 17 (10): 891 (конец § 4). Bibcode:1905АнП ... 322..891Е. Дои:10.1002 / andp.19053221004.
2. Эйнштейн, Альберт (1911). "Die Relativitäts-Theorie". Naturforschende Gesellschaft, Цюрих, Vierteljahresschrift. 56: 1–14.
3. Ланжевен, П. (1911), «Эволюция пространства и времени», Scientia, Икс: 31–54 (перевод Дж. Б. Сайкса, 1973 г. с французского оригинала: "L'évolution de l'espace et du temps " ).
4. фон Лауэ, Макс (1911). «Zwei Einwände gegen die Relativitätstheorie und ihre Widerlegung (Два возражения против теории относительности и их опровержение)». Physikalische Zeitschrift. 13: 118–120.
5. фон Лауэ, Макс (1913). Das Relativitätsprinzip (Принцип относительности) (2-е изд.). Брауншвейг, Германия: Фридрих Веег. OCLC  298055497.
6. фон Лауэ, Макс (1913). "Das Relativitätsprinzip (Принцип относительности)". Jahrbücher der Philosophie. 1: 99–128.
7. «Мы увидим этот абсолютный характер ускорения в другой форме». («Nous allons voir se manifestester sous une autre forme ce caractère absolu de l'accélération.»), Стр. 82 Langevin1911
8. Эйнштейн, А. (1918) "диалог о возражениях против теории относительности ", Die Naturwissenschaften 48, стр. 697–702, 29 ноября 1918 г.

Вторичные источники

1. Кроуэлл, Бенджамин (2000). Современная революция в физике (иллюстрированный ред.). Свет и материя. п. 23. ISBN  978-0-9704670-6-5. Отрывок страницы 23
2. Serway, Raymond A .; Моисей, Климент Дж .; Мойер, Курт А. (2004). Современная физика (3-е изд.). Cengage Learning. п. 21. ISBN  978-1-111-79437-8. Отрывок страницы 21
3. Д'Аурия, Риккардо; Тригианте, Марио (2011). От специальной теории относительности к диаграммам Фейнмана: курс теоретической физики элементарных частиц для начинающих (иллюстрированный ред.). Springer Science & Business Media. п. 541. ISBN  978-88-470-1504-3. Выдержка страницы 541
4. Ohanian, Hans C .; Руффини, Ремо (2013). Гравитация и пространство-время (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 176. ISBN  978-1-139-61954-7. Отрывок страницы 176
5. Хоули, Джон Ф .; Холкомб, Кэтрин А. (2005). Основы современной космологии (иллюстрированный ред.). Издательство Оксфордского университета. п. 203. ISBN  978-0-19-853096-1. Выдержка страницы 203
6. Debs, Talal A .; Рыжий, Майкл Л.Г. (1996). «Парадокс-близнец» и условность одновременности ». Американский журнал физики. 64 (4): 384–392. Bibcode:1996AmJPh..64..384D. Дои:10.1119/1.18252.
7. Миллер, Артур I. (1981). Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Возникновение (1905 г.) и ранняя интерпретация (1905–1911 гг.). Чтение: Эддисон – Уэсли. стр.257–264. ISBN  0-201-04679-2.
8. Макс Джаммер (2006). Концепции одновременности: от античности до Эйнштейна и не только. Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 165. ISBN  0-8018-8422-5.
9. Шютц, Бернард (2003). Гравитация с нуля: вводное руководство по гравитации и общей теории относительности (иллюстрированный ред.). Издательство Кембриджского университета. п. 207. ISBN  978-0-521-45506-0.Отрывок страницы 207
10. Баэз, Джон (1996). "Может ли специальная теория относительности справиться с ускорением?". Получено 30 мая 2017.
11. «Как теория относительности разрешает парадокс близнецов?».
12. Дэвид Халлидей и др., Основы физики, Джон Уайли и сыновья, 1996
13. Пол Дэвис О времени, Touchstone 1995, стр. 59.
14. Джон Симонетти. «Часто задаваемые вопросы о специальной теории относительности - парадокс близнецов». Вирджиния Tech Physics. Получено 25 мая 2020.
15. Резник, Роберт (1968). «Дополнительная тема B: Парадокс близнецов». Введение в специальную теорию относительности. место: Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. стр.201. ISBN  0-471-71725-8. LCCN  67031211.. через Август Копфф, Хайман Леви (переводчик), Математическая теория относительности (Лондон: Methuen & Co., Ltd., 1923), стр. 52, как цитирует G.J. Whitrow, Естественная философия времени (Нью-Йорк: Harper Torchbooks, 1961), стр. 215.
16. E. Minguzzi (2005) - Дифференциальное старение от ускорения: явная формула - Являюсь. J. Phys. 73: 876-880 arXiv: физика / 0411233 (Обозначение исходных переменных было адаптировано для соответствия этой статье.)
17. Джайн, Махеш К. (2009). Учебник инженерной физики, часть I. PHI Learning Pvt. п. 74. ISBN  978-8120338623. Выдержка страницы 74
18. Сардесай, П. Л. (2004). Введение в теорию относительности. New Age International. С. 27–28. ISBN  8122415202. Отрывок страницы 27
19. Оганян, Ганс (2001). Специальная теория относительности: современное введение. Лейквилл, Миннесота: Учебная программа и обучение по физике. ISBN  0971313415.
20. Харрис, Рэнди (2008). Современная физика. Сан-Франциско, Калифорния: Пирсон Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0805303087.
21. Риндлер, В. (2006). Введение в специальную теорию относительности. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780198567318.
22. Вайднер, Ричард (1985). Физика. Нидхэм-Хайтс, Массачусетс: Аллин и Бэкон. ISBN  0205111556.
23. Эйнштейн А., Лоренц Х.А., Минковский Х. и Вейль Х. (1923). Арнольд Зоммерфельд. изд. Принцип относительности. Дуврские публикации: Минеола, штат Нью-Йорк. С. 38–49.
24. Когут, Джон Б. (2012). Введение в теорию относительности: для физиков и астрономов. Академическая пресса. п. 35. ISBN  978-0-08-092408-3. Выдержка со страницы 35
25. Модлин, Тим (2012). Философия физики: пространство и время. Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 77–83. ISBN  9780691143095.
26. Уиллер, Дж., Тейлор, Э. (1992). Физика пространства-времени, второе издание. В. Х. Фриман: Нью-Йорк, стр. 38, 170–171.
27. Эйнштейн А., Лоренц Х.А., Минковски Х. и Вейль Х. (1923). Арнольд Зоммерфельд. изд. Принцип относительности. Дуврские публикации: Минеола, штат Нью-Йорк. п. 38.
28. Уильям Герайнт Воан Россер (1991). Введение в специальную теорию относительности, Taylor & Francis Inc., США, стр. 67-68.
29. Тейлор, Эдвин Ф .; Уилер, Джон Арчибальд (1992). Физика пространства-времени (2-е, иллюстрированное изд.). В. Х. Фриман. п.150. ISBN  978-0-7167-2327-1.
30. Джонс, Престон; Ванекс, Л.Ф. (февраль 2006 г.). «Парадокс часов в статическом однородном гравитационном поле». Основы письма по физике. 19 (1): 75–85. arXiv:физика / 0604025. Bibcode:2006ФоФЛ..19 ... 75J. Дои:10.1007 / s10702-006-1850-3.
31. Долби, Карл Э. и Гулл, Стивен Ф (2001). "О радарном времени и парадоксе близнецов"'". Американский журнал физики. 69 (12): 1257–1261. arXiv:gr-qc / 0104077. Bibcode:2001AmJPh..69.1257D. Дои:10.1119/1.1407254.
32. К. Лагут и Э. Даву (1995) Межзвездный путешественник, Являюсь. J. Phys. 63:221-227
33. Майкл Пол Хобсон, Джордж Эфстатиу, Энтони Н. Ласенби (2006). Общая теория относительности: введение для физиков. Издательство Кембриджского университета. п. 227. ISBN  0-521-82951-8. Видеть упражнение 9.25 на странице 227.
34. Ланжевен, П. (1911), «Эволюция пространства и времени», Scientia, X: стр.47 (перевод Дж. Б. Сайкса, 1973).
35. Пуанкаре, Анри. (1913), Математика и естественные науки: последние очерки (Dernières pensées).
36. Уиллер, Дж., Тейлор, Э. (1992). Физика пространства-времени, второе издание. В. Х. Фриман: Нью-Йорк, стр. 88.
37. Лафлин, Роберт Б. (2005). Другая вселенная: переосмысление физики снизу вниз. Основные книги, Нью-Йорк, Нью-Йорк. С. 120–121.
38. Френч, А.П. (1968). Специальная теория относительности. W.W. Нортон, Нью-Йорк. п. 156.

дальнейшее чтение

Идеальные часы

В идеальные часы это часы, действие которых зависит только от их мгновенной скорости и не зависит от ускорения часов.

• Вольфганг Риндлер (2006). «Замедление времени». Относительность: специальная, общая и космологическая. Издательство Оксфордского университета. п. 43. ISBN  0-19-856731-6.

Гравитационное замедление времени; замедление времени в круговом движении

• Джон Павлин (2001). Космологическая физика. Издательство Кембриджского университета. п. 8. ISBN  0-521-42270-1.
• Сильвио Бонометто; Витторио Горини; Уго Москелла (2002). Современная космология. CRC Press. п. 12. ISBN  0-7503-0810-9.
• Патрик Корнилл (2003). Продвинутый электромагнетизм и физика вакуума. World Scientific. п. 180. ISBN  981-238-367-0.

внешняя ссылка

• Обзор Twin Paradox в Usenet FAQ по физике
• Парадокс близнецов: парадоксальна ли симметрия замедления времени? Из Einsteinlight: относительность в анимации и фильмах.
• FLASH-анимация: от Джона де Пиллиса. (Сцена 1): «Вид» с точки зрения двойника Земли. (Сцена 2): «Вид» с точки зрения путешествующего близнеца.
• Калькулятор науки о относительности - Парадокс двух часов