Обезразмеривание - Nondimensionalization

Обезразмеривание частичное или полное удаление физические размеры из уравнение с участием физические величины подходящим подстановка переменных. Этот метод может упростить и параметризовать проблемы, где измеренный единицы задействованы. Это тесно связано с размерный анализ. В некоторых физических системы, период, термин масштабирование используется взаимозаменяемо с обезразмеривание, чтобы предположить, что определенные величины лучше измерять относительно некоторой подходящей единицы. Эти единицы относятся к количеству внутренний к системе, а не к таким единицам, как SI единицы. Обезразмеривание - это не то же самое, что преобразование большое количество в уравнении для интенсивных количеств, поскольку последняя процедура приводит к переменным, которые все еще несут единицы.

Обезразмеривание также может восстановить характерные свойства системы. Например, если в системе есть внутренняя резонансная частота, длина, или же постоянная времени, обезразмеривание может восстановить эти значения. Этот метод особенно полезен для систем, которые можно описать как дифференциальные уравнения. Одно из важных применений - анализ Системы управления.Одной из простейших характеристических единиц является время удвоения системы, испытывающей экспоненциальный рост, или наоборот период полураспада системы, испытывающей экспоненциальный спад; более естественная пара характерных единиц - средний возраст /средняя продолжительность жизни, которые соответствуют базовым е вместо базы 2.

Многие наглядные примеры обезразмеривания происходят из упрощения дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что большое количество физических проблем можно сформулировать в терминах дифференциальных уравнений. Обратите внимание на следующее:

• Список тем о динамических системах и дифференциальных уравнениях
• Список тем по уравнениям в частных производных
• Дифференциальные уравнения математической физики

Хотя обезразмеривание хорошо приспособлено к этим проблемам, оно не ограничивается ими. Примером применения недифференциального уравнения является анализ размерностей; другой пример нормализация в статистика.

Измерительные приборы представляют собой практические примеры обезразмеривания, происходящие в повседневной жизни. Измерительные приборы калибруются относительно известной единицы. Последующие измерения производятся относительно этого стандарта. Затем абсолютное значение измерения восстанавливается путем масштабирования по стандарту.

Обоснование

Предположим, что маятник качается с особым период Т. Для такой системы выгодно выполнять расчеты, относящиеся к раскачиванию относительно Т. В некотором смысле это нормализация измерения по периоду.

Измерения, выполненные относительно внутреннего свойства системы, будут применяться к другим системам, которые также имеют такое же внутреннее свойство. Это также позволяет сравнивать общее свойство различных реализаций одной и той же системы. Обезразмеривание систематически определяет характерные единицы системы для использования, не полагаясь в значительной степени на предварительное знание внутренних свойств системы (не следует путать характерные единицы система с натуральные единицы из природа). Фактически, обезразмеривание может предложить параметры, которые следует использовать для анализа системы. Однако необходимо начать с уравнения, которое надлежащим образом описывает систему.

Шаги обезразмеривания

Чтобы обезразмерить систему уравнений, необходимо сделать следующее:

1. Определите все независимые и зависимые переменные;
2. Заменить каждую из них величиной, масштабированной относительно характерной единицы измерения, которую необходимо определить;
3. Разделить на коэффициент при полиноме высшего порядка или производном члене;
4. Тщательно выберите определение характеристической единицы для каждой переменной так, чтобы коэффициенты для максимально возможного числа членов равнялись 1;
5. Перепишите систему уравнений в терминах их новых безразмерных величин.

Последние три шага обычно относятся к проблеме, в которой применяется обезразмеривание. Однако почти все системы требуют выполнения первых двух шагов.

Конвенции

Нет никаких ограничений на имена переменных, используемых для замены "Икс" и "т". Однако они обычно выбираются так, чтобы их было удобно и интуитивно понятно использовать для решения поставленной задачи. Например, если"Икс"изображенная масса, буква"м"может быть подходящим символом для обозначения безразмерной массы.

В этой статье использованы следующие условные обозначения:

• т - представляет собой независимую переменную - обычно количество времени. Его безразмерный аналог ${\displaystyle \tau }$.
• Икс - представляет зависимую переменную - это может быть масса, напряжение или любая измеримая величина. Его безразмерный аналог ${\displaystyle \chi }$.

Подписанный c добавленное к имени переменной количества используется для обозначения единицы характеристики, используемой для масштабирования этого количества. Например, если Икс это количество, тогда Икс_c - характеристика, используемая для его масштабирования.

В качестве наглядного примера рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянные коэффициенты:

${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$

1. В этом уравнении независимая переменная здесь т, а зависимая переменная Икс.
2. Набор ${\displaystyle x=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c}}$. Это приводит к уравнению

   ${\displaystyle a{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).}$

3. Коэффициент наивысшего упорядоченного члена стоит перед первым членом производной. Деление на это дает

   ${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{c}}{a}}\chi ={\frac {At_{c}}{ax_{c}}}F(\tau ).}$

4. Коэффициент перед χ содержит только одну характеристическую переменную т_c, поэтому проще всего сначала установить его на единицу:

   ${\displaystyle {\frac {bt_{c}}{a}}=1\Rightarrow t_{c}={\frac {a}{b}}.}$ Впоследствии ${\displaystyle {\frac {At_{c}}{ax_{c}}}={\frac {A}{bx_{c}}}=1\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{b}}.}$

5. Окончательное безразмерное уравнение в этом случае становится полностью независимым от каких-либо параметров с единицами измерения:

   ${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$

Замены

Предположим для простоты, что некоторая система характеризуется двумя переменными - зависимой переменной Икс и независимая переменная т, куда Икс это функция из т. Обе Икс и т представляют количества с единицами измерения. Чтобы масштабировать эти две переменные, предположим, что есть две внутренние единицы измерения. Икс_c и т_c с теми же единицами, что и Икс и т соответственно такие, что выполняются эти условия:

${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{c}}}\Rightarrow t=\tau t_{c}}$

${\displaystyle \chi ={\frac {x}{x_{c}}}\Rightarrow x=\chi x_{c}.}$

Эти уравнения используются для замены Икс и т при обезразмеривании. Если для описания исходной системы необходимы дифференциальные операторы, их масштабированные аналоги становятся безразмерными дифференциальными операторами.

Дифференциальные операторы

Рассмотрим отношения

${\displaystyle \,\!t=\tau t_{c}\Rightarrow dt=t_{c}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{c}}}.}$

Безразмерные дифференциальные операторы относительно независимой переменной принимают вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{t_{c}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$

Функция принуждения

Если в системе есть принудительная функция ${\displaystyle \,\!f(t)}$ тогда

${\displaystyle \,\!f(t)=f(\tau t_{c})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$

Следовательно, новая функция принуждения ${\displaystyle \,\!F}$ сделана зависимой от безразмерной величины ${\displaystyle \,\!\tau }$.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Система первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение для системы первого порядка:

${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$

В происхождение характеристических единиц для этой системы дает

${\displaystyle t_{c}={\frac {a}{b}},\ x_{c}={\frac {A}{b}}.}$

Система второго порядка

Система второго порядка имеет вид

${\displaystyle a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).}$

Шаг замены

Заменить переменные Икс и т с их масштабируемыми количествами. Уравнение становится

${\displaystyle a{\frac {x_{c}}{t_{c}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})=AF(\tau ).}$

Это новое уравнение не безразмерно, хотя все переменные с единицами измерения изолированы в коэффициентах. Разделив на коэффициент при наивысшем упорядоченном члене, уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{c}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+t_{c}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}F(\tau ).}$

Теперь необходимо определить количество Икс_c и т_c так что коэффициенты нормализованы. Поскольку есть два свободных параметра, не более двух коэффициентов можно сделать равными единице.

Определение характерных единиц

Рассмотрим переменную т_c:

1. Если ${\displaystyle t_{c}={\frac {a}{b}}}$ член первого порядка нормализован.
2. Если ${\displaystyle t_{c}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$ член нулевого порядка нормирован.

Обе замены действительны. Однако по педагогическим причинам последняя замена используется для систем второго порядка. Выбор этой замены позволяет Икс_c определяется путем нормировки коэффициента функции принуждения:

${\displaystyle 1={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}={\frac {A}{cx_{c}}}\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{c}}.}$

Дифференциальное уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$

Коэффициент при члене первого порядка безразмерен. Определять

${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$

Фактор 2 присутствует, так что решения могут быть параметризованы с помощью ζ. В контексте механических или электрических систем ζ известен как коэффициент демпфирования, и является важным параметром, необходимым при анализе Системы управления. 2ζ также известен как ширина линии системы. Результатом определения является уравнение универсального осциллятора.

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$

Системы высшего порядка

Общее линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {dx(t)}{dt}}+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\frac {d^{k}x(t)}{dt^{k}}}=Af(t).}$

Функция ж(т) известен как принудительная функция.

Если дифференциальное уравнение содержит только действительные (не комплексные) коэффициенты, то свойства такой системы ведут себя как смесь систем только первого и второго порядка. Это потому, что корни своего характеристический многочлен либо настоящий, или же комплексно сопряженный пары. Следовательно, понимание того, как обезразмеривание применяется к системам первого и второго порядка, позволяет определять свойства систем более высокого порядка посредством суперпозиция.

Количество свободных параметров в безразмерной форме системы увеличивается с ее порядком. По этой причине обезразмеривание редко используется для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Потребность в этой процедуре также уменьшилась с появлением символьное вычисление.

Примеры восстановления характеристических единиц

Множество систем можно аппроксимировать как системы первого или второго порядка. К ним относятся механические, электрические, гидравлические, калорические и крутильные системы. Это связано с тем, что фундаментальные физические величины, участвующие в каждом из этих примеров, связаны производными первого и второго порядка.

Механические колебания

Масса прикреплена к пружине и амортизатору.

Предположим, у нас есть масса, прикрепленная к пружине и амортизатору, которые, в свою очередь, прикреплены к стене, и сила, действующая на массу по той же линии.

${\displaystyle x}$ = смещение от равновесия [м]

${\displaystyle t}$ = время [с]

${\displaystyle f}$ = внешняя сила или "возмущение", приложенное к системе [кг м с⁻²]

${\displaystyle m}$ = масса блока [кг]

${\displaystyle B}$ = постоянная демпфирования демпфера [кг с⁻¹]

${\displaystyle k}$ = силовая постоянная пружины [кг с⁻²]

Предположим, что приложенная сила представляет собой синусоиду F = F₀ cos (ωт) дифференциальное уравнение, описывающее движение блока, имеет вид

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$

Безразмерное выражение этого уравнения так же, как описано в разделе система второго порядка дает несколько характеристик системы.

Внутренняя единица Икс_c соответствует расстоянию, на которое блок перемещается на единицу силы

${\displaystyle x_{c}={\frac {F_{0}}{k}}.}$

Характеристическая переменная т_c равен периоду колебаний

${\displaystyle t_{c}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

и безразмерная переменная 2ζ соответствует ширине линии системы. ζ сам по себе коэффициент демпфирования.

${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$

Электрические колебания

RC-цепь первого порядка

Для серии RC прикреплен к источник напряжения

${\displaystyle R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )}$

с заменами

${\displaystyle Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}=RC,\ F=V.}$

Первая характеристическая единица соответствует общему обвинять в цепи. Вторая характеристическая единица соответствует постоянная времени для системы.

Схема последовательного RLC второго порядка

Для серийной конфигурации р,C,L компоненты, где Q это заряд в системе

${\displaystyle L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )}$

с заменами

${\displaystyle Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ \ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{c}\omega .}$

Первая переменная соответствует максимальному заряду, хранящемуся в цепи. Резонансная частота задается величиной, обратной характеристическому времени. Последнее выражение - это ширина линии системы. Ω можно рассматривать как нормированную частоту вынуждающей функции.

Квантовая механика

Квантовый гармонический осциллятор

В Уравнение Шредингера для одномерного не зависящего от времени квантовый гармонический осциллятор является

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$

Квадрат модуля упругости волновая функция |ψ(Икс)|² представляет собой плотность вероятности, которая при интегрировании Икс, дает безразмерную вероятность. Следовательно, |ψ(Икс)|² имеет единицы обратной длины. Чтобы сделать это безразмерным, его необходимо переписать как функцию безразмерной переменной. Для этого подставляем

${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$

куда Икс_c - некоторая характерная длина этой системы. Это дает нам безразмерную волновую функцию ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ определяется через

${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$

Сделать срок перед ${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$ безразмерный, набор

${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$

Полностью безразмерное уравнение:

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$

где мы определили

${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$

Фактор перед ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ на самом деле (по совпадению) основное состояние энергия гармонического осциллятора. Обычно энергетический член не делается безразмерным, поскольку нас интересует определение энергии квантовые состояния. Преобразуя первое уравнение, знакомое уравнение для гармонического осциллятора становится

${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$

Статистические аналоги

Основная статья: Нормализация (статистика)

В статистика аналогичный процесс обычно делит разницу (расстояние) на масштабный коэффициент (мера статистическая дисперсия ), что дает безразмерное число, которое называется нормализация. Чаще всего это деление ошибки или остатки посредством стандартное отклонение или стандартное отклонение выборки, соответственно, давая стандартные баллы и стьюдентизированные остатки.

Смотрите также

• Теорема Букингема π
• Безразмерное число
• Натуральные единицы
• Системная эквивалентность
• Схема RLC
• Цепь RL
• RC схема
• Логистическое уравнение

внешняя ссылка

• Анализ моделей дифференциальных уравнений в биологии: пример популяций меристемы клевера (Применение обезразмеривания к проблеме в биологии).
• Примечания к курсу математического моделирования и промышленной математики Джонатан Эванс, Отдел математических наук, Университет Бата. (см. главу 3).
• Масштабирование дифференциальных уравнений Ханс Петтер Лангтанген, Гейр К. Педерсен, Центр биомедицинских вычислений, Исследовательская лаборатория Simula и Департамент информатики, Университет Осло.