Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени - Maxwells equations in curved spacetime

Для справочных материалов, используемых в этой статье, см. Ковариантная формулировка классического электромагнетизма и Введение в математику общей теории относительности.

Индуцированная кривизна пространства-времени

В физика, Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени управлять динамикой электромагнитное поле в изогнутый пространство-время (где метрика не может быть Метрика Минковского ) или где используется произвольный (не обязательно Декартово ) система координат. Эти уравнения можно рассматривать как обобщение вакуумные уравнения Максвелла которые обычно формулируются в местные координаты из плоское пространство-время. Но потому что общая теория относительности диктует наличие электромагнитных полей (или энергия /иметь значение в общем) вызывают искривление пространства-времени,^[1] Уравнения Максвелла в плоском пространстве-времени следует рассматривать как удобное приближение.

При работе с объемным веществом предпочтительно различать свободные и связанные электрические заряды. Без этого различия вакуумные уравнения Максвелла называются «микроскопическими» уравнениями Максвелла. Когда проводится различие, они называются макроскопическими уравнениями Максвелла.

Электромагнитное поле также допускает не зависящее от координат геометрическое описание, и уравнения Максвелла, выраженные в терминах этих геометрических объектов, одинаковы в любом пространстве-времени, искривленном или нет. Также такие же модификации внесены в уравнения плоского Пространство Минковского при использовании локальных координат, не являющихся декартовыми. Например, уравнения в этой статье можно использовать для записи уравнений Максвелла в сферические координаты. По этим причинам может быть полезно рассматривать уравнения Максвелла в пространстве Минковского как особый случай, а не уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени в качестве обобщения.

Резюме

В общая теория относительности, то метрика, ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$, больше не является константой (например, ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ как в Примеры метрического тензора ), но могут меняться в пространстве и времени, и уравнения электромагнетизма в вакууме становятся:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }\,=\,\partial _{\alpha }A_{\beta }\,-\,\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\,}$

${\displaystyle J^{\mu }\,=\,\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle f_{\mu }\,=\,F_{\mu \nu }\,J^{\nu }\,}$

куда ${\displaystyle f_{\mu }}$ это плотность Сила Лоренца, ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ является обратной величиной метрический тензор ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$, и ${\displaystyle g}$ это детерминант метрического тензора. Заметь ${\displaystyle A_{\alpha }}$ и ${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$ являются (обычными) тензорами, а ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$, ${\displaystyle J^{\nu }}$, и ${\displaystyle f_{\mu }}$ находятся тензор плотности веса +1. Несмотря на использование частные производные, эти уравнения инвариантны относительно произвольных криволинейных преобразований координат. Таким образом, если заменить частные производные на ковариантные производные, введенные таким образом дополнительные условия аннулируются. (См. манифестная ковариация # Пример.)

Электромагнитный потенциал

В электромагнитный потенциал ковариантный вектор, А_α который является неопределенным примитивом электромагнетизма. Как ковариантный вектор, его правило преобразования из одной системы координат в другую:

${\displaystyle {\bar {A}}_{\beta }({\bar {x}})={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }(x)\,.}$

Электромагнитное поле

В электромагнитное поле ковариантный антисимметричный тензор степени 2, которая может быть определена в терминах электромагнитного потенциала как

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.}$

Чтобы убедиться, что это уравнение инвариантно, мы преобразуем координаты (как описано в классическая трактовка тензоров )

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\[6pt]&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\[6pt]&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\[6pt]&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }\end{aligned}}}$

Из этого определения следует, что электромагнитное поле удовлетворяет

${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0,}$

который включает Закон индукции Фарадея и Закон Гаусса для магнетизма. Это видно по

${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0.}$

Хотя кажется, что в системе Фарадея – Гаусса 64 уравнения, на самом деле она сводится всего к четырем независимым уравнениям. Используя антисимметрию электромагнитного поля, можно либо привести к тождеству (0 = 0), либо сделать избыточными все уравнения, кроме тех, с λ, μ, ν быть 1, 2, 3 или 2, 3, 0 или 3, 0, 1 или 0, 1, 2.

Уравнение Фарадея – Гаусса иногда записывают

${\displaystyle F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda }\right)={\frac {1}{3}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\right)=0,}$

где точка с запятой указывает на ковариантную производную, запятая указывает на частную производную, а квадратные скобки указывают на антисимметризацию (см. Исчисление Риччи для обозначений). Ковариантная производная электромагнитного поля равна

${\displaystyle F_{\alpha \beta ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },}$

где Γ^α_βγ это Символ Кристоффеля, которая симметрична по своим нижним индексам.

Электромагнитное смещение

В электрическое поле смещения, D, а вспомогательное магнитное поле, ЧАС, образуют антисимметричный контравариант ранга 2 тензорная плотность веса +1. В вакууме это дается выражением

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\,.}$

Это уравнение - единственное место, где метрика (и, следовательно, гравитация) входит в теорию электромагнетизма. Кроме того, уравнение инвариантно при изменении масштаба, то есть умножение метрики на константу не влияет на это уравнение. Следовательно, гравитация может влиять на электромагнетизм, только изменяя скорость света относительно используемой глобальной системы координат. Свет отражается только под действием силы тяжести, потому что он медленнее приближается к массивным телам. Это как если бы гравитация увеличивала показатель преломления пространства около массивных тел.

В более общем смысле, в материалах, где намагничивание –поляризация тензор отличен от нуля, имеем

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\,-\,{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}$

Закон преобразования электромагнитного смещения имеет вид

${\displaystyle {\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,}$

где Определитель якобиана используется. Если использовать тензор намагниченности-поляризации, он имеет тот же закон преобразования, что и электромагнитное смещение.

Электрический ток

Электрический ток - это расхождение электромагнитного смещения. В вакууме

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

Если используется намагничивание-поляризация, то это просто дает свободную часть тока.

${\displaystyle J_{\text{free}}^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

Это включает Закон Ампера и Закон Гаусса.

В любом случае, тот факт, что электромагнитное смещение является антисимметричным, означает, что электрический ток автоматически сохраняется.

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=0,}$

потому что частные производные ездить.

Определение электрического тока Ампера-Гаусса недостаточно для определения его значения, потому что электромагнитному потенциалу (из которого он в конечном итоге был получен) не было присвоено значение. Вместо этого обычная процедура состоит в том, чтобы приравнять электрический ток к некоторому выражению в терминах других полей, в основном электрона и протона, а затем решить для электромагнитного смещения, электромагнитного поля и электромагнитного потенциала.

Электрический ток представляет собой контравариантную векторную плотность и, как таковой, преобразуется следующим образом:

${\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].}$

Проверка этого закона преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right)\end{aligned}}}$

Остается только показать, что

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=0}$

что является версией известной теоремы (см. Обратные функции и дифференцирование # Высшие производные ).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}&={\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]&={\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]&=0\end{aligned}}}$

Плотность силы Лоренца

Плотность Сила Лоренца ковариантная векторная плотность, заданная формулой

${\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.}$

Сила, действующая на пробную частицу, подверженную только гравитации и электромагнетизму, равна

${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{dt}}=\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }p_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}}$

куда п_α - линейный 4-импульс частицы, т - произвольная временная координата, параметризующая мировую линию частицы, Γ^β_αγ это Символ Кристоффеля (гравитационное силовое поле) и q - электрический заряд частицы.

Это уравнение инвариантно относительно изменения временной координаты; просто умножьте на ${\displaystyle dt/d{\bar {t}}}$ и использовать Правило цепи. Он также инвариантен при изменении Икс система координат.

Использование закона преобразования для символа Кристоффеля

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}}$

мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}_{\beta }&{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}=\\[6pt]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]&=0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}=0\end{aligned}}}$

Лагранжиан

В вакууме Плотность лагранжиана для классической электродинамики (в джоулях на метр³) - скаляр плотность

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\,+\,A_{\alpha }\,J^{\alpha }\,}$

куда

${\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }\,.}$

Четвертый ток следует понимать как сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей через их переменные.

Если отделить свободные токи от связанных токов, лагранжиан станет

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\,+\,A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }\,+\,{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}$

Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Основная статья: Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Как часть исходного условия в Уравнения поля Эйнштейна электромагнитный тензор энергии-импульса ковариантный симметричный тензор

${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right)}$

используя метрику подписи (-, +, +, +). При использовании метрики с подписью (+, -, -, -) выражение для ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ будет иметь противоположный знак. Тензор энергии-импульса бесследов.

${\displaystyle T_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=0}$

потому что электромагнетизм распространяется на локальных инвариантная скорость, и конформно инвариантно.^{[нужна цитата ]}

В выражении для сохранения энергии и импульса электромагнитный тензор энергии-импульса лучше всего представить в виде смешанной тензорной плотности

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$

Из приведенных выше уравнений можно показать, что

${\displaystyle {{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }=0}$

где точка с запятой означает ковариантная производная.

Это можно переписать как

${\displaystyle -{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{,\nu }=-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+f_{\mu }}$

в котором говорится, что уменьшение электромагнитной энергии такое же, как работа, совершаемая электромагнитным полем над гравитационным полем, плюс работа, совершаемая над веществом (через силу Лоренца), и аналогично скорость уменьшения электромагнитного линейного импульса равна электромагнитная сила, действующая на гравитационное поле, плюс сила Лоренца, действующая на материю.

Вывод закона сохранения.

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }+F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\nu }F_{\sigma \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\left(-F_{\nu \mu ;\alpha }-F_{\alpha \nu ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \nu ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\end{aligned}}}$

который равен нулю, потому что он отрицателен сам по себе (см. четыре строки выше).

Уравнение электромагнитной волны

В уравнение неоднородной электромагнитной волны в терминах тензора поля модифицируется из форма специальной теории относительности к

${\displaystyle \Box F_{ab}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ F_{ab;}{}^{d}{}_{d}=\,-2R_{acbd}F^{cd}+R_{ae}F^{e}{}_{b}-R_{be}F^{e}{}_{a}+J_{a;b}-J_{b;a}}$

куда р_acbd ковариантная форма Тензор Римана и ${\displaystyle \Box }$ является обобщением д'Аламбертиан оператор для ковариантных производных. С помощью

${\displaystyle \Box A^{a}={{A^{a;}}^{b}}_{b}}$

Исходные уравнения Максвелла можно записать в терминах 4-потенциальный [ссылка 2, с. 569] как,

${\displaystyle \Box A^{a}-{A^{b;a}}_{b}=-\mu _{0}J^{a}}$

или, предполагая обобщение Датчик Лоренца в искривленном пространстве-времени

${\displaystyle {A^{a}}_{;a}=0\ ,}$

${\displaystyle \Box A^{a}=-\mu _{0}J^{a}+{R^{a}}_{b}A^{b}}$

куда ${\displaystyle R_{ab}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{s}}_{asb}}$ это Тензор кривизны Риччи.

Это та же форма волнового уравнения, что и в плоском пространстве-времени, за исключением того, что производные заменены ковариантными производными и есть дополнительный член, пропорциональный кривизне. Волновое уравнение в этой форме также имеет некоторое сходство с силой Лоренца в искривленном пространстве-времени, где А^а играет роль 4-х позиций.

Для случая метрической сигнатуры в виде (+, -, -, -) в статье проводится вывод волнового уравнения в искривленном пространстве-времени.^{[нужна цитата ]}

Нелинейность уравнений Максвелла в динамическом пространстве-времени

Когда уравнения Максвелла рассматриваются в фон независимый Таким образом, то есть, когда метрика пространства-времени считается динамической переменной, зависящей от электромагнитного поля, тогда уравнение электромагнитной волны и уравнения Максвелла нелинейны. В этом можно убедиться, заметив, что тензор кривизны зависит от тензора энергии-импульса через Уравнение поля Эйнштейна

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}}$

куда

${\displaystyle {G}_{ab}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R}_{ab}-{1 \over 2}{R}g_{ab}}$

это Тензор Эйнштейна, грамм это гравитационная постоянная, грамм_ab это метрический тензор, и р (скалярная кривизна ) - след тензора кривизны Риччи. Тензор энергии-импульса состоит из энергии-импульса частиц, а также энергии-импульса электромагнитного поля. Это порождает нелинейность.

Геометрическая формулировка

В дифференциально-геометрической формулировке электромагнитного поля антисимметричный тензор Фарадея можно рассматривать как 2-форма Фарадея F. С этой точки зрения одно из двух уравнений Максвелла - dF= 0, куда d это внешняя производная оператор. Это уравнение полностью координатно и метрически не зависит и говорит, что электромагнитный поток через замкнутую двумерную поверхность в пространстве-времени является топологическим, точнее, зависит только от его класс гомологии (обобщение интегральной формы закона Гаусса и уравнения Максвелла-Фарадея, поскольку класс гомологии в пространстве Минковского автоматически равен 0). Посредством Лемма Пуанкаре, из этого уравнения следует (по крайней мере, локально), что существует 1-форма А удовлетворение F = d А. Другое уравнение Максвелла - d * F = J.В контексте, J это текущая 3-форма (или, точнее, скрученная тройка) звездочка * обозначает Ходжа звезда оператор, а d - оператор внешней производной. Зависимость уравнения Максвелла от метрики пространства-времени заключается в звездном операторе Ходжа *, имеющем две формы: конформно инвариантный. Написанное таким образом уравнение Максвелла одинаково в любом пространстве-времени, явно координатно инвариантно и удобно в использовании (даже в пространстве Минковского или евклидовом пространстве и времени, особенно с криволинейными координатами).

Альтернативная геометрическая интерпретация состоит в том, что двойка Фарадея образует F является (с точностью до i) кривизна 2-форма ${\displaystyle F(\nabla )}$ из U(1)-связь ${\displaystyle \nabla }$ на главный U(1) -бандл секции которых представляют собой заряженные поля. Связь очень похожа на векторный потенциал, поскольку каждое соединение можно записать как ${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+iA}$ для "базового" подключения ${\displaystyle \nabla _{0}}$ и F = F₀ + d А. С этой точки зрения «уравнение» Максвелла d F= 0, является математическим тождеством, известным как Бьянки идентичность. Уравнение d * F = J - единственное уравнение с любым физическим содержанием в этой формулировке. Эта точка зрения особенно естественна при рассмотрении заряженных полей или квантовой механики. Его можно интерпретировать как утверждение, что, подобно гравитации, можно понимать как результат необходимости подключения к параллельным векторам переноса в разных точках, электромагнитным явлениям или более тонким квантовым эффектам, таким как Эффект Ахаранова-Бома, можно понимать как результат необходимости подключения к параллельным транспортным заряженным полям или волновым участкам в разных точках. Фактически, подобно тому, как тензор Римана является голономия связности Леви Чивиты вдоль бесконечно малой замкнутой кривой кривизна связности является голономией U (1) -связности.

Смотрите также

• Уравнение электромагнитной волны
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Математические описания электромагнитного поля
• Формулировка уравнений Максвелла в специальной теории относительности
• Теоретическая мотивация общей теории относительности
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Электровакуумный раствор
• Парадокс заряда в гравитационном поле

Примечания

1. Холл, Г. С. (1984). «Значение кривизны в общей теории относительности». Общая теория относительности и гравитации. 16 (5): 495–500. Bibcode:1984GReGr..16..495H. Дои:10.1007 / BF00762342. S2CID  123346295.

Рекомендации

• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория. Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8.
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0.
• Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1975). Классическая теория поля (Четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7.
• Фейнман, Р. П.; Moringo, F. B .; Вагнер, В. Г. (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-62734-5.

внешняя ссылка

• Электромагнитные поля в искривленном пространстве-времени