Волновой пакет - Wave packet

«Волновой поезд» перенаправляется сюда. О концепции математики см. Периодическая бегущая волна.

Волновой пакет без дисперсии (действительная или мнимая часть)

Волновой пакет с дисперсией

В физике волновой пакет (или же волновой поезд) - это короткий "всплеск" или "конверт "локализованного волнового воздействия, которое распространяется как единое целое. Волновой пакет может быть проанализирован или может быть синтезирован из бесконечного набора компонентов синусоидальные волны разных волновые числа, с фазами и амплитудами, так что они конструктивно интерферируют только в небольшой области пространства и деструктивно в другом месте.^[1] Каждый компонент волновая функция, а значит, и волновой пакет, являются решениями волновое уравнение. В зависимости от волнового уравнения профиль волнового пакета может оставаться постоянным (нет разброс см. рисунок) или может изменяться (дисперсия) во время распространения.

Квантовая механика придает волновому пакету особое значение; это интерпретируется как амплитуда вероятности, это норма в квадрате описывая плотность вероятности что частица или частицы в определенном состоянии будут иметь заданное положение или импульс. Волновое уравнение в этом случае есть Уравнение Шредингера. Можно вывести эволюция во времени квантово-механической системы, подобной процессу Гамильтониан формализм в классическая механика. Дисперсионный характер решений уравнения Шредингера сыграл важную роль в отказе от Оригинальная интерпретация Шредингера, и принимая Родившееся правило.^{[нужна цитата ]}

В координатном представлении волны (например, Декартова система координат ) положение локализованной вероятности физического объекта определяется положением пакетного решения. Более того, чем уже пространственный волновой пакет и, следовательно, чем лучше локализовано положение волнового пакета, тем больше разброс в импульс волны. Этот компромисс между спредом позиции и спредом импульса является характерной чертой Гейзенберг принцип неопределенности, и будет проиллюстрировано ниже.

Историческое прошлое

В начале 1900-х годов стало очевидно, что классическая механика имеет несколько серьезных недостатков. Исаак Ньютон первоначально предложил идею о том, что свет приходит в виде дискретных пакетов, которую он назвал тельца, но волнообразное поведение многих световых явлений быстро побудило ученых отдать предпочтение волновому описанию электромагнетизм. Только в 1930-х годах природа частиц света стала действительно широко приниматься в физике. Развитие квантовой механики - и ее успех в объяснении запутанных экспериментальных результатов - лежало в основе этого признания. Таким образом, одна из основных концепций в формулировке квантовой механики - это свет, приходящий в виде дискретных пучков, называемых фотоны. Энергия фотона зависит от его частоты,

${\displaystyle E=h\nu .}$^[2]

Энергия фотона равна Постоянная Планка, час, умноженное на его частоту, ν. Это разрешило проблему классической физики, названную ультрафиолетовая катастрофа.

Идеи квантовой механики продолжали развиваться на протяжении всего ХХ века. Созданная картина представляла собой мир из частиц, в котором все явления и материя состоят из отдельных частиц и взаимодействуют с ними; однако эти частицы описывались волной вероятности. Взаимодействия, местоположения и вся физика были бы сведены к вычислениям этих амплитуд вероятности.

Подобная частицам природа мира была подтверждена экспериментами более века, в то время как волновые явления можно охарактеризовать как следствия волнового пакета квантовых частиц (см. волновая дуальность ). Согласно принцип дополнительности, волноводные и корпускулярные характеристики никогда не проявляются одновременно, т.е. в одном эксперименте; см., однако, Афшар эксперимент и оживленная дискуссия вокруг этого.

Базовое поведение

Плотность вероятности в пространстве положений изначально гауссовского состояния, захваченного бесконечной потенциальной ямой, испытывающей периодическое квантовое туннелирование в центрированной потенциальной стенке.

Недисперсионный

Как пример размножения без разбросарассмотрим волновые решения следующих волновое уравнение из классическая физика

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}{\nabla ^{2}u},}$

куда c - скорость распространения волны в данной среде.

Используя соглашение физики о времени, ехр (-iωt), волновое уравнение имеет плоская волна решения

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega t)},}$

куда

${\displaystyle \omega ^{2}=|\mathbf {k} |^{2}c^{2}}$, и ${\displaystyle |\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.}$

Это отношение между ω и k должно быть справедливым, чтобы плоская волна была решением волнового уравнения. Это называется соотношение дисперсии.

Для упрощения рассмотрим только волны, распространяющиеся в одном измерении (расширение до трех измерений не вызывает затруднений). Тогда общее решение

${\displaystyle u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)},}$

в котором мы можем взять ω = kc. Первый член представляет собой волну, распространяющуюся в положительном Икс-направление поскольку это функция x - ct Только; второй член, являющийся функцией x + ct, представляет собой волну, распространяющуюся в отрицательном Икс-направление.

Волновой пакет - это локализованное возмущение, возникающее в результате суммы множества различных формы волны. Если пакет сильно локализован, необходимо больше частот, чтобы разрешить конструктивную суперпозицию в области локализации и деструктивную суперпозицию за пределами области. Из основных решений в одном измерении общий вид волнового пакета может быть выражен как

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}dk.}$

Как и в случае плоской волны, волновой пакет движется вправо при ω (k) = kc, поскольку и (х, t) = F (х - ct), а влево для ω (k) = −kc, поскольку и (х, t) = F (х + ct).

Фактор¹⁄_√2π происходит от преобразование Фурье условности. Амплитуда А (к) содержит коэффициенты линейной суперпозиции плоских волновых решений. Эти коэффициенты, в свою очередь, можно выразить как функцию и (х, t) оценивается в t = 0 путем обращения вышеупомянутого соотношения преобразования Фурье:

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}dx.}$

Например, выбирая

${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},}$

мы получаем

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},}$

и наконец

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}$

Бездисперсное распространение реальной или мнимой части этого волнового пакета представлено на анимации выше.

Дисперсный

Плотность пространственной вероятности исходного гауссова состояния, движущегося в одном измерении с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве.

Напротив, в качестве примера распространения сейчас с дисперсиейвместо этого рассмотрим решения Уравнение Шредингера (Паули 2000, с м и ħ положить равным единице),

${\displaystyle i{\partial \psi \over \partial t}=-{\frac {1}{2}}{\nabla ^{2}\psi },}$

что дает дисперсионное соотношение

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}|\mathbf {k} |^{2}.}$

Еще раз, ограничивая внимание одним измерением, решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее начальному условию ${\displaystyle ~\psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp({-x^{2}+ik_{0}x})}$, представляющий собой волновой пакет, локализованный в пространстве в начале координат,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}$

Впечатление о дисперсионном поведении этого волнового пакета получается, если посмотреть на плотность вероятности:

${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.}$

Очевидно, что этот дисперсионный волновой пакет, двигаясь с постоянной групповая скорость k_о, быстро делокализуется: у него ширина возрастает со временем как √ 1 + 4т² → 2т, так что в конечном итоге он распространяется в неограниченную область пространства.^{[nb 1]}

Профиль импульса А (к) остается инвариантным. В ток вероятности является

${\displaystyle j=\rho v={\frac {1}{2i}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})=\rho \left(k_{0}+{\frac {4t(x-k_{0}t)}{1+4t^{2}}}\right).}$

Гауссовские волновые пакеты в квантовой механике

Суперпозиция одномерных плоских волн (синий), которые в сумме образуют квантовый гауссов волновой пакет (красный), который распространяется вправо при расширении. Синие точки соответствуют фазовой скорости каждой плоской волны, а красная линия - центральной групповой скорости.

Плотность вероятности в пространстве положений изначально гауссовского состояния, захваченного бесконечной потенциальной ямой, испытывающей периодическое квантовое туннелирование в центрированной потенциальной стенке.

1D гауссовский волновой пакет, показанный в комплексной плоскости, для а= 2 и k=4

Вышеупомянутый дисперсионный гауссов волновой пакет, ненормированный и просто центрированный в начале координат, вместо т= 0, теперь можно записать в 3D, теперь в стандартных единицах:^[3][4]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$

куда а положительное действительное число, квадрат ширины волнового пакета,

${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2}.}$

Преобразование Фурье также является гауссовым с точки зрения волнового числа, т= 0, k-вектор, (с обратной шириной,

${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2},}$

так что

${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$

т.е. насыщает отношение неопределенности ),

${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$

Каждая отдельная волна вращается только по фазе во времени, так что решение с преобразованием Фурье, зависящее от времени, имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}}$

Обратное преобразование Фурье по-прежнему гауссово, но теперь параметр а стал сложным, и есть общий коэффициент нормализации.^[5]

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.}$

Интеграл Ψ по всему пространству инвариантен, потому что это внутренний продукт Ψ с состоянием нулевой энергии, которое является волной с бесконечной длиной волны, постоянной функцией пространства. Для любого собственное состояние энергии η(Икс), внутренний продукт,

${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$

изменяется только во времени простым способом: его фаза вращается с частотой, определяемой энергией η. Когда η имеет нулевую энергию, как волна с бесконечной длиной волны, она вообще не меняется.

Интегральный ∫|Ψ|²d³р также инвариантен, что свидетельствует о сохранении вероятности. Явно,

${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$

в котором √а это ширина P (r) в т = 0; р расстояние от начала координат; скорость частицы равна нулю; и происхождение времени т = 0 можно выбрать произвольно.

Ширина гауссиана - это интересная величина, которую можно определить по плотности вероятности, |Ψ|²,

${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}}.}$

Эта ширина со временем линейно растет, так как ħt / (м√a), указывая распространение волнового пакета.

Например, если электронный волновой пакет изначально локализован в области атомных размеров (т. Е. 10⁻¹⁰ м), то ширина пакета удваивается примерно 10⁻¹⁶ с. Ясно, что волновые пакеты частиц действительно очень быстро распространяются (в свободном пространстве):^[6] Например, после 1 мс ширина вырастет примерно до километра.

Этот линейный рост является отражением (неизменной во времени) неопределенности импульса: волновой пакет ограничен узким Δx=√а/2, и поэтому имеет неопределенный импульс (согласно принцип неопределенности ) на сумму час/√2а, разброс скорости ħ / м√2а, и, следовательно, в будущем положении ħт / м√2а. Тогда соотношение неопределенностей представляет собой строгое неравенство, действительно очень далекое от насыщения! Первоначальная неопределенность ΔxΔp = час/2 теперь увеличился в раз ħт / ма (для больших т).

Поезд волн Эйри

В отличие от вышеупомянутого гауссовского волнового пакета, наблюдалось^[7] что конкретная волновая функция на основе Воздушные функции, свободно распространяется без рассеивания оболочки, сохраняя свою форму. Он неискаженно разгоняется в отсутствие силового поля: ψ= Ai (B(Икс−B³т ²)) exp (iB³т(Икс−2B³т²/3)). (Для простоты, час=1, м= 1/2 и B постоянная, ср. обезразмеривание.)

Усеченный вид развития во времени фронта Эйри в фазовом пространстве. (Щелкните, чтобы оживить.)

Тем не менее диссонанса с Теорема Эренфеста в этой бессиловой ситуации, потому что состояние одновременно ненормализуемо и имеет неопределенное (бесконечное) ⟨Икс⟩ на все времена. (В той мере, в какой это можно было определить, ⟨п⟩ = 0 на все времена, несмотря на кажущееся ускорение спереди.)

В фазовое пространство, это видно по чистое состояние Распределение квазивероятностей Вигнера этого волнового поезда, форма которого в Икс и п инвариантен с течением времени, но его черты ускоряются вправо, в ускоряющихся параболах B(Икс−B³т ²) + (п / б − tB²)² = 0,^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={1 \over 2^{1/3}\pi B}~\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(Bx+{p^{2} \over B^{2}}-2Bpt\right)\right).\end{aligned}}}$

Обратите внимание на импульсное распределение, полученное интегрированием по всем Икс постоянно. Поскольку это плотность вероятности в импульсном пространстве, очевидно, что сама волновая функция не нормируема.

В 2018 году совместными усилиями исследователей из израильских, немецких и американских университетов было проведено первое экспериментальное наблюдение кубической фазы ускоряющихся волновых пакетов Эйри.^[9]

Бесплатный пропагатор

Обсуждаемым пределом узкой ширины гауссовского волнового пакета является свободный ядро пропагатора K. Для других дифференциальных уравнений это обычно называется функцией Грина,^[10] но в квантовой механике принято называть функцией Грина временное преобразование Фурье K.

Возвращаясь к одному измерению для простоты, с м и ħ положим равным единице, когда а бесконечно малая величина ε, начальное условие Гаусса, масштабируемое так, чтобы его интеграл был равен единице,

${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \epsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\epsilon }}\,}$

становится дельта-функция, δ (х), так что его эволюция во времени,

${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\epsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2it+\epsilon }\,}$

дает пропагатор.

Обратите внимание, что очень узкий начальный волновой пакет мгновенно становится бесконечно широким, но с фазой, которая более быстро колеблется при больших значениях Икс. Это может показаться странным - решение меняется от локализации в одной точке до «везде» в все более поздние времена, но это отражение огромного неопределенность импульса локализованной частицы, как объяснено выше.

Далее отметим, что норма волновой функции бесконечна, что тоже правильно, поскольку квадрат дельта-функция расходится точно так же.

Фактор вовлечения ε является бесконечно малой величиной, которая нужна, чтобы гарантировать, что интегралы по K хорошо определены. В пределе, что ε→0, K становится чисто колебательным, и интегралы от K не совсем сходятся. В оставшейся части этого раздела буду быть установлен на ноль, но для того, чтобы все интегрирования по промежуточным состояниям были правильно определены, предел ε→ 0 принимается только после расчета конечного состояния.

Пропагатор - это амплитуда достижения точки Икс вовремя т, начиная с начала координат, Икс= 0. Благодаря трансляционной инвариантности амплитуда достижения точки Икс при старте в точке у та же функция, только теперь переведенная,

${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$

В пределе, когда т мала, пропагатор, конечно, переходит в дельта-функцию,

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$

но только в смысле распределения: Интеграл от этой величины, умноженный на произвольную дифференцируемую функция тестирования дает нулевое значение тестовой функции.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что интеграл по всему пространству от K всегда равно 1,

${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$

так как этот интеграл является внутренним продуктом K с однородной волновой функцией. Но фазовый множитель в показателе экспоненты имеет ненулевую пространственную производную везде, кроме начала координат, и поэтому, когда время невелико, есть быстрые сокращения фазы во всех точках, кроме одной. Это строго верно, когда предел ε→ 0 берется в самом конце.

Таким образом, ядро ​​распространения - это (будущая) эволюция дельта-функции во времени, и она в некотором смысле непрерывна: на малых временах она переходит к начальной дельта-функции. Если исходная волновая функция представляет собой бесконечно узкий пик в положении у,

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$

она становится колебательной волной,

${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$

Теперь, поскольку каждую функцию можно записать как взвешенную сумму таких узких пиков,

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$

временная эволюция каждая функция ψ₀ определяется этим ядром распространения K,

${\displaystyle \psi _{t}(x)=\int \psi _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,.}$

Таким образом, это формальный способ выразить фундаментальное решение или же общее решение. Интерпретация этого выражения состоит в том, что амплитуда частицы должна быть найдена в точке Икс вовремя т это амплитуда, с которой он начался у, умноженное на амплитуду, с которой он пошел у к Икс, суммированы все возможные отправные точки. Другими словами, это свертка ядра K с произвольным начальным условием ψ₀,

${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$

Поскольку амплитуда движения от Икс к у через время т+т'можно рассматривать в два этапа, пропагатор подчиняется композиционному тождеству,

${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$

что можно интерпретировать следующим образом: амплитуда, из которой Икс к z во время т+т'- это сумма амплитуд, из которой необходимо пройти Икс к у во время т, умноженное на амплитуду, из которой у к z во время т', подведены все возможные промежуточные состояния y. Это свойство произвольной квантовой системы, и за счет разделения времени на множество сегментов оно позволяет выразить временную эволюцию как интеграл по путям.^[11]

Аналитическое продолжение диффузии

Смотрите также: Уравнение теплопроводности § Основные решения, и Тепловое ядро

Распространение волновых пакетов в квантовой механике напрямую связано с распределением плотностей вероятностей в распространение. Для частицы, которая случайно идущий, функция плотности вероятности в любой точке удовлетворяет условию уравнение диффузии (также см. уравнение теплопроводности ),

${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ~,}$

где множитель 2, который можно удалить, изменяя масштаб во времени или пространстве, используется только для удобства.

Решением этого уравнения является растекающийся гауссиан,

${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t}~,}$

и, поскольку интеграл от ρ_т постоянна, в то время как ширина сужается на малых временах, эта функция приближается к дельта-функции при т=0,

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)\,}$

опять же только в смысле распределений, так что

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)\,}$

для любого гладкого функция тестирования ж.

Гауссиан распространения является ядром распространения для уравнения диффузии и подчиняется свертка личность,

${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$

что позволяет выразить диффузию как интеграл по путям. Пропагатор - это экспонента от оператора ЧАС,

${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$

который является оператором бесконечно малой диффузии,

${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$

Матрица имеет два индекса, что в непрерывном пространстве делает ее функцией Икс и Икс'. В этом случае из-за трансляционной инвариантности матричный элемент K зависят только от разницы позиций, и удобное злоупотребление обозначениями - это ссылка на оператор, матричные элементы и функцию разности с одним и тем же именем:

${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$

Трансляционная инвариантность означает, что непрерывное умножение матриц,

${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$

по сути свертка,

${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$

Экспоненту можно определить в диапазоне тs, которые включают комплексные значения, пока интегралы по ядру распространения остаются сходящимися,

${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$

Пока настоящая часть z положительна, при больших значениях Икс, K экспоненциально убывает, а интегралы по K действительно абсолютно сходятся.

Предел этого выражения для z приближение к чисто мнимой оси встречается вышеупомянутый пропагатор Шредингера,

${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\epsilon }=e^{-(it+\epsilon )H}\,,}$

который иллюстрирует указанную выше эволюцию гауссианов во времени.

Исходя из фундаментальной сущности возведения в степень или интеграции путей,

${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$

справедливо для всех сложных z значения, где интегралы абсолютно сходятся, так что операторы хорошо определены.

Таким образом, квантовая эволюция гауссиана, который является комплексным диффузионным ядром K,

${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$

составляет состояние, эволюционировавшее во времени,

${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$

Это иллюстрирует указанную выше диффузную форму комплексных гауссовских решений,

${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$

Смотрите также

Волна Распространение волн Анализ Фурье Групповая скорость Фазовая скорость Бесплатная частица

Когерентные состояния Форма волны Вейвлет Волна материи Уравнение Шредингера Введение в квантовую механику Солитон

Замечания

1. Напротив, введение условия взаимодействия в дисперсионных уравнениях, например, для квантовый гармонический осциллятор, может привести к появлению недисперсных огибающих, классические решения -видеть когерентные состояния: Такие «состояния с минимальной неопределенностью» постоянно насыщают принцип неопределенности.

Примечания

1. Манеры 2000 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFManners2000 (помощь)
2. Эйнштейн 1905
3. Паули 2000
4. Аберс и Пирсон 2004
5. Шифф 1968
6. Фитцпатрик ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFitzpatrick (помощь)
7. Берри и Балаш 1979
8. С сайта общей педагогики Curtright.
9. «Амплитуда и фаза волновых пакетов в линейном потенциале». Американское физическое общество, Phys. Rev. Lett.
10. Джексон 1975
11. Фейнман и Хиббс, 1965 г.

Рекомендации

• Эйнштейн, Альберт (1905), "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Об эвристической точке зрения на производство и преобразование света)" (PDF), Annalen der Physik, 17 (6): 132–148, Bibcode:1905AnP ... 322..132E, Дои:10.1002 / andp.19053220607 Этот Annus Mirabilis доклад по фотоэффекту получил Annalen der Physik 18 марта 1905 г.
• Шифф, Леонард И. (1968), Квантовая механика (третье изд.), Лондон: Макгроу-Хилл
• Джой Маннерс (2000), Квантовая физика: введение, CRC Press, стр. 53–56, ISBN  978-0-7503-0720-8
• Паули, Вольфганг (2000), Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике, Книги по физике, Dover Publications, ISBN  978-0486414621
• Abers, E .; Пирсон, Эд (2004), Квантовая механика, Эддисон Уэсли, Prentice-Hall Inc., ISBN  978-0-13-146100-0
• Ричард Фицпатрик, Колебания и волны
• Берри, М. В .; Балаш, Н. Л. (1979), "Нераспространяющиеся волновые пакеты", Am J Phys, 47 (47): 264–267, Bibcode:1979AmJPh..47..264B, Дои:10.1119/1.11855
• Джексон, Дж. Д. (1975), Классическая электродинамика (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., ISBN  978-0-471-43132-9
• Фейнман, Р. П.; Хиббс, А. Р. (1965), Квантовая механика и интегралы по траекториям, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN  978-0-07-020650-2 (Дувр, 2010, ISBN  0-486-47722-3.)
• Уиллер, Николас (2004), Энергетика гауссовского волнового пакета.

внешняя ссылка

• Учебные материалы, связанные с движение волнового пакета в Викиверситете
• Словарное определение волновой пакет в Викисловарь
• Пакетный график 1d Wave в Google
• 1d волновой цуг и график плотности вероятности в Google
• Пакетный график 2d Wave в Google
• Сюжет поезда 2d Wave в Google
• 2d график плотности вероятности в Google
• Моделирование волнового пакета в 2D (согласно FOURIER-Synthesis в 2D)
• Кертрайт, Т.Л., Зависящие от времени функции Вигнера
• Web-Schödinger: Интерактивное моделирование динамики 2D волновых пакетов.