Теоретическая мотивация общей теории относительности - Theoretical motivation for general relativity

А теоретическая мотивация общей теории относительности, включая мотивацию геодезическое уравнение и Уравнение поля Эйнштейна, можно получить из специальная теория относительности изучив динамика частиц в круговые орбиты о земле. Ключевым преимуществом изучения круговых орбит является то, что можно узнать решение уравнения поля Эйнштейна. априори. Это дает возможность информировать и проверять формализм.

Общая теория относительности отвечает на два вопроса:

1. Каким образом кривизна из пространство-время повлиять на движение иметь значение ?
2. Как присутствие материи влияет на кривизну пространства-времени?

На первый вопрос ответят геодезическое уравнение. На второй вопрос отвечает Уравнение поля Эйнштейна. Уравнение геодезической и уравнение поля связаны через принцип наименьшего действия. Мотивация для геодезического уравнения представлена ​​в разделе Геодезическое уравнение для круговых орбит Мотивация для уравнения поля Эйнштейна приведена в разделе Тензор напряжения-энергии

Геодезическое уравнение для круговых орбит

Основная статья: Геодезические в общей теории относительности

Кинетика круговых орбит

Мировая линия круговой орбиты вокруг Земли, изображенная в двух пространственных измерениях X и Y (плоскость орбиты) и временном измерении, обычно обозначается как вертикальная ось. Обратите внимание, что орбита вокруг Земли представляет собой круг в пространстве, но его мировая линия представляет собой спираль в пространстве-времени.

Для определенности рассмотрим круговую околоземную орбиту (винтовая мировая линия ) частицы. Частица движется со скоростью v. Наблюдатель на Земле видит, что длина сокращается в системе координат частицы. Измерительная линейка, перемещающаяся с частицей, кажется земному наблюдателю короче. Следовательно, окружность орбиты в направлении движения оказывается длиннее, чем ${displaystyle pi }$ умноженный на диаметр орбиты.^[1]

В специальная теория относительности 4-собственная скорость частицы в инерционный (неускоряющийся) каркас Земли

${displaystyle u=left(gamma ,gamma {mathbf {v} over c}ight)}$

где c - скорость света, ${displaystyle mathbf {v} }$ - 3-скорость, а ${displaystyle gamma }$ является

${displaystyle gamma ={1 over {sqrt {1-{{mathbf {v} cdot mathbf {v} } over c^{2}}}}}}$.

Величина вектора 4-скорости всегда постоянна.

${displaystyle u_{alpha }u^{alpha }=-1}$

где мы используем Метрика Минковского

${displaystyle eta ^{mu u }=eta _{mu u }={egin{pmatrix}-1&0&0&0�&1&0&0�&0&1&0�&0&0&1end{pmatrix}}}$.

Таким образом, величина 4-скорости равна Скаляр Лоренца.

4-ускорение в земной (не ускоряющей) системе координат равно

${displaystyle aequiv {{du} over {d au }}={d over {d au }}{left(gamma ,gamma {mathbf {v} over c}ight)}={left(0,gamma ^{2}{mathbf {a} over c^{2}}ight)}={left(0,-gamma ^{2}{{mathbf {v} cdot mathbf {v} } over c^{2}}{{mathbf {r} } over r^{2}}ight)}}$

куда ${displaystyle d au }$ равно c, умноженному на собственный интервал времени, измеренный в системе координат частицы. Это связано с временным интервалом в кадре Земли соотношением

${displaystyle cdt=gamma d au }$.

Здесь 3-ускорение для круговой орбиты равно

${displaystyle mathbf {a} =-omega ^{2}mathbf {r} =-{mathbf {v} cdot mathbf {v} }{{mathbf {r} } over r^{2}}}$

куда ${displaystyle omega }$ - угловая скорость вращающейся частицы и ${displaystyle mathbf {r} }$ - 3-я позиция частицы.

Величина 4-скорости постоянна. Это означает, что 4-ускорение должно быть перпендикулярно 4-скорости. Следовательно, внутренний продукт 4-го ускорения и 4-й скорости всегда равен нулю. Внутренний продукт - это Скаляр Лоренца.

Кривизна пространства-времени: геодезическое уравнение

Уравнение для ускорения можно обобщить, получив геодезическое уравнение

${displaystyle {{du^{mu }} over {d au }}-a^{mu }=0}$

${displaystyle {{du^{mu }} over {d au }}+{R^{mu }}_{alpha u eta }u^{alpha }x^{u }u^{eta }=0}$

куда ${displaystyle x^{mu }}$ - 4-позиция частицы и ${displaystyle {R^{mu }}_{alpha u eta }}$ это кривизна тензор, задаваемый

${displaystyle {R^{mu }}_{alpha u eta }={1 over r^{2}}eta _{alpha eta }{delta ^{mu }}_{u }}$

куда ${displaystyle {delta ^{mu }}_{u }}$ это Дельта-функция Кронекера, и у нас есть ограничения

${displaystyle u_{alpha }u^{alpha }=-1}$

и

${displaystyle a_{alpha }u^{alpha }=0}$.

Легко проверить, что круговые орбиты удовлетворяют уравнению геодезических. На самом деле геодезическое уравнение является более общим. Круговые орбиты - частное решение уравнения. Решения, отличные от круговых орбит, допустимы и действительны.

Тензор кривизны Риччи и след

Основные статьи: Кривизна Риччи и Скалярная кривизна

В Кривизна Риччи тензор - это специальный тензор кривизны, задаваемый сжатием

${displaystyle R_{alpha eta }equiv {R^{u }}_{alpha u eta }}$.

След тензора Риччи, названный скалярная кривизна, является

${displaystyle Requiv {R^{alpha }}_{alpha }}$.

Уравнение геодезической в ​​локальной системе координат

Круговые орбиты того же радиуса.

Рассмотрим ситуацию, в которой теперь две частицы находятся поблизости. круговой полярный орбиты Земли в радиусе ${displaystyle r}$ и скорость ${displaystyle v}$.

Частицы исполняют простые гармонические колебания о земле и по отношению друг к другу. Они находятся на максимальном расстоянии друг от друга, когда пересекают экватор. Их траектории пересекаются на полюсах.

Представьте, что с одной из частиц движется космический корабль. Потолок поделки, ${displaystyle {acute {mathbf {z} }}}$ направление, совпадает с ${displaystyle mathbf {r} }$ направление. Передняя часть поделки находится в ${displaystyle {acute {mathbf {x} }}}$ направление, и ${displaystyle {acute {mathbf {y} }}}$ направление слева от корабля. Космический аппарат мал по сравнению с размером орбиты, так что локальный кадр является локальным кадром Лоренца. 4-разделение двух частиц определяется выражением ${displaystyle {acute {x}}^{mu }}$. В локальной системе координат космического аппарата уравнение геодезических задается формулой

${displaystyle {{d^{2}{acute {x}}^{mu }} over {d au ^{2}}}+{acute {{R}^{mu }}}_{alpha u eta }{acute {u}}^{alpha }{acute {x}}^{u }{acute {u}}^{eta }=0}$

куда

${displaystyle {acute {u}}^{mu }={{d{acute {x}}^{mu }} over {d au }}}$

и

${displaystyle {acute {{R}^{mu }}}_{alpha u eta }}$

- тензор кривизны в локальной системе отсчета.

Геодезическое уравнение как ковариантная производная

Уравнение движения частицы в плоском пространстве-времени и в отсутствие сил имеет вид

${displaystyle {{d{u}^{mu }} over {d au }}=0}$.

Если мы требуем, чтобы частица двигалась по геодезической в ​​искривленном пространстве-времени, то аналогичное выражение в искривленном пространстве-времени будет

${displaystyle {{D{acute {u}}^{mu }} over {D au }}={{d{acute {u}}^{mu }} over {d au }}+{Gamma ^{mu }}_{alpha eta }{acute {u}}^{alpha }{acute {u}}^{eta }=0}$

где производная слева - это ковариантная производная, который является обобщением нормальной производной до производной в искривленном пространстве-времени. Здесь

${displaystyle {Gamma ^{mu }}_{alpha eta }}$

это Символ Кристоффеля.

Кривизна связана с символом Кристоффеля соотношением

${displaystyle {acute {{R}^{mu }}}_{alpha u eta }={{partial {{Gamma }^{mu }}}_{alpha eta } over {partial x^{u }}}-{{partial {{Gamma }^{mu }}}_{alpha u } over {partial x^{eta }}}+{{Gamma }^{mu }}_{gamma u }{{Gamma }^{gamma }}_{alpha eta }-{{Gamma }^{mu }}_{gamma eta }{{Gamma }^{gamma }}_{alpha u }}$.

Метрический тензор в локальной системе отсчета

Интервал в локальном кадре равен

${displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}equiv g_{mu u }d{acute {x}}^{mu }d{acute {x}}^{u }}$

${displaystyle =d{acute {x}}^{2}+d{acute {y}}^{2}+d{acute {z}}^{2}-c^{2}d{acute {t}}^{2}+2gamma cos( heta )cos(phi ),v,d{acute {t}},d{acute {x}}+2gamma cos( heta )sin(phi )v,d{acute {t}},d{acute {y}}-2gamma sin( heta )v,d{acute {t}},d{acute {z}}}$

куда

${displaystyle heta }$ угол с ${displaystyle z}$ ось (долгота) и

${displaystyle phi }$ угол с ${displaystyle x}$ ось (широта).

Это дает метрика из

${displaystyle g_{mu u }={egin{pmatrix}-1&gamma cos( heta )cos(phi ){frac {v}{c}}&gamma cos( heta )sin(phi ){frac {v}{c}}&-gamma sin( heta ){frac {v}{c}}gamma cos( heta )cos(phi ){frac {v}{c}}&1&0&0gamma cos( heta )sin(phi ){frac {v}{c}}&0&1&0-gamma sin( heta ){frac {v}{c}}&0&0&1end{pmatrix}}}$

в локальном фрейме.

Обратный к метрическому тензору ${displaystyle g^{mu u }}$ определяется так, что

${displaystyle g_{mu alpha }g^{alpha u }=delta _{mu }^{u }}$

где член справа - это Дельта Кронекера.

Преобразование бесконечно малого 4-тома ${displaystyle dOmega }$ является

${displaystyle d{acute {Omega }}={sqrt {-g}}d{Omega }}$

где g - определитель метрического тензора.

Дифференциал определителя метрического тензора равен

${displaystyle dg=gg^{mu u }dg_{mu u }=-gg_{mu u }dg^{mu u }}$.

Связь между символами Кристоффеля и метрическим тензором имеет вид

${displaystyle {{Gamma }^{alpha }}_{mu u }=g^{alpha eta }{Gamma }_{eta mu u }}$

${displaystyle {Gamma }_{eta mu u }={frac {1}{2}}left({{partial {g}}_{eta u } over {partial x^{mu }}}+{{partial {g}}_{eta mu } over {partial x^{u }}}-{{partial {g}}_{mu u } over {partial x^{eta }}}ight)}$.

Принцип наименьшего действия в общей теории относительности

Основная статья: Действие Эйнштейна – Гильберта

Принцип наименьшего действия гласит, что мировая линия Между двумя событиями в пространстве-времени есть та мировая линия, которая минимизирует действие между двумя событиями. В классическая механика принцип наименьшего действия используется для получения Законы движения Ньютона и является основой для Лагранжева динамика. В теории относительности это выражается как

${displaystyle S=int _{1}^{2}{mathcal {L}},dOmega }$

между событиями 1 и 2 - минимум. Здесь S - скаляр и

${displaystyle {mathcal {L}}}$

известен как Плотность лагранжиана. Плотность лагранжиана делится на две части: плотность орбитальной частицы ${displaystyle {mathcal {L}}_{p}}$ и плотность ${displaystyle {mathcal {L}}_{e}}$ гравитационного поля, создаваемого всеми другими частицами, включая частицы, составляющие Землю,

${displaystyle {mathcal {L}}={mathcal {L}}_{p}+{mathcal {L}}_{e}}$.

В изогнутом пространство-время, самая «короткая» мировая линия - это геодезический что минимизирует кривизну по геодезической. Тогда действие пропорционально кривизне мировой линии. Поскольку S - скаляр, скалярная кривизна - подходящая мера кривизны. Следовательно, действие для частицы

${displaystyle S_{p}=Cint _{1}^{2}{acute {R}},d{acute {Omega }}=Cint _{1}^{2}{acute {R}}{sqrt {-g}},d{Omega }=Cint _{1}^{2}g^{alpha eta }{acute {R}}_{alpha eta }{sqrt {-g}},d{Omega }}$

куда ${displaystyle C}$ неизвестная константа. Эта константа будет определяться требованием, чтобы теория сводилась к закону тяготения Ньютона в нерелятивистском пределе.

Таким образом, плотность лагранжиана частицы равна

${displaystyle {mathcal {L}}_{p}=Cg^{alpha eta }{acute {R}}_{alpha eta }{sqrt {-g}}}$.

Действие частицы и земли

${displaystyle S=int _{1}^{2}Cg^{alpha eta }{acute {R}}_{alpha eta }{sqrt {-g}},dOmega +int _{1}^{2}{mathcal {L}}_{e},dOmega }$.

Мы находим мировую линию, лежащую на поверхности сферы радиуса r, варьируя метрический тензор. Минимизация и пренебрежение членами, которые исчезают на границах, включая члены второго порядка по производной от g, дает

${displaystyle 0=delta S=int _{1}^{2}Cleft({acute {R}}_{alpha eta }-{1 over 2}{acute {R}}g^{alpha eta }ight)delta g^{alpha eta }{sqrt {-g}},dOmega -int _{1}^{2}{acute {T}}_{alpha eta }delta g^{alpha eta }{sqrt {-g}},dOmega }$

куда^[2]

${displaystyle {acute {T}}_{alpha eta }={1 over {sqrt {-g}}}left({d over {dx^{u }}}{{partial {mathcal {L}}_{e}} over {partial left({{dg^{alpha eta }} over {dx^{u }}}ight)}}-{{partial {mathcal {L}}_{e}} over {partial g^{alpha eta }}}ight)}$

это Гильбертовый тензор энергии-импульса поля, создаваемого землей.

Соотношение между энергией напряжения и кривизной с точностью до неизвестного постоянного множителя

${displaystyle {acute {T}}_{alpha eta }=Cleft({acute {R}}_{alpha eta }-{1 over 2}{acute {R}},g_{alpha eta }ight)}$.

Тензор напряжения-энергии

Закон всемирного тяготения Ньютона

Диаграмма 1. Изменение взглядов на пространство-время по мировая линия быстро ускоряющегося наблюдателя. На этой анимации пунктирная линия - это траектория пространства-времени ("мировая линия ") частицы. Шары размещаются через равные промежутки времени подходящее время по мировой линии. Сплошные диагональные линии - это световые конусы для текущего события наблюдателя и пересечься в этом событии. Маленькие точки - это другие произвольные события в пространстве-времени. Для текущей мгновенной инерциальной системы отсчета наблюдателя вертикальное направление указывает время, а горизонтальное направление указывает расстояние. Наклон мировой линии (отклонение от вертикали) - это скорость частицы на этом участке мировой линии. Итак, на изгибе мировой линии частица ускоряется. Обратите внимание на то, как вид пространства-времени меняется, когда наблюдатель ускоряется, изменяя мгновенную инерциальную систему отсчета. Эти изменения регулируются преобразованиями Лоренца. Также обратите внимание: * шары на мировой линии до / после будущих / прошлых ускорений более разнесены из-за замедления времени. * события, которые были одновременными до ускорения, впоследствии происходят в разное время (из-за относительность одновременности ), * события проходят через линии светового конуса из-за прогрессирования собственного времени, но не из-за изменения взглядов, вызванного ускорениями, и * мировая линия всегда остается в пределах световых конусов будущего и прошлого текущего события.

Закон тяготения Ньютона в нерелятивистской механике утверждает, что ускорение объекта массы ${displaystyle m}$ из-за другого объекта массы ${displaystyle M}$ равно

${displaystyle mathbf {f} ={d^{2}mathbf {r} over d au ^{2}}=-{GM over {c^{2}r^{3}}}mathbf {r} }$

куда ${displaystyle G}$ это гравитационная постоянная, ${displaystyle mathbf {r} }$ вектор из массы ${displaystyle M}$ массировать ${displaystyle m}$ и ${displaystyle r}$ - величина этого вектора. Время t масштабируется с скорость света c

${displaystyle au equiv ct}$.

Ускорение ${displaystyle mathbf {f} }$ не зависит от ${displaystyle m}$.

Для определенности. считать частицу массы ${displaystyle m}$ вращающийся в гравитационном поле Земли с массой ${displaystyle M}$. Закон всемирного тяготения можно записать

${displaystyle mathbf {f} =-{4pi G over {3c^{2}}}ho (r)mathbf {r} }$

куда ${displaystyle ho (r)}$ - средняя массовая плотность внутри сфера радиуса ${displaystyle r}$.

Гравитационная сила в терминах 00-компоненты тензора энергии-импульса

Закон Ньютона можно записать

${displaystyle mathbf {f} =-{4pi G over {3c^{4}}}left({Mc^{2} over V}ight)mathbf {r} }$.

куда ${displaystyle V}$ это объем сферы радиуса ${displaystyle r}$. Количество ${displaystyle Mc^{2}}$ будет признан из специальная теория относительности как энергия покоя большого тела - земли. Это сумма энергий покоя всех частиц, из которых состоит Земля. Величина в скобках представляет собой среднюю плотность энергии покоя сферы радиуса ${displaystyle r}$ о земле. Гравитационное поле пропорционально средней плотности энергии в радиусе r. Это 00 компонент тензор энергии-импульса в относительность для особого случая, когда вся энергия - это энергия покоя. В более общем смысле

${displaystyle T_{00}=-{T^{0}}_{0}=sum _{i=1}^{N}left({gamma _{i}m_{i}c^{2} over V}ight)}$

куда

${displaystyle gamma _{i}equiv {1 over {sqrt {1-{{mathbf {v} _{i}cdot mathbf {v} _{i}} over c^{2}}}}}}$

и ${displaystyle mathbf {v_{i}} }$ - скорость частицы i, составляющей Землю, и ${displaystyle m_{i}}$ в массе покоя частицы i. Всего в Земле N частиц.

Релятивистское обобщение плотности энергии

Компоненты тензора энергии-импульса.

Есть две простые релятивистские сущности, которые сводятся к 00-компоненту тензора энергии-импульса в нерелятивистском пределе.

${displaystyle u^{alpha }T_{alpha eta }u^{eta }ightarrow T_{00}}$

и след

${displaystyle Tequiv {T^{alpha }}_{alpha }=-u_{alpha }u^{alpha }T=-u^{alpha }Teta _{alpha eta }u^{eta }ightarrow -T_{00}}$

куда ${displaystyle u^{alpha }}$ это 4-х скоростная.

Компонента 00 тензора энергии-импульса может быть обобщена на релятивистский случай как линейная комбинация двух членов

${displaystyle T_{00}ightarrow u^{alpha }left(AT_{alpha eta }+BTeta _{alpha eta }ight)u^{eta }}$

куда

${displaystyle A+B=1}$

4-ускорение свободного падения

4-ускорение свободного падения можно записать

${displaystyle f^{mu }=-8pi {G over {3c^{4}}}left({A over 2}T_{alpha eta }+{B over 2}Teta _{alpha eta }ight)delta _{u }^{mu }u^{alpha }x^{u }u^{eta }}$.

К сожалению, это ускорение не равно нулю при ${displaystyle mu =0}$ как требуется для круговых орбит. Поскольку величина 4-скорости постоянна, только составляющая силы, перпендикулярная 4-скорости, способствует ускорению. Поэтому мы должны вычесть компонент силы, параллельный 4-скорости. Это известно как Ферми – Уокер транспорт.^[3] Другими словами,

${displaystyle f^{mu }ightarrow f^{mu }+u^{mu }u_{u }f^{u }}$.

Это дает

${displaystyle f^{mu }=-8pi {G over {3c^{4}}}left({A over 2}T_{alpha eta }+{B over 2}Teta _{alpha eta }ight)left(delta _{u }^{mu }+u^{mu }u_{u }ight)u^{alpha }x^{u }u^{eta }}$.

Сила в локальной системе координат равна

${displaystyle {acute {f}}^{mu }=-8pi {G over {3c^{4}}}left({A over 2}{acute {T}}_{alpha eta }+{B over 2}{acute {T}}g_{alpha eta }ight)left(delta _{u }^{mu }+{acute {u}}^{mu }{acute {u}}_{u }ight){acute {u}}^{alpha }{acute {x}}^{u }{acute {u}}^{eta }}$.

Уравнение поля Эйнштейна

Двумерная визуализация искажения пространства-времени. Присутствие материи изменяет геометрию пространства-времени, эта (изогнутая) геометрия интерпретируется как гравитация.

Получаем Уравнение поля Эйнштейна^[4] приравнивая ускорение, необходимое для круговых орбит, с ускорением свободного падения

${displaystyle a^{mu }=f^{mu }}$

${displaystyle {acute {{R}^{mu }}}_{alpha u eta }{acute {u}}^{alpha }{acute {x}}^{u }{acute {u}}^{eta }=-{acute {f}}^{mu }}$.

Это связь между кривизной пространства-времени и тензором энергии-импульса.

Тензор Риччи принимает вид

${displaystyle {acute {R}}_{alpha eta }=8pi {G over {c^{4}}}left({A over 2}{acute {T}}_{alpha eta }+{B over 2}{acute {T}}g_{alpha eta }ight)}$.

След тензора Риччи есть

${displaystyle {acute {R}}={acute {R}}_{alpha }^{alpha }=8pi {G over {c^{4}}}left({A over 2}{acute {T}}_{alpha }^{alpha }+{B over 2}{acute {T}}delta _{alpha }^{alpha }ight)=8pi {G over {c^{4}}}left({A over 2}+2Bight){acute {T}}}$.

Сравнение тензора Риччи с тензором Риччи, вычисленным по принципу наименьшего действия, Теоретическая мотивация общей теории относительности # Принцип наименьшего действия в общей теории относительности отождествляя тензор энергии-импульса с гильбертовым напряжением-энергией, и помня, что A + B = 1, устраняет двусмысленность в A, B и C.

${displaystyle A=2}$

${displaystyle B=-1}$

и

${displaystyle C=left(8pi {G over {c^{4}}}ight)^{-1}}$.

Это дает

${displaystyle {acute {R}}=-8pi {G over {c^{4}}}{acute {T}}}$.

Уравнение поля можно записать

${displaystyle {mathcal {G}}_{alpha eta }=8pi {G over {c^{4}}}{acute {T}}_{alpha eta }}$

куда

${displaystyle {mathcal {G}}_{alpha eta }equiv {acute {R}}_{alpha eta }-{1 over 2}{acute {R}}g_{alpha eta }}$.

Это уравнение поля Эйнштейна, которое описывает кривизну пространства-времени, которая возникает из-за плотности энергии-напряжения. Это уравнение, наряду с уравнением геодезических, было мотивировано кинетикой и динамикой частицы, вращающейся вокруг Земли по круговой орбите. В целом они верны.

Решение уравнения поля Эйнштейна

Решение уравнения поля Эйнштейна требует итеративного процесса. Решение представлено в метрическом тензоре

${displaystyle g_{mu u }}$.

Обычно для тензора существует первоначальное предположение. Предположение используется для расчета Символы Кристоффеля, которые используются для расчета кривизны. Если уравнение поля Эйнштейна не выполняется, процесс повторяется.

Растворы бывают двух видов: вакуумные и невакуумные. А вакуумный раствор - та, в которой тензор энергии-импульса равен нулю. Соответствующим вакуумным решением для круговых орбит является Метрика Шварцшильда. Есть также ряд точные решения которые являются невакуумными решениями, решениями, в которых тензор напряжений не равен нулю.

Решение геодезического уравнения

Основная статья: Решение геодезических уравнений

Решение уравнений геодезических требует знания метрического тензора, полученного путем решения уравнения поля Эйнштейна. Либо символы Кристоффеля, либо кривизна вычисляются из метрического тензора. Затем геодезическое уравнение интегрируется с соответствующим граничные условия.

Электродинамика в искривленном пространстве-времени

Основная статья: Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Уравнения Максвелла, уравнения электродинамики, в искривленном пространстве-времени являются обобщением уравнений Максвелла в плоском пространстве. пространство-время (видеть Формулировка уравнений Максвелла в специальной теории относительности ). Искривление пространства-времени влияет на электродинамику. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени можно получить, заменив производные в уравнениях в плоском пространстве-времени на ковариантные производные. Уравнения с исходным кодом и без него становятся (единицы cgs):

${displaystyle {4pi over c}J^{b}=partial _{a}F^{ab}+{Gamma ^{a}}_{mu a}F^{mu b}+{Gamma ^{b}}_{mu a}F^{amu }equiv D_{a}F^{ab}equiv {F^{ab}}_{;a},!}$,

и

${displaystyle 0=partial _{c}F_{ab}+partial _{b}F_{ca}+partial _{a}F_{bc}=D_{c}F_{ab}+D_{b}F_{ca}+D_{a}F_{bc}}$

куда ${displaystyle ,J^{a}}$ это 4-текущий, ${displaystyle ,F^{ab}}$ это тензор напряженности поля, ${displaystyle ,epsilon _{abcd}}$ это Символ Леви-Чивита, и

${displaystyle {partial over {partial x^{a}}}equiv partial _{a}equiv {}_{,a}equiv (partial /partial ct,abla )}$

это 4-градиентный. Повторные индексы суммируются по Соглашение о суммировании Эйнштейна. Мы представили результаты в нескольких общих обозначениях.

Первое тензорное уравнение является выражением двух неоднородных уравнений Максвелла: Закон Гаусса и Закон Ампера с поправкой Максвелла. Второе уравнение является выражением однородных уравнений, Закон индукции Фарадея и Закон Гаусса для магнетизма.

Уравнение электромагнитной волны модифицируется из уравнения в плоском пространстве-времени двумя способами: производная заменяется ковариантной производной и появляется новый член, который зависит от кривизны.

${displaystyle -{A^{alpha ;eta }}_{;eta }+{R^{alpha }}_{eta }A^{eta }={4pi over c}J^{alpha }}$

где 4-потенциальный определяется так, что

${displaystyle F^{ab}=partial ^{b}A^{a}-partial ^{a}A^{b},!}$.

Мы предположили обобщение Датчик Лоренца в искривленном пространстве-времени

${displaystyle {A^{mu }}_{;mu }=0}$.

Смотрите также

• Ньютоновские мотивы общей теории относительности

Рекомендации

1. Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория. Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8.
2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (четвертое исправленное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7.
3. Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. стр.170, 171. ISBN  0-7167-0344-0.
4. Ландау 1975, стр. 276

• Р. П. Фейнман; Ф. Б. Моринго и В. Г. Вагнер (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-62734-5.
• П.А.М. Дирак (1996). Общая теория относительности. Princeton University Press. ISBN  0-691-01146-X.