Соотношение энергия – импульс - Energy–momentum relation

В физика, то соотношение энергия-импульс, или же релятивистское дисперсионное соотношение, это релятивистский уравнение в отношении всего энергия (который также называется релятивистская энергия) к инвариантная масса (которую также называют массой покоя) и импульс. Это продолжение эквивалентность массы и энергии для тел или систем с ненулевым импульсом. Его можно записать в виде следующего уравнения:

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,}$

(1)

Это уравнение справедливо для тело или же система, например, один или несколько частицы, с полной энергией E, инвариантная масса м₀, и импульс величина п; постоянная c это скорость света. Предполагается, что специальная теория относительности в случае если плоское пространство-время.^[1][2][3] Полная энергия - это сумма энергия отдыха и кинетическая энергия, а инвариантная масса - это масса, измеренная в система координат центра импульса.

Для тел или систем с нулевым импульсом он упрощается до уравнения массы-энергии ${\displaystyle E=m_{0}c^{2}}$, где полная энергия в данном случае равна энергии покоя (также записывается как E₀).

В Море Дирака модель, которая использовалась для предсказания существования антивещество, тесно связано с соотношением энергия – импульс.

Подключение к E = MC²

Соотношение энергия – импульс согласуется с известным соотношение масса – энергия в обеих его интерпретациях: E = MC² связывает полную энергию E к (всего) релятивистская масса м (альтернативно обозначается м_rel или же м_малыш ), пока E₀ = м₀c² относится энергия отдыха E₀ к (инвариантной) массе покоя м₀.

В отличие от любого из этих уравнений, уравнение энергии-импульса (1) связывает общий энергия для отдых масса м₀. Все три уравнения выполняются одновременно.

Особые случаи

1. Если тело безмассовая частица (м₀ = 0), тогда (1) сводится к E = ПК. За фотоны, это соотношение, открытое в 19 веке. классический электромагнетизм, между лучистым импульсом (вызывающим радиационное давление ) и энергия излучения.
2. Если скорость тела v намного меньше чем c, тогда (1) сводится к E = 1/2м₀v² + м₀c²; то есть полная энергия тела - это просто его классическая кинетическая энергия (1/2м₀v²) плюс ее энергия покоя.
3. Если тело в состоянии покоя (v = 0), т.е. в своем система координат центра импульса (п = 0), у нас есть E = E₀ и м = м₀; таким образом, соотношение энергия-импульс и обе формы отношения массы-энергии (упомянутые выше) становятся одинаковыми.

Более того общая форма отношения (1) выполняется для общая теория относительности.

В инвариантная масса (или масса покоя) инвариант для всех системы отсчета (отсюда и название), а не только в инерциальные системы в плоском пространстве-времени, но также ускоренные кадры путешествие в искривленном пространстве-времени (см. ниже). Однако полная энергия частицы E и его релятивистский импульс п зависят от кадра; относительное движение между двумя кадрами заставляет наблюдателей в этих кадрах измерять разные значения энергии и импульса частицы; один кадр измеряет E и п, а другая рамка измеряет E′ и п′, куда E′ ≠ E и п′ ≠ п, если между наблюдателями нет относительного движения, и в этом случае каждый наблюдатель измеряет одинаковую энергию и импульсы. Хотя у нас все еще есть в плоском пространстве-времени:

${\displaystyle {E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

Количество E, п, E′, п′ все связаны Преобразование Лоренца. Соотношение позволяет обойти преобразования Лоренца при определении только величины энергии и импульсов, приравнивая отношения в разных системах отсчета. Опять же в плоском пространстве-времени это переводится как;

${\displaystyle {E}^{2}-\left(pc\right)^{2}={E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

С м₀ не меняется от кадра к кадру, соотношение энергия-импульс используется в релятивистская механика и физика элементарных частиц вычислений, поскольку энергия и импульс даны в системе покоя частицы (т. е. E′ и п′ наблюдатель, движущийся с частицей, должен был бы сделать вывод) и измеренный в лабораторная рама (т.е. E и п как определено физиками частиц в лаборатории и не движется вместе с частицами).

В релятивистская квантовая механика, это основа для построения релятивистские волновые уравнения, поскольку если релятивистское волновое уравнение, описывающее частицу, согласуется с этим уравнением - оно согласуется с релятивистской механикой и имеет вид Инвариант Лоренца. В релятивистская квантовая теория поля, он применим ко всем частицам и полям.^[4]

Происхождение и вывод уравнения

Соотношение энергия – импульс впервые было установлено Поль Дирак в 1928 г. по форме ${\displaystyle E={\sqrt {c^{2}p^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}}}+V}$, где V - количество потенциальной энергии. ^[5]

Уравнение может быть получено несколькими способами, два из самых простых включают:

1. Из релятивистской динамики массивной частицы
2. Оценивая норму четырехимпульсный системы. Этот метод применим как к массивным, так и к безмассовым частицам, и его можно распространить на многочастичные системы с относительно небольшими усилиями (см. § Системы многих частиц ниже).

Эвристический подход для массивных частиц

Для массивного объекта, движущегося с трехскоростной ты = (ты_Икс, ты_у, ты_z) с величиной |ты| = ты в лабораторная рама:^[1]

${\displaystyle E=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}c^{2}}$

- полная энергия движущегося объекта в лабораторном кадре,

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}\mathbf {u} }$

это трехмерный релятивистский импульс объекта в кадре лаборатории с величиной |п| = п. Релятивистская энергия E и импульс п включить Фактор Лоренца определяется:

${\displaystyle \gamma _{(\mathbf {u} )}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}}$

Некоторые авторы используют релятивистская масса определяется:

${\displaystyle m=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}}$

хотя масса покоя м₀ имеет более фундаментальное значение и будет использоваться в первую очередь над релятивистской массой м в этой статье.

Возведение в квадрат 3-импульса дает:

${\displaystyle p^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} ={\frac {m_{0}^{2}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}={\frac {m_{0}^{2}u^{2}}{1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}$

затем решение для ты² и подстановка в фактор Лоренца дает его альтернативную форму в терминах 3-импульса и массы, а не 3-скорости:

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

Подставляя эту форму фактора Лоренца в уравнение энергии:

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

с последующим увеличением выходов перегруппировки (1). Исключение фактора Лоренца также устраняет неявную зависимость частицы от скорости в (1), а также любые выводы о «релятивистской массе» массивной частицы. Этот подход не является общим, поскольку безмассовые частицы не рассматриваются. Наивно постановка м₀ = 0 будет означать, что E = 0 и п = 0 и никакое соотношение энергия-импульс не может быть получено, что неверно.

Норма четырех импульсов

Энергия и импульс объекта измеряются двумя инерциальные системы отсчета в пространстве энергии-импульса - желтая рамка измеряет E и п в то время как синяя рамка измеряет E ′ и п'. Зеленая стрелка - это четырехмерный импульс. п объекта, длина которого пропорциональна его массе покоя м₀. Зеленая рамка - это система координат центра импульса для объекта с энергией, равной энергии покоя. Гиперболы показывают Преобразование Лоренца от одного кадра к другому идет гиперболическое вращение, и ϕ и ϕ + η являются быстроты синей и зеленой рамок соответственно.

Специальная теория относительности

Основная статья: Специальная теория относительности

В Пространство Минковского, энергия (деленная на c) и импульс - две компоненты Минковского четырехвекторный, а именно четырехимпульсный;^[6]

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,,}$

(эти контравариантный составные части).

В Внутренний продукт Минковского ⟨ , ⟩ этого вектора с самим собой дает квадрат норма этого вектора, это пропорциональный к квадрату массы покоя м тела:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

а Лоренц инвариантный количество и, следовательно, не зависит от точка зрения. С использованием Метрика Минковского η с метрическая подпись (− + + +), внутренний продукт

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=-\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

и

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =P^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }P^{\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}&p_{x}&p_{y}&p_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}\,,}$

так

${\displaystyle -\left(m_{0}c\right)^{2}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}.}$

Общая теория относительности

В общая теория относительности, 4-импульс - это четырехмерный вектор, определенный в локальной системе координат, хотя по определению внутренний продукт аналогичен таковому в специальной теории относительности,

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

в котором метрика Минковского η заменяется метрика тензорное поле грамм:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }\,,}$

решено из Уравнения поля Эйнштейна. Потом:^[7]

${\displaystyle P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.}$

Выполнение суммирования по индексам с последующим сбором терминов «временного», «пространственно-временного» и «пространственно-подобного» дает:

${\displaystyle \underbrace {g_{00}{\left(P^{0}\right)}^{2}} _{\text{time-like}}+2\underbrace {g_{0i}P^{0}P^{i}} _{\text{spacetime-like}}+\underbrace {g_{ij}P^{i}P^{j}} _{\text{space-like}}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.}$

где множитель 2 возникает из-за того, что метрика симметричный тензор, и соглашение латинских индексов я, j взятие пробелоподобных значений 1, 2, 3 используется. Поскольку каждый компонент метрики в целом имеет пространственную и временную зависимость; это значительно сложнее, чем формула, приведенная в начале, см. метрический тензор (общая теория относительности) для дополнительной информации.

Единицы энергии, массы и количества движения

В натуральные единицы куда c = 1, уравнение энергии-импульса сводится к

${\displaystyle E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\,.}$

В физика элементарных частиц, энергия обычно выражается в единицах электрон-вольт (эВ), импульс в эВ ·c⁻¹, а масса в эВ ·c⁻². В электромагнетизм, а из-за релятивистской инвариантности полезно иметь электрическое поле E и магнитное поле B в том же блоке (Гаусс ), с использованием cgs (гауссова) система единиц, где энергия дана в единицах эрг, масса в граммы (г), а импульс в г · см · с⁻¹.

Теоретически энергия может быть выражена в граммах, хотя на практике требуется большое количество энергии, чтобы соответствовать массам в этом диапазоне. Например, первый Атомная бомба высвободил около 1 грамма высокая температура, и самый большой термоядерные бомбы создали килограмм или больше тепла. Энергии термоядерных бомб обычно выражаются в десятках килотонны и мегатонны, относящиеся к энергии, высвобождаемой при взрыве этого количества тринитротолуол (ТНТ).

Особые случаи

Система отсчета центра импульса (одна частица)

Смотрите также: Рамка центра импульса

Для тела в системе покоя импульс равен нулю, поэтому уравнение упрощается до

${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2}\,,}$

куда м₀ - масса покоя тела.

Безмассовые частицы

Если объект безмассовый, как в случае фотон, то уравнение сводится к

${\displaystyle E=pc\,.}$

Это полезное упрощение. Его можно переписать другими способами, используя отношения де Бройля:

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}=\hbar ck\,.}$

если длина волны λ или же волновое число k даны.

Принцип соответствия

Перепишем соотношение для массивных частиц как:

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,,}$

и расширяясь в степенной ряд посредством биномиальная теорема (или Серия Тейлор ):

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{4}+\cdots \right]\,,}$

в пределе, что ты ≪ c, у нас есть γ(ты) ≈ 1 поэтому импульс имеет классический вид п ≈ м₀ты, затем в первую очередь в (п/м₀c)²
(т.е. сохранить термин (п/м₀c)^2п
за п = 1 и пренебречь всеми условиями для п ≥ 2) у нас есть

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{0}u}{m_{0}c}}\right)^{2}\right]\,,}$

или же

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}u^{2}\,,}$

где второй член - классический кинетическая энергия, а первая - это масса покоя частицы. Это приближение неприменимо для безмассовых частиц, поскольку для расширения требовалось деление количества движения на массу. Кстати, в классической механике нет безмассовых частиц.

Системы многих частиц

Смотрите также: Проблема многих тел

Добавление четырех импульсов

В случае многих частиц с релятивистскими импульсами п_п и энергия E_п, куда п = 1, 2, ... (вплоть до общего числа частиц) просто маркирует частицы, измеренные в определенной системе отсчета, можно добавить четыре импульса в этой системе координат;

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {P} _{n}=\sum _{n}\left({\frac {E_{n}}{c}},\mathbf {p} _{n}\right)=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}},\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\,,}$

а потом берем норму; чтобы получить соотношение для системы многих частиц:

${\displaystyle \left|\left(\sum _{n}\mathbf {P} _{n}\right)\right|^{2}=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}}\right)^{2}-\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c\right)^{2}\,,}$

куда M₀ является инвариантной массой всей системы и не равна сумме масс покоя частиц, если все частицы не находятся в состоянии покоя (см. масса в специальной теории относительности для более подробной информации). Подстановка и перестановка дают обобщение (1);

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}}$

(2)

Все энергии и импульсы в уравнении зависят от системы отсчета, а M₀ не зависит от кадра.

Рамка центра импульса

в система координат центра импульса (COM-кадр), по определению мы имеем:

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {p} _{n}={\boldsymbol {0}}\,,}$

со следствием из (2), что инвариантная масса также является центром импульса (ЦМ) масса-энергия, помимо c² фактор:

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\Rightarrow \sum _{n}E_{\mathrm {COM} \,n}=E_{\mathrm {COM} }=M_{0}c^{2}\,,}$

и это верно для все кадры с M₀ не зависит от кадра. Энергии E_{COM п} находятся в кадре COM, нет рама лаборатории.

Массы покоя и инвариантная масса

Либо энергии, либо импульсы частиц, измеренные в некоторой системе отсчета, могут быть исключены с помощью соотношения энергии и импульса для каждой частицы:

${\displaystyle E_{n}^{2}-\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}=\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}\,,}$

позволяя M₀ выражаться через энергии и массы покоя или импульсы и массы покоя. В конкретном фрейме квадраты сумм можно переписать как суммы квадратов (и произведений):

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}E_{n}\right)\left(\sum _{k}E_{k}\right)=\sum _{n,k}E_{n}E_{k}=2\sum _{n<k}E_{n}E_{k}+\sum _{n}E_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle \left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\cdot \left(\sum _{k}\mathbf {p} _{k}\right)=\sum _{n,k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=2\sum _{n<k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}+\sum _{n}\mathbf {p} _{n}^{2}\,,}$

так что подставляя суммы, мы можем ввести их остаточные массы м_п в (2):

${\displaystyle \sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

Энергии могут быть устранены:

${\displaystyle E_{n}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad E_{k}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{k}c\right)^{2}+\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}$

аналогичным образом импульсы могут быть устранены:

${\displaystyle \mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=\left|\mathbf {p} _{n}\right|\left|\mathbf {p} _{k}\right|\cos \theta _{nk}\,,\quad |\mathbf {p} _{n}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{n}^{2}-\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad |\mathbf {p} _{k}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{k}^{2}-\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}$

куда θ_нк угол между векторами импульса п_п и п_k.

Перестановка:

${\displaystyle \left(M_{0}c^{2}\right)^{2}-\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)\,.}$

Поскольку инвариантная масса системы и массы покоя каждой частицы не зависят от системы отсчета, правая часть также является инвариантом (хотя энергии и импульсы все измеряются в определенной системе отсчета).

Волны материи

С использованием отношения де Бройля для энергии и импульса для волны материи,

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

куда ω это угловая частота и k это волновой вектор с величиной |k| = k, равный волновое число, соотношение энергия – импульс можно выразить через волновые величины:

${\displaystyle \left(\hbar \omega \right)^{2}=\left(c\hbar k\right)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,,}$

и прибраться, разделив на (ħc)² на протяжении:

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=k^{2}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,.}$

(3)

Это также может быть выведено из величины четырехволновой вектор

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,,}$

аналогично четырем импульсам выше.

Поскольку приведенная постоянная Планка час и скорость света c оба появляются и загромождают это уравнение, вот где натуральные единицы особенно полезны. Нормализуя их так, чтобы час = c = 1, у нас есть:

${\displaystyle \omega ^{2}=k^{2}+m_{0}^{2}\,.}$

Тахион и экзотическая материя

Основные статьи: Тахион и Экзотическая материя

Скорость Bradyon с релятивистским соотношением энергия – импульс

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

никогда не может превышать c. Напротив, всегда больше, чем c для тахион уравнение энергии-импульса которого имеет вид^[8]

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}-m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

Напротив, гипотетический экзотика имеет отрицательная масса^[9] а уравнение энергии-импульса имеет вид

${\displaystyle E^{2}=-p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

Смотрите также

• Эквивалентность массы и энергии
• Четыре импульса
• Масса в специальной теории относительности

Рекомендации

1. Клеппнер, Даниэль; Роберт Дж. Коленков (2010) [1973]. Введение в механику. Издательство Кембриджского университета. стр.499 –500. ISBN  978-0-521-19821-9.
2. Дж. Р. Форшоу; А.Г.Смит (2009). Динамика и относительность. Вайли. стр.149, 249. ISBN  978-0-470-01460-8.
3. Д. МакМахон (2006). Относительность. Демистифицированный. Мак Гроу Хилл (США). п.20. ISBN  0-07-145545-0.
4. Д. МакМахон (2008). Квантовая теория поля. Демистифицированный. Мак Гроу Хилл (США). стр.11, 88. ISBN  978-0-07-154382-8.
5. Айсберг Р., Резник Р. (1985) Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц. 2-е издание, John Wiley & Sons. Нью-Йорк. стр.132.ISBN  0-471-87373-X
6. Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность. Вайли. стр.258 –259. ISBN  978-0-470-01460-8.
7. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр.201, 649, 1188. ISBN  0-7167-0344-0.
8. Г. Файнберг (1967). «Возможность частиц быстрее света». Физический обзор. 159 (5): 1089–1105. Bibcode:1967ПхРв..159.1089Ф. Дои:10.1103 / PhysRev.159.1089.
9. З.Я. Ван (2016). «Современная теория электромагнитных метаматериалов». Плазмоника. 11 (2): 503–508. Дои:10.1007 / s11468-015-0071-7. S2CID  122346519.

• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаум. Макгроу-Хилл. С. 704–705. ISBN  978-0-07-025734-4.
• Дж. Воан (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам. Издательство Кембриджского университета. п.65. ISBN  978-0-521-57507-2.
• К. Б. Паркер (1994). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Макгроу-Хилл. стр.1192, 1193. ISBN  0-07-051400-3.
• R.G. Лернер; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели VHC. п.1052. ISBN  0-89573-752-3.