Вектор Пойнтинга - Poynting vector

Дипольное излучение диполя по вертикали на странице, показывающего напряженность электрического поля (цвет) и вектор Пойнтинга (стрелки) в плоскости страницы.

В физика, то Вектор Пойнтинга представляет собой направленный поток энергии (передача энергии на единицу площади в единицу времени) электромагнитное поле. В SI единицей вектора Пойнтинга является ватт на квадратный метр (Вт / м²). Он назван в честь его первооткрывателя. Джон Генри Пойнтинг который первым вывел его в 1884 году.^[1]:132 Оливер Хевисайд также независимо открыл его в более общей форме, которая признает свободу добавления ротора произвольного векторного поля к определению.^[2]

Определение

В оригинальной статье Пойнтинга и во многих учебниках вектор Пойнтинга определяется как^[3][4][5]

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$

где жирные буквы обозначают векторов и

• E это электрическое поле вектор;
• ЧАС это магнитное поле вектор вспомогательного поля.

Это выражение часто называют Форма Авраама.^[6] Вектор Пойнтинга обычно обозначается как S или N.

В «микроскопической» версии уравнений Максвелла это определение необходимо заменить на определение с точки зрения электрического поля E и магнитное поле B (описано далее в статье).

Также возможно комбинировать электрическое поле смещения D с магнитным полем B чтобы получить Форма Минковского вектора Пойнтинга, или используйте D и ЧАС построить еще одну версию. Выбор был спорным: Pfeifer et al.^[7] подытожить и до некоторой степени разрешить многовековой спор между сторонниками форм Авраама и Минковского (см. Противоречие между Авраамом и Минковским ).

Вектор Пойнтинга представляет собой частный случай вектора потока энергии для электромагнитной энергии. Однако любой тип энергии имеет свое направление движения в пространстве, а также свою плотность, поэтому векторы потока энергии могут быть определены и для других типов энергии, например, для механическая энергия. Вектор Умова – Пойнтинга.^[8] обнаружен Николай Умов в 1874 г. описывает потоки энергии в жидких и упругих средах в полностью обобщенном виде.

Интерпретация

Цепь постоянного тока, состоящая из аккумулятор (V) и резистор (р), показывающий направление вектора Пойнтинга (S, синие стрелки) в окружающем его пространстве вместе с полями, из которых он образован; то электрическое поле (E, красные стрелки) и магнитное поле (ЧАС, зеленые стрелки). В области вокруг батареи вектор Пойнтинга направлен наружу, указывая на то, что мощность, вытекающая из батареи в поля; в области вокруг резистора вектор направлен внутрь, указывая на мощность поля, протекающую в резистор. На любом самолете п Между батареей и резистором поток Пойнтинга направлен в сторону резистора. Величины (длины) векторов не показаны точно; только направления имеют значение.

Вектор Пойнтинга появляется в Теорема Пойнтинга (вывод см. в этой статье), закон сохранения энергии:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$

где J_ж это плотность тока из бесплатные расходы и ты - плотность электромагнитной энергии для линейных, недисперсный материалы, предоставленные

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$

где

• E - электрическое поле;
• D - поле электрического смещения;
• B - магнитное поле;
• ЧАС - вспомогательное магнитное поле.^{[9]:258–260}

Первый член в правой части представляет собой поток электромагнитной энергии в небольшой объем, а второй член вычитает работу, совершаемую полем над свободными электрическими токами, которые, таким образом, выходят из электромагнитной энергии как рассеяние, тепло и т. д. В этом определении связанные электрические токи не включены в этот термин, а вместо этого способствуют S и ты.

Для линейного, недисперсный и изотропных (для простоты) материалов учредительные отношения можно записать как

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,}$

где

• ε это диэлектрическая проницаемость материала;
• μ это проницаемость материала.^{[9]:258–260}

Вот ε и μ являются скалярными константами с действительным знаком, не зависящими от положения, направления и частоты.

В принципе, это ограничивает теорему Пойнтинга в такой форме полями в вакууме и недисперсными линейными материалами. Обобщение на дисперсные материалы возможно при определенных обстоятельствах за счет дополнительных условий.^{[9]:262–264}

Формулировка в терминах микроскопических полей

«Микроскопическая» (дифференциальная) версия уравнений Максвелла допускает только фундаментальные поля E и B, без встроенной модели материального носителя. Используются только диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость вакуума, и нет D или ЧАС. При использовании этой модели вектор Пойнтинга определяется как

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$

где

• μ₀ это вакуумная проницаемость;
• E - вектор электрического поля;
• B - вектор магнитного поля.

На самом деле это общее выражение вектора Пойнтинга.^[10] Соответствующая форма Теорема Пойнтинга является

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$

где J это Всего плотность тока и плотность энергии ты дан кем-то

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)\!,}$

где ε₀ это диэлектрическая проницаемость вакуума, а обозначение E² понимается как скалярное произведение действительного вектора E(t) с собой, поэтому квадрат из векторная норма ||E||. Его можно получить непосредственно из Уравнения Максвелла в терминах Всего заряд и ток и Сила Лоренца только закон.

Два альтернативных определения Пойнтинга вектор равны в вакууме или в немагнитных материалах, где B = μ₀ЧАС. Во всех остальных случаях они отличаются тем, что S = (1/μ₀) E × B и соответствующие ты являются чисто излучательными, так как диссипативный член −J ⋅ E покрывает полный ток, а E × ЧАС определение имеет вклады от связанных токов, которые затем исключаются из члена диссипации.^[11]

Поскольку только микроскопические поля E и B возникают при выводе S = (1/μ₀) E × B и плотности энергии, предположения о любом присутствующем материале избегаются. Вектор Пойнтинга, теорема и выражение для плотности энергии универсально применимы для вакуума и любых материалов.^[11]

Усредненный по времени вектор Пойнтинга

Силовые линии усредненного по времени вектора Пойнтинга электрического диполя вблизи зеркала создают сложные картины.

Приведенная выше форма для вектора Пойнтинга представляет собой мгновенный поток мощности из-за мгновенный электрические и магнитные поля. Чаще всего проблемы в электромагнетизме решаются в терминах синусоидально варьируя поля с указанной частотой. Затем результаты могут быть применены в более общем плане, например, путем представления некогерентного излучения как суперпозиции таких волн на разных частотах и ​​с флуктуирующими амплитудами.

Таким образом, мы не будем рассматривать мгновенное E(т) и ЧАС(т), использованный выше, а скорее комплексная (векторная) амплитуда для каждого, которая описывает фазу когерентной волны (а также амплитуду) с использованием фазор обозначение. Эти комплексные амплитудные векторы равны не функции времени, как они понимаются как относящиеся к колебаниям во все времена. Вектор, такой как ${\displaystyle \mathbf {E_{\mathrm {m} }} }$ означает синусоидально изменяющееся поле, мгновенная амплитуда которого E(т) следует за действительной частью ${\displaystyle \mathbf {E_{\mathrm {m} }} e^{j\omega t}}$ где ω - частота (радиан) рассматриваемой синусоидальной волны.

Во временной области будет видно, что мгновенный поток мощности будет колебаться с частотой 2ω. Но обычно интересны средний поток мощности, в котором эти колебания не учитываются. В приведенной ниже математике это достигается путем интегрирования в течение полного цикла ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$. Следующая величина, до сих пор называемая «вектором Пойнтинга», выражается непосредственно через векторы как:

${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$

где ^∗ обозначает комплексное сопряжение. Усредненный по времени поток мощности (например, в соответствии с мгновенным вектором Пойнтинга, усредненным за полный цикл) затем задается реальная часть из ${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }}$. Мнимая часть обычно игнорируется, однако она означает «реактивную мощность», такую ​​как помехи из-за стоячая волна или ближнее поле антенны. В одном электромагнитном плоская волна (а не стоячая волна, которую можно описать как две такие волны, бегущие в противоположных направлениях), E и ЧАС точно совпадают по фазе, поэтому ${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }}$ является просто действительным числом согласно приведенному выше определению.

Эквивалентность ${\displaystyle \operatorname {Re} (\mathbf {S} _{\mathrm {m} })}$ к среднему времени мгновенный Вектор Пойнтинга S можно показать следующим образом.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$

Среднее значение мгновенного вектора Пойнтинга S с течением времени определяется:

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$

Второй член - это двухчастотная составляющая, имеющая среднее значение, равное нулю, поэтому мы находим:

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\operatorname {Re} \!\left({\tfrac {1}{2}}{\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$

Согласно некоторым соглашениям коэффициент 1/2 в приведенном выше определении может быть опущен. Умножение на 1/2 требуется для правильного описания потока мощности, поскольку величины ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {m} }}$ и ${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {m} }}$ обратитесь к пик поля осциллирующих величин. Если точнее, поля описаны с точки зрения их среднеквадратическое значение (rms) значения (каждое из которых меньше в раз ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$), то правильный средний поток мощности получается без умножения на 1/2.

Примеры и приложения

Коаксиальный кабель

Вектор Пойнтинга в коаксиальном кабеле, показан красным.

Например, вектор Пойнтинга внутри диэлектрик изолятор из коаксиальный кабель почти параллельна оси провода (при условии отсутствия полей вне кабеля и длины волны больше диаметра кабеля, включая постоянный ток). Электрическая энергия, подаваемая на нагрузку, полностью проходит через диэлектрик между проводники. В самих проводниках протекает очень мало энергии, поскольку напряженность электрического поля почти равна нулю. Энергия, протекающая в проводниках, течет в проводники радиально и учитывает потерю энергии на резистивный нагрев проводника. За пределами кабеля энергия также не течет, так как там магнитные поля внутренних и внешних проводников сводятся к нулю.

Резистивное рассеивание

Если проводник имеет значительное сопротивление, то вблизи поверхности этого проводника вектор Пойнтинга будет наклонен к проводнику и столкнется с ним. Как только вектор Пойнтинга входит в проводник, он изгибается в направлении, почти перпендикулярном поверхности.^[12]:61 Это следствие Закон Снеллиуса и очень малая скорость света внутри проводника. Можно дать определение и вычисление скорости света в проводнике.^[13]:402 Внутри проводника вектор Пойнтинга представляет поток энергии от электромагнитное поле в провод, создавая резистивный Джоулевое нагревание в проводе. Для вывода, который начинается с закона Снеллиуса, см. Reitz стр. 454.^[14]:454

Плоские волны

В размножающемся синусоидальный линейно поляризованный электромагнитный плоская волна с фиксированной частотой вектор Пойнтинга всегда указывает в направлении распространения, колеблясь по величине. Усредненная по времени величина вектора Пойнтинга находится, как указано выше:

${\displaystyle \langle S\rangle ={\frac {1}{2\eta }}|E_{\mathrm {m} }|^{2}}$

где E_м - комплексная амплитуда электрического поля, а η - характеристический импеданс передающей среды, или просто η₀ ${\displaystyle \approx }$ 377 Ом для плоской волны в свободном пространстве. Это непосредственно следует из приведенного выше выражения для среднего вектора Пойнтинга с использованием векторных величин и того факта, что в плоской волне магнитное поле ${\displaystyle H_{\mathrm {m} }}$ равно электрическому полю ${\displaystyle E_{\mathrm {m} }}$ делится на η (а значит, точно по фазе).

В оптике усредненное по времени значение излучаемого потока технически известно как сияние, чаще называемый просто интенсивность.

Радиационное давление

Основная статья: Радиационное давление

Плотность импульса электромагнитного поля равна S/ c² где S - величина вектора Пойнтинга, c - скорость света в свободном пространстве. В радиационное давление воздействие электромагнитной волны на поверхность цели определяется выражением

${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$

Статические поля

Вектор Пойнтинга в статическом поле, где E электрическое поле, ЧАС магнитное поле, и S вектор Пойнтинга.

Рассмотрение вектора Пойнтинга в статических полях показывает релятивистский характер уравнений Максвелла и позволяет лучше понять магнитную составляющую Сила Лоренца, q(v × B). Для иллюстрации рассмотрим сопроводительную картинку, которая описывает вектор Пойнтинга в цилиндрическом конденсаторе, который расположен в ЧАС поле (указывающее на страницу), создаваемое постоянным магнитом. Хотя существуют только статические электрические и магнитные поля, вычисление вектора Пойнтинга создает круговой поток электромагнитной энергии по часовой стрелке без начала и конца.

Хотя циркулирующий поток энергии может показаться бессмысленным или парадоксальным, его необходимо поддерживать. сохранение импульса. Плотность импульса пропорциональна плотности потока энергии, поэтому циркулирующий поток энергии содержит угловатый импульс.^[15] Это причина магнитной составляющей силы Лоренца, которая возникает при разряде конденсатора. Во время разряда угловой момент, содержащийся в потоке энергии, истощается, поскольку он передается зарядам разрядного тока, пересекающим магнитное поле.

Добавление завитка векторного поля

Вектор Пойнтинга встречается в теореме Пойнтинга только через его расхождение ∇ ⋅ S, то есть требуется только, чтобы поверхностный интеграл вектора Пойнтинга вокруг замкнутой поверхности описывают чистый поток электромагнитной энергии в замкнутый объем или из него. Это означает, что добавление соленоидальное векторное поле (один с нулевой дивергенцией) до S приведет к другому полю, которое удовлетворяет этому требуемому свойству векторного поля Пойнтинга согласно теореме Пойнтинга. Поскольку расходимость любого ротора равна нулю, можно добавить завиток любого векторного поля в вектор Пойнтинга и результирующее векторное поле S ' по-прежнему удовлетворяет теореме Пойнтинга.^{[9]:258–260}

Однако теория специальная теория относительности, в котором энергия и импульс определяются локально и инвариантно через тензор энергии-импульса, показывает, что данное выражение для вектора Пойнтинга уникально.^{[9]:258–260,605–612}

использованная литература

1. Страттон, Джулиус Адамс (1941). Электромагнитная теория (1-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-470-13153-4.
2. Нахин, Пол Дж. (2002). Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена гения-электрика викторианской эпохи. п. 131. ISBN  9780801869099.
3. Пойнтинг, Джон Генри (1884). «О передаче энергии в электромагнитном поле». Философские труды Лондонского королевского общества. 175: 343–361. Дои:10.1098 / рстл.1884.0016.
4. Грант, Ян С .; Филлипс, Уильям Р. (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-92712-9.
5. Гриффитс, Дэвид Дж. (2012). Введение в электродинамику (3-е изд.). Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-321-85656-2.
6. Кинслер, Пол; Фаваро, Альберто; Макколл, Мартин В. (2009). «Четыре теоремы Пойнтинга». Европейский журнал физики. 30 (5): 983. arXiv:0908.1721. Bibcode:2009EJPh ... 30..983K. Дои:10.1088/0143-0807/30/5/007.
7. Pfeifer, Robert N.C .; Nieminen, Timo A .; Heckenberg, Norman R .; Рубинштейн-Данлоп, Галина (2007). «Импульс электромагнитной волны в диэлектрических средах». Обзоры современной физики. 79 (4): 1197. arXiv:0710.0461. Bibcode:2007RvMP ... 79.1197P. Дои:10.1103 / RevModPhys.79.1197.
8. Умов Николай Алексеевич (1874). "Теорема Ein über die Wechselwirkungen in Endlichen Entfernungen". Zeitschrift für Mathematik und Physik. 19: 97–114.
9. Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-30932-1.
10. Зангвилл, Эндрю (2013). Современная электродинамика. Издательство Кембриджского университета. п. 508. ISBN  9780521896979.
11. Рихтер, Феликс; Флориан, Матиас; Хеннебергер, Клаус (2008). «Теорема Пойнтинга и сохранение энергии при распространении света в ограниченных средах». EPL. 81 (6): 67005. arXiv:0710.0515. Bibcode:2008EL ..... 8167005R. Дои:10.1209/0295-5075/81/67005.
12. Харрингтон, Роджер Ф. (2001). Гармонические по времени электромагнитные поля (2-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-471-20806-8.
13. Хейт, Уильям (2011). Инженерная электромагнетизм (4-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-338066-7.
14. Reitz, John R .; Милфорд, Фредерик Дж .; Кристи, Роберт В. (2008). Основы электромагнитной теории (4-е изд.). Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-321-58174-7.
15. Фейнман, Ричард Филлипс (2011). Лекции Фейнмана по физике. Vol. II: В основном электромагнетизм и материя (изд. Новое тысячелетие). Нью-Йорк: Основные книги. ISBN  978-0-465-02494-0.

дальнейшее чтение

• Беккер, Ричард (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия (1-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-64290-1.
• Эдминистер, Джозеф; Нахви, Махмуд (2013). Электромагнетизм (4-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-183149-9.