Метрика Рейсснера – Нордстрема - Reissner–Nordström metric

В физика и астрономия, то Метрика Рейсснера – Нордстрема это статическое решение к Уравнения поля Эйнштейна – Максвелла, что соответствует гравитационному полю заряженного, невращающегося сферически-симметричного тела массы M. Аналогичное решение для заряженного вращающегося тела дает Метрика Керра – Ньюмана.

Метрика была открыта между 1916 и 1921 гг. Ганс Рейсснер,^[1] Герман Вейль,^[2] Гуннар Нордстрём^[3] и Джордж Баркер Джеффри.^[4]

Метрика

В сферические координаты ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$, метрика Рейсснера – Нордстрема (также известная как линейный элемент ) является

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},}$

куда ${\displaystyle c}$ это скорость света, ${\displaystyle t}$ - координата времени (измеренная стационарными часами на бесконечности), ${\displaystyle r}$ - радиальная координата, ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ - сферические углы, а

${\displaystyle r_{s}}$ это Радиус Шварцшильда тела, данного

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

и ${\displaystyle r_{Q}}$ - характерный масштаб длины, определяемый

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.}$

Здесь ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ является Постоянная кулоновской силы ${\displaystyle K}$.

Полная масса центрального тела и его неприводимая масса связаны соотношением^[5][6]

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}K}{4GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}}$.

Разница между ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$ связано с эквивалентность массы и энергии, что делает энергия электрического поля также вносят свой вклад в общую массу.

В пределах того, что заряд ${\displaystyle Q}$ (или, что то же самое, масштаб длины ${\displaystyle r_{Q}}$) стремится к нулю, восстанавливается Метрика Шварцшильда. Тогда классическая ньютоновская теория гравитации может быть восстановлена ​​в пределе как отношение ${\displaystyle r_{s}/r}$ уходит в ноль. В пределах того, что оба ${\displaystyle r_{Q}/r}$ и ${\displaystyle r_{s}/r}$ перейти к нулю, метрика станет Метрика Минковского за специальная теория относительности.

На практике соотношение ${\displaystyle r_{s}/r}$ часто бывает очень маленьким. Например, радиус Шварцшильда земной шар примерно 9мм (3/8 дюйм ), тогда как спутник в геостационарная орбита имеет радиус ${\displaystyle r}$ это примерно в четыре миллиарда раз больше и составляет 42 164км (26,200 миль ). Даже на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну часть на миллиард. Отношение становится большим только ближе к черные дыры и другие сверхплотные объекты, такие как нейтронные звезды.

Заряженные черные дыры

Хотя заряженные черные дыры р_Q ≪ р_s похожи на Черная дыра Шварцшильда, у них есть два горизонта: горизонт событий и внутренний Горизонт Коши.^[7] Как и в случае с метрикой Шварцшильда, горизонты событий для пространства-времени расположены там, где метрическая составляющая грамм^rr расходится (не ${\displaystyle g_{rr}}$ расходящиеся, или что то же самое ${\displaystyle g^{rr}=0}$?); то есть где

${\displaystyle 0={\frac {1}{g^{rr}}}=1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}.}$

У этого уравнения есть два решения:

${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).}$

Эти концентрические горизонты событий становиться выродиться для 2р_Q = р_s, что соответствует экстремальная черная дыра. Черные дыры с 2р_Q > р_s не может существовать в природе, потому что, если заряд больше массы, не может быть физического горизонта событий (член под квадратным корнем становится отрицательным).^[8] Объекты с зарядом, превышающим их массу, могут существовать в природе, но они не могут коллапсировать до черной дыры, и если бы они могли, они бы отобразили голая особенность.^[9] Теории с суперсимметрия обычно гарантируют, что такие «сверхэкстремальные» черные дыры не могут существовать.

В электромагнитный потенциал является

${\displaystyle A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).}$

Если магнитные монополи включены в теорию, то обобщение, включающее магнитный заряд п получается заменой Q² к Q² + п² в метрике и включая термин пcos θdφ в электромагнитном потенциале.^{[требуется разъяснение ]}

Гравитационное замедление времени

В гравитационное замедление времени в окрестности центрального тела определяется выражением

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}}}$

которая связана с локальной радиальной скоростью убегания нейтральной частицы

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.}$

Символы Кристоффеля

В Символы Кристоффеля

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)}$

с индексами

${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}}$

дать отличные от нуля выражения

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{10}^{0}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(r(r-2M)+Q^{2})}}\\[6pt]\Gamma _{00}^{1}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r(r-2M)+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{11}^{1}&={\frac {Q^{2}-Mr}{Q^{2}r-2Mr^{2}+r^{3}}}\\[6pt]\Gamma _{22}^{1}&=2M-{\frac {Q^{2}}{r}}-r\\[6pt]\Gamma _{33}^{1}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r(r-2M)+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{21}^{2}&=r^{-1}\\[6pt]\Gamma _{33}^{2}&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{31}^{3}&=r^{-1}\\[6pt]\Gamma _{32}^{3}&=\cot \theta \end{aligned}}}$

Имея символы Кристоффеля, можно вычислить геодезические пробной частицы.^[10][11]

Уравнения движения

Из-за сферическая симметрия метрики, систему координат всегда можно выровнять таким образом, чтобы движение пробной частицы ограничивалось плоскостью, поэтому для краткости и без ограничения общности мы далее используем Ω вместо θ и φ. В безразмерных натуральных единицах грамм = M = c = K = 1 движение электрически заряженной частицы с зарядом q дан кем-то

${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}}$

который дает

${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {{\dot {r}}\ (q\ r\ Q+2(Q^{2}-r){\dot {t}})}{r((r-2)r+Q^{2})}}}$

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {((r-2)\ r+Q^{2})(q\ r\ Q\ {\dot {t}}+r^{4}{\dot {\Omega }}^{2}+(Q^{2}-r)\ {\dot {t}}^{2})}{r^{5}}}+{\frac {(r-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r\ ((r-2)\ r+Q^{2})}}}$

${\displaystyle {\ddot {\Omega }}=-{\frac {2\ {\dot {\Omega }}\ {\dot {r}}}{r}}}$

Общая замедление времени между пробной частицей и наблюдателем на бесконечности

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}}$

Первые производные ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ и контравариантный компоненты локальной 3-скоростной ${\displaystyle v^{i}}$ связаны

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}}.}$

что дает начальные условия

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r\ (r-2M)-Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}$

${\displaystyle {\dot {\Omega }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}$

В удельная орбитальная энергия

${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}+(r-2)r}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}}$

и удельный относительный угловой момент

${\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

пробной частицы - это сохраняющиеся количества движения. ${\displaystyle v_{\parallel }}$ и ${\displaystyle v_{\perp }}$ - радиальная и поперечная компоненты вектора локальной скорости. Следовательно, местная скорость

${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {E^{2}r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2r}{E^{2}r^{2}}}}.}$

Альтернативная формулировка метрики

В качестве альтернативы метрику можно выразить так:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&=1.\end{aligned}}}$

Заметь k это единичный вектор. Здесь M - постоянная масса объекта, Q - постоянный заряд объекта, а η это Тензор Минковского.

Смотрите также

• Электрон черной дыры

Примечания

1. Рейсснер, Х. (1916). "Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie". Annalen der Physik (на немецком). 50 (9): 106–120. Bibcode:1916AnP ... 355..106R. Дои:10.1002 / andp.19163550905.
2. Вейль, Х. (1917). "Zur Gravitationstheorie". Annalen der Physik (на немецком). 54 (18): 117–145. Bibcode:1917AnP ... 359..117Вт. Дои:10.1002 / andp.19173591804.
3. Нордстрем, Г. (1918). «Об энергии гравитационного поля в теории Эйнштейна». Verhandl. Koninkl. Нед. Акад. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Амстердам. 26: 1201–1208. Bibcode:1918КНАБ ... 20.1238Н.
4. Джеффри, Г. Б. (1921). «Поле электрона по теории гравитации Эйнштейна». Proc. Рой. Soc. Лондон. А. 99 (697): 123–134. Bibcode:1921RSPSA..99..123J. Дои:10.1098 / rspa.1921.0028.
5. Тибо Дамур: Черные дыры: энергетика и термодинамика, С. 11 и сл.
6. Ашгар Квадир: Отталкивание Рейсснера Нордстрема
7. Чандрасекхар, С. (1998). Математическая теория черных дыр (Перепечатано под ред.). Oxford University Press. п. 205. ISBN  0-19850370-9. Архивировано из оригинал 29 апреля 2013 г.. Получено 13 мая 2013. И, наконец, тот факт, что решение Рейсснера – Нордстрёма имеет два горизонта, внешний горизонт событий и внутренний «горизонт Коши», обеспечивает удобный мост к изучению решения Керра в последующих главах.
8. Эндрю Гамильтон: Геометрия Райсснера Нордстрема (Casa Colorado)
9. Картер, Брэндон. Глобальная структура керровского семейства гравитационных полей., Физический обзор, стр.174
10. Леонард Сасскинд: Теоретический минимум: геодезические и гравитационные, (Лекция 4 по общей теории относительности, отметка времени: 34 мин. 18 сек. )
11. Ева Хакманн, Хунсяо Сюй: Движение заряженной частицы в пространстве-времени Керра – Ньюмана.

Рекомендации

• Адлер, Р .; Базин, М .; Шиффер, М. (1965). Введение в общую теорию относительности. Нью-Йорк: Книжная компания Макгроу-Хилл. стр.395–401. ISBN  978-0-07-000420-7.
• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. С. 158, 312–324. ISBN  978-0-226-87032-8. Получено 27 апреля 2013.

внешняя ссылка

• диаграммы пространства-времени включая Диаграмма Финкельштейна и Диаграмма Пенроуза, Эндрю Дж. С. Гамильтон
• "Частица движется вокруг двух крайних черных дыр "Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram.