Элемент линии - Line element

Эта статья о линиях в математике. Для длинных вкраплений ядерных элементов в ДНК см. Ретротранспозон § ЛИНИИ.

В геометрия, то линейный элемент или же элемент длины можно неформально рассматривать как линейный сегмент, связанный с бесконечно малый вектор смещения в метрическое пространство. Длина линейного элемента, которую можно рассматривать как разность длина дуги, является функцией метрический тензор и обозначается ds

Линейные элементы используются в физика, особенно в теориях гравитация (особенно общая теория относительности ) куда пространство-время моделируется как изогнутый Псевдориманово многообразие с соответствующим метрический тензор.^[1]

Общая формулировка

Используемые обозначения см. Исчисление Риччи и Обозначения Эйнштейна.

Определение линейного элемента и длины дуги

В координировать -независимое определение квадрата линейного элемента ds в п-размерный Риманов или же Псевдориманово многообразие (в физике обычно Лоренцево многообразие ) - это «квадрат длины» бесконечно малого смещения ${\displaystyle d\mathbf {q} }$^[2] (в псевдоримановых многообразиях возможно отрицательное значение), квадратный корень которого следует использовать для вычисления длины кривой:

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )}$

куда грамм это метрический тензор, · обозначает внутренний продукт, и dq ан бесконечно малый смещение на (псевдо) римановом многообразии. Путем параметризации кривой ${\displaystyle q(\lambda )}$ параметризованный параметр ${\displaystyle \lambda }$, мы можем определить длина дуги длины кривой между ${\displaystyle q(\lambda _{1})}$, и ${\displaystyle q(\lambda _{2})}$ это интеграл:^[3]

${\displaystyle s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}}$

Чтобы вычислить разумную длину кривых в псевдоримановых многообразиях, лучше всего предположить, что бесконечно малые смещения везде имеют один и тот же знак. Например. в физике квадрат линейного элемента вдоль кривой временной шкалы будет (в ${\displaystyle -+++}$ соглашение о подписи) быть отрицательным, а отрицательный квадратный корень из квадрата линейного элемента вдоль кривой будет измерять собственное время, прошедшее для наблюдателя, движущегося по кривой. С этой точки зрения метрика также определяет в дополнение к линейному элементу поверхность и элементы объема и Т. Д.

Отождествление квадрата линейного элемента с метрическим тензором

С ${\displaystyle d\mathbf {q} }$ произвольный «квадрат длины дуги» ${\displaystyle ds^{2}}$ полностью определяет метрику, поэтому обычно лучше рассматривать выражение для ${\displaystyle ds^{2}}$ как определение самого метрического тензора, записанного в наводящей на размышления, но не тензорной записи:

${\displaystyle ds^{2}=g}$

Это определение квадрата длины дуги ${\displaystyle ds^{2}}$ с метрикой еще проще увидеть в п-размерный общий криволинейные координаты q = (q¹, q², q³, ..., q^п), где он записан в виде симметричного тензора ранга 2^[4][5] совпадающий с метрическим тензором:

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g}$.

Здесь индексы я и j принимать значения 1, 2, 3, ..., п и Соглашение о суммировании Эйнштейна используется. Общие примеры (псевдо) римановых пространств включают трехмерный Космос (без включения время координаты), и действительно четырехмерный пространство-время.

Линейные элементы в евклидовом пространстве

Основная статья: Евклидово пространство

Элемент линии вектора dр (зеленый) в 3D Евклидово пространство, где λ - параметр пространственной кривой (светло-зеленый).

Ниже приведены примеры того, как элементы линии находятся в метрике.

Декартовы координаты

Самый простой линейный элемент находится в Декартовы координаты - в этом случае метрика - это просто Дельта Кронекера:

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$

(здесь я, j = 1, 2, 3 для пробела) или в матрица форма (я обозначает строку, j обозначает столбец):

${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Общие криволинейные координаты сводятся к декартовым координатам:

${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$

так

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Ортогональные криволинейные координаты

Для всех ортогональные координаты метрика определяется как:^[6]

${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}}$

куда

${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$

за я = 1, 2, 3 являются масштабные коэффициенты, поэтому квадрат линейного элемента равен:

${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}}$

Ниже приведены некоторые примеры линейных элементов в этих координатах.^[7]

Система координат	(q^1, q^2, q^3)	Метрическая	Элемент линии
Декартово	(Икс, у, z)	${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$
Плоские поляры	(р, θ)	${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0\\0&r^{2}\\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}}$
Сферические поляры	(р, θ, φ)	${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ d\phi \ ^{2}}$
Цилиндрические поляры	(р, θ, z)	${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+dz^{2}}$

Общие криволинейные координаты

Учитывая произвольный базис пространства размерности ${\displaystyle n,\{{\hat {b}}_{i}\}}$, метрика определяется как внутреннее произведение базисных векторов.

${\displaystyle g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle }$

Где ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ а внутренний продукт относится к окружающему пространству (обычно это ${\displaystyle \delta _{ij}}$)

В координатной основе ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Координатный базис - это особый тип базиса, который регулярно используется в дифференциальной геометрии.

Линейные элементы в 4-м пространстве-времени

Минковское пространство-время

В Метрика Минковского является:^[8][9]

${\displaystyle [g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$

при выборе того или иного знака используются оба соглашения. Это относится только к плоское пространство-время. Координаты задаются 4 позиции:

${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow ,\,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )}$

поэтому элемент строки:

${\displaystyle ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).}$

Координаты Шварцшильда

В Координаты Шварцшильда координаты ${\displaystyle \left(t,r,\theta ,\phi \right)}$, являясь общей метрикой формы:

${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}$

(обратите внимание на аналогии с метрикой в ​​трехмерных сферических полярных координатах).

поэтому элемент строки:

${\displaystyle ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

Общее пространство-время

Координатно-независимое определение квадрата линейного элемента ds в пространство-время является:^[10]

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )}$

По координатам:

${\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$

где в этом случае индексы α и β пробегают 0, 1, 2, 3 для пространства-времени.

Это пространственно-временной интервал - мера разделения между двумя сколь угодно близкими События в пространство-время. В специальная теория относительности он инвариантен относительно Преобразования Лоренца. В общая теория относительности он инвариантен относительно произвольных обратимый дифференцируемый преобразования координат.

Смотрите также

• Ковариация и контравариантность векторов
• Первая фундаментальная форма
• Список тем по теории интеграции и меры
• Метрический тензор
• Исчисление Риччи
• Повышение и понижение показателей

Рекомендации

1. Гравитация, Дж. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
2. Тензорное исчисление, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), 1988, ISBN  0-07-033484-6
3. Векторный анализ (2-е издание), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN  978-0-07-161545-7
4. Векторный анализ (2-е издание), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN  978-0-07-161545-7
5. Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников, J.R. Tyldesley, Longman, 1975, ISBN  0-582-44355-5
6. Векторный анализ (2-е издание), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN  978-0-07-161545-7
7. Тензорное исчисление, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), 1988, ISBN  0-07-033484-6
8. Демистифицированная теория относительности, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006 г., ISBN  0-07-145545-0
9. Гравитация, Дж. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
10. Гравитация, Дж. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0