Закон Гаусса для магнетизма - Gausss law for magnetism

В физика, Закон Гаусса для магнетизма один из четырех Уравнения Максвелла это лежит в основе классическая электродинамика. В нем говорится, что магнитное поле $B$ имеет расхождение равно нулю,^[1] другими словами, это соленоидальное векторное поле. Это эквивалентно утверждению, что магнитные монополи не существует.^[2] Вместо «магнитных зарядов» основной сущностью магнетизма является магнитный диполь. (Если бы монополи когда-либо были обнаружены, закон пришлось бы изменить, как описано ниже.)

Закон Гаусса для магнетизма можно записать в двух формах: дифференциальная форма и интегральная форма. Эти формы эквивалентны из-за теорема расходимости.

Название «закон Гаусса для магнетизма»^[1] не используется повсеместно. Закон еще называют «Отсутствие свободные магнитные полюса ";^[2] в одной ссылке даже прямо говорится, что у закона «нет названия».^[3] Это также называется «требованием трансверсальности».^[4] потому что для плоские волны для этого требуется, чтобы поляризация была поперечной направлению распространения.

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса для магнетизма:

${ Displaystyle набла cdot mathbf {B} = 0}$

куда $\nabla \cdot$ обозначает расхождение, и $B$ это магнитное поле.

Интегральная форма

Определение замкнутой поверхности.
Оставили: Некоторые примеры замкнутых поверхностей включают поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. В магнитный поток через любую из этих поверхностей равен нулю.
Правильно: Некоторые примеры незамкнутых поверхностей включают поверхность диска, квадратная поверхность или поверхность полусферы. Все они имеют границы (красные линии) и не полностью охватывают трехмерный объем. Магнитный поток через эти поверхности равен не обязательно ноль.

Интегральная форма закона Гаусса для магнетизма гласит:

${ displaystyle textstyle _ {S}}$ ${ Displaystyle mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {A} = 0}$

куда $S$ есть ли закрытая поверхность (см. изображение справа), и $d А$ это вектор, величина которого равна площади бесконечно малый кусок поверхности $S$ , и чье направление - направленное наружу нормальная поверхность (видеть поверхностный интеграл Больше подробностей).

Левая часть этого уравнения называется сеткой поток магнитного поля вне поверхности, а закон Гаусса для магнетизма утверждает, что оно всегда равно нулю.

Интегральная и дифференциальная формы закона Гаусса для магнетизма математически эквивалентны из-за теорема расходимости. Тем не менее, один или другой может быть более удобным для использования в конкретных вычислениях.

Закон в этой форме гласит, что для каждого элемента объема в пространстве существует ровно одинаковое количество «силовых линий магнитного поля», входящих и выходящих из объема. Никакой общий «магнитный заряд» не может накопиться ни в одной точке космоса. Например, южный полюс магнита имеет такую же силу, как и северный полюс, и свободно плавающие южные полюса без сопровождающих северных полюсов (магнитные монополи) не допускаются. Напротив, это неверно для других полей, таких как электрические поля или же гравитационные поля, где всего электрический заряд или же масса можно наращивать в объеме пространства.

Векторный потенциал

Из-за Теорема Гельмгольца о разложении, Закон Гаусса для магнетизма эквивалентен следующему утверждению:^[5]^[6]

Существует векторное поле

А

такой, что

{ Displaystyle mathbf {B} = набла раз mathbf {A}}

.

Векторное поле $А$ называется магнитный векторный потенциал.

Обратите внимание, что существует более одного возможного $А$ которое удовлетворяет этому уравнению для данного $B$ поле. На самом деле их бесконечно много: любое поле вида $\nabla ϕ$ можно добавить на $А$ получить альтернативный выбор для $А$ , тождеством (см. Тождества векторного исчисления ):

{ Displaystyle набла раз mathbf {A} = набла раз ( mathbf {A} + набла фи)}

так как завихрение градиента нуль векторное поле:

{ displaystyle nabla times nabla phi = { boldsymbol {0}}}

Этот произвол в $А$ называется свобода измерения.

Полевые линии

Магнитное поле $B$ , как любое векторное поле, можно изобразить через полевые линии (также называемый линии потока) - то есть набор кривых, направление которых соответствует направлению $B$ , а поверхностная плотность которого пропорциональна величине $B$ . Закон Гаусса для магнетизма эквивалентен утверждению, что силовые линии не имеют ни начала, ни конца: каждая из них либо образует замкнутую петлю, вечно вьется вокруг себя, никогда не соединяясь полностью с собой, либо простирается до бесконечности.

Модификация при наличии магнитных монополей

Если магнитные монополи были открыты, то закон Гаусса для магнетизма установил бы расхождение $B$ будет пропорционально магнитный заряд плотность $ρ м$ , аналогично закону Гаусса для электрического поля. При нулевой чистой плотности магнитного заряда ( $ρ м = 0$ ) исходная форма закона магнетизма Гаусса является результатом.

Модифицированная формула в Единицы СИ не является стандартным; в одном варианте магнитный заряд имеет единицы веберы, в другом - единицы ампер -метры.

Единицы	Уравнение
cgs единицы^[7]	${ Displaystyle набла cdot mathbf {B} = 4 пи ро _ { mathrm {m}}}$
Единицы СИ (Вебер соглашение)^[8]	${ Displaystyle набла cdot mathbf {B} = rho _ { mathrm {m}}}$
Единицы СИ (ампер -метр соглашение)^[9]	${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = mu _ {0} rho _ { mathrm {m}}}$

куда $μ 0$ это вакуумная проницаемость.

Несмотря на обширные поиски, магнитные монополи пока не обнаружены.^[10]

История

Идея отсутствия магнитных монополей возникла в 1269 г. Петрус Перегринус де Марикур. Его работа сильно повлияла на Уильям Гилберт, чьи 1600 работ De Magnete распространять идею дальше. В начале 1800-х гг. Майкл Фарадей повторно ввел этот закон, и впоследствии он стал Джеймс Клерк Максвелл уравнения электромагнитного поля.

Численный расчет

При численных вычислениях численное решение может не удовлетворять закону Гаусса для магнетизма из-за ошибок дискретизации численных методов. Однако во многих случаях, например, для магнитогидродинамика, важно точно (с точностью до машинной) сохранить закон Гаусса для магнетизма. Нарушение закона Гаусса для магнетизма на дискретном уровне приведет к появлению сильной нефизической силы. Ввиду сохранения энергии нарушение этого условия приводит к неконсервативному интегралу энергии, а ошибка пропорциональна расходимости магнитного поля.^[11]

Существуют различные способы сохранить закон Гаусса для магнетизма в численных методах, в том числе методы очистки расходимости,^[12] метод перевозки с ограничениями,^[13] составы на основе потенциала^[14] и методы конечных элементов на основе комплекса де Рама^[15]^[16] где стабильные и сохраняющие структуру алгоритмы строятся на неструктурированных сетках с дифференциальными формами конечных элементов.

Смотрите также

Рекомендации

^ ^а ^б Чоу, Тай Л. (2006). Электромагнитная теория: современная перспектива. Джонс и Бартлетт. п. 134. ISBN 0-7637-3827-1.
^ ^а ^б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. п. 237. ISBN 0-471-30932-X.
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. п.321. ISBN 0-13-805326-X.
^ Joannopoulos, John D .; Джонсон, Стив Дж .; Winn, Joshua N .; Мид, Роберт Д. (2008). Фотонные кристаллы: формирование потока света (2-е изд.). Princeton University Press. п. 9. ISBN 978-0-691-12456-8.
^ Schilders, W.H.A .; и другие. (2005). Справочник по численному анализу. п. 13. ISBN 978-0-444-51375-5.
^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. п. 180. ISBN 0-471-30932-X.
^ Мулен, Ф. (2001). «Магнитные монополи и сила Лоренца». Il Nuovo Cimento B. 116 (8): 869–877. arXiv:math-ph / 0203043. Bibcode:2001NCimB.116..869M.
^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. п. 273, ур. 6.150.
^ См., Например, уравнение 4 в Новаковский, М .; Келкар, Н. Г. (2005). «Закон Фарадея при наличии магнитных монополей». Письма еврофизики. 71 (3): 346. arXiv:физика / 0508099. Bibcode:2005ЭЛ ..... 71..346Н. Дои:10.1209 / epl / i2004-10545-2. S2CID 17729781.
^ Магнитные монополи, отчет от Группа данных о частицах, обновлено в августе 2015 г. Д. Милстедом и Э.Дж. Вайнберг. «На сегодняшний день не было подтвержденных наблюдений экзотических частиц, обладающих магнитным зарядом».
^ Brackbill, J.U; Барнс, округ Колумбия (май 1980 г.). «Влияние ненулевого ∇ · B на численное решение уравнений магнитогидродинамики». Журнал вычислительной физики. 35 (3): 426–430. Bibcode:1980JCoPh..35..426B. Дои:10.1016/0021-9991(80)90079-0.
^ Тот, Габор (1 июля 2000 г.). «Ограничение ∇ · B = 0 в кодах магнитной гидродинамики с захватом ударов». Журнал вычислительной физики. 161 (2): 605–652. Bibcode:2000JCoPh.161..605T. Дои:10.1006 / jcph.2000.6519. ISSN 0021-9991. S2CID 122112157.
^ Эрнквист, Ларс; Фогельсбергер, Марк; Моч, Филипп (21 июля 2014 г.). «Схема транспортировки с ограничениями для МГД на неструктурированных статических и движущихся сетках». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 442 (1): 43–55. arXiv:1402.5963. Bibcode:2014МНРАС.442 ... 43М. Дои:10.1093 / mnras / stu865. ISSN 0035-8711.
^ Жардин, Стивен (2010). Вычислительные методы в физике плазмы (1-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 9780429075537.
^ Ху, Кайбо; Ма, Иконг; Сюй, Цзиньчао (1 февраля 2017 г.). «Устойчивые методы конечных элементов, сохраняющие ∇ · B = 0 именно для МГД-моделей». Numerische Mathematik. 135 (2): 371–396. Дои:10.1007 / s00211-016-0803-4. ISSN 0945-3245. S2CID 30546761.
^ Ма, Иконг; Ху, Кайбо; Ху, Сяочжэ; Сюй, Цзиньчао (июль 2016 г.). «Надежные прекондиционеры для несжимаемых МГД-моделей». Журнал вычислительной физики. 316: 721–746. arXiv:1503.02553. Bibcode:2016JCoPh.316..721M. Дои:10.1016 / j.jcp.2016.04.019. S2CID 7777728.

[Chow-1] а ^б Чоу, Тай Л. (2006). Электромагнитная теория: современная перспектива. Джонс и Бартлетт. п. 134. ISBN 0-7637-3827-1.

[Jackson-2] а ^б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. п. 237. ISBN 0-471-30932-X.

[3] Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. п.321. ISBN 0-13-805326-X.

[Joannopoulos-4] Joannopoulos, John D .; Джонсон, Стив Дж .; Winn, Joshua N .; Мид, Роберт Д. (2008). Фотонные кристаллы: формирование потока света (2-е изд.). Princeton University Press. п. 9. ISBN 978-0-691-12456-8.

[5] Schilders, W.H.A .; и другие. (2005). Справочник по численному анализу. п. 13. ISBN 978-0-444-51375-5.

[6] Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. п. 180. ISBN 0-471-30932-X.

[7] Мулен, Ф. (2001). «Магнитные монополи и сила Лоренца». Il Nuovo Cimento B. 116 (8): 869–877. arXiv:math-ph / 0203043. Bibcode:2001NCimB.116..869M.

[8] Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. п. 273, ур. 6.150.

[9] См., Например, уравнение 4 в Новаковский, М .; Келкар, Н. Г. (2005). «Закон Фарадея при наличии магнитных монополей». Письма еврофизики. 71 (3): 346. arXiv:физика / 0508099. Bibcode:2005ЭЛ ..... 71..346Н. Дои:10.1209 / epl / i2004-10545-2. S2CID 17729781.

[10] Магнитные монополи, отчет от Группа данных о частицах, обновлено в августе 2015 г. Д. Милстедом и Э.Дж. Вайнберг. «На сегодняшний день не было подтвержденных наблюдений экзотических частиц, обладающих магнитным зарядом».

[11] Brackbill, J.U; Барнс, округ Колумбия (май 1980 г.). «Влияние ненулевого ∇ · B на численное решение уравнений магнитогидродинамики». Журнал вычислительной физики. 35 (3): 426–430. Bibcode:1980JCoPh..35..426B. Дои:10.1016/0021-9991(80)90079-0.

[12] Тот, Габор (1 июля 2000 г.). «Ограничение ∇ · B = 0 в кодах магнитной гидродинамики с захватом ударов». Журнал вычислительной физики. 161 (2): 605–652. Bibcode:2000JCoPh.161..605T. Дои:10.1006 / jcph.2000.6519. ISSN 0021-9991. S2CID 122112157.

[13] Эрнквист, Ларс; Фогельсбергер, Марк; Моч, Филипп (21 июля 2014 г.). «Схема транспортировки с ограничениями для МГД на неструктурированных статических и движущихся сетках». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 442 (1): 43–55. arXiv:1402.5963. Bibcode:2014МНРАС.442 ... 43М. Дои:10.1093 / mnras / stu865. ISSN 0035-8711.

[14] Жардин, Стивен (2010). Вычислительные методы в физике плазмы (1-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 9780429075537.

[15] Ху, Кайбо; Ма, Иконг; Сюй, Цзиньчао (1 февраля 2017 г.). «Устойчивые методы конечных элементов, сохраняющие ∇ · B = 0 именно для МГД-моделей». Numerische Mathematik. 135 (2): 371–396. Дои:10.1007 / s00211-016-0803-4. ISSN 0945-3245. S2CID 30546761.

[16] Ма, Иконг; Ху, Кайбо; Ху, Сяочжэ; Сюй, Цзиньчао (июль 2016 г.). «Надежные прекондиционеры для несжимаемых МГД-моделей». Журнал вычислительной физики. 316: 721–746. arXiv:1503.02553. Bibcode:2016JCoPh.316..721M. Дои:10.1016 / j.jcp.2016.04.019. S2CID 7777728.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]