Функция Эйри - Airy function

Эта статья посвящена специальной функции Эйри. Для функции напряжения Эйри, используемой в механике твердого тела, см. Стресс-функции.

В физических науках Функция Эйри (или же Функция Эйри первого рода) Ай (Икс) это специальная функция назван в честь британского астронома Джордж Бидделл Эйри (1801–1892). Функция Ai (Икс) и связанная функция Би (Икс), являются линейно независимыми решениями дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,\,\!}$

известный как Уравнение Эйри или Уравнение Стокса. Это простейший второй порядок линейное дифференциальное уравнение с точкой поворота (точка, в которой характер решения меняется с колебательного на экспоненциальный).

Функция Эйри - это решение не зависящее от времени уравнение Шредингера для частицы, заключенной в треугольник потенциальная яма и для частицы в одномерном поле постоянной силы. По той же причине он также служит для обеспечения однородных полуклассических приближений вблизи точки поворота в Приближение ВКБ, когда потенциал может быть локально аппроксимирован линейной функцией положения. Решение с треугольной потенциальной ямой имеет прямое отношение к пониманию электронов, захваченных в полупроводнике. гетеропереходы.

Функция Эйри также лежит в основе формы интенсивности вблизи оптического направленного едкий, например, радуга. Исторически именно эта математическая проблема привела Эйри к разработке этой специальной функции.

А другая функция который также назван в честь Эйри, важен в микроскопия и астрономия; он описывает шаблон, из-за дифракция и вмешательство, произведенный точечный источник света (который намного меньше, чем предел разрешения микроскоп или же телескоп ).

Определения

Сюжет Ай (Икс) красным цветом и Bi (Икс) в синем

Для реальных значений Икс, функция Эйри первого рода может быть определена неподходящий Интеграл Римана:

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,}$

который сходится Тест Дирихле. Для любого реального числа ${\displaystyle x}$ есть положительное действительное число ${\displaystyle M}$ такая, что функция ${\displaystyle {\dfrac {t^{3}}{3}}+xt}$ является возрастающей, неограниченной и выпуклой с непрерывной и неограниченной производной на интервале ${\displaystyle [M,\infty )}$. Сходимость интеграла на этом интервале проверяется критерием Дирихле после подстановки ${\displaystyle u={\dfrac {t^{3}}{3}}+xt}$.

у = Ai (Икс) удовлетворяет уравнению Эйри

${\displaystyle y''-xy=0.}$

Это уравнение имеет два линейно независимый решения. С точностью до скалярного умножения Ai (Икс) является решением с условием у → 0 как Икс → ∞. Стандартный выбор для другого решения - функция Эйри второго рода, обозначенная Bi (Икс). Он определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и Ai (Икс) в качестве Икс → −∞, отличающееся по фазе на π / 2:

${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.}$

Характеристики

Значения Ai (Икс) и Bi (Икс) и их производные при Икс = 0 даются

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {2}{3}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{\frac {1}{3}}\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {1}{6}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{\frac {1}{6}}}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}$

Здесь Γ обозначает Гамма-функция. Отсюда следует, что Вронскиан Ай (Икс) и Bi (Икс) равно 1 / π.

Когда Икс положительно, Ai (Икс) положительно, выпуклый, и экспоненциально убывает до нуля, а Bi (Икс) положительный, выпуклый и экспоненциально возрастающий. Когда Икс отрицательно, Ai (Икс) и Bi (Икс) колеблются около нуля с постоянно увеличивающейся частотой и постоянно уменьшающейся амплитудой. Это подтверждается приведенными ниже асимптотическими формулами для функций Эйри.

Функции Эйри ортогональны^[1] в том смысле, что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)}$

снова с использованием несобственного интеграла Римана.

Асимптотические формулы

Ai (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Ai (пурпурный)

Bi (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Bi (пурпурный)

Как объясняется ниже, функции Эйри могут быть расширены до комплексной плоскости, давая целые функции. Асимптотика функций Эйри при | z | уходит в бесконечность при постоянном значении аргумент (z) зависит от arg (z): это называется Феномен Стокса. Для | arg (z) | <π имеем асимптотическая формула для Ai (z):^[2]

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

и аналогичный для Bi (z), но применимо только когда | arg (z) | <π / 3:

${\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

Более точная формула для Ai (z) и формулу для Bi (z), когда π / 3 <| arg (z) | <π или, что то же самое, для Ai (-z) и Bi (-z), когда | arg (z) | <2π / 3, но не равны нулю:^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right].\end{aligned}}}$

Когда | arg (z) | = 0 это хорошие приближения, но они не являются асимптотическими, потому что отношение между Ai (-z) или Bi (-z), и указанное выше приближение стремится к бесконечности всякий раз, когда синус или косинус стремится к нулю.Асимптотические разложения для этих лимитов также доступны. Они перечислены в (Abramowitz and Stegun, 1954) и (Olver, 1974).

Также можно получить асимптотические выражения для этих производных Ai '(z) и Bi' (z). Как и раньше, когда | arg (z) | <π:^[3]

${\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

Когда | arg (z) | <π / 3, мы имеем:^[3]

${\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

Аналогично, выражение для Ai '(-z) и Bi '(-z), когда | arg (z) | <2π / 3, но не равны нулю.^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\end{aligned}}}$

Сложные аргументы

Мы можем расширить определение функции Эйри на комплексную плоскость следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}$

где интеграл по пути C начиная с бесконечности с аргументом −π / 3 и заканчивая бесконечной точкой с аргументом π / 3. В качестве альтернативы мы можем использовать дифференциальное уравнение у′′ − ху = 0 для продолжения Ai (Икс) и Bi (Икс) к целые функции на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai (Икс) по-прежнему действует в комплексной плоскости, если главное значение Икс^2/3 взят и Икс отделен от отрицательной действительной оси. Формула для Bi (Икс) действительно при условии Икс находится в секторе {Икс ∈ C : | arg (Икс) | <(π / 3) −δ} для некоторого положительного δ. Наконец, формулы для Ai (-Икс) и Bi (-Икс) действительны, если Икс находится в секторе {Икс ∈ C : | arg (Икс) | <(2π / 3) −δ}.

Из асимптотики функций Эйри следует, что как Ai (Икс) и Bi (Икс) имеют бесконечное количество нулей на отрицательной действительной оси. Функция Ai (Икс) других нулей на комплексной плоскости нет, а функция Bi (Икс) также имеет бесконечно много нулей в секторе {z ∈ C : π / 3 <| arg (z) | <π / 2}.

Сюжеты

${\displaystyle \Re \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\operatorname {Ai} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]\,}$

${\displaystyle \Re \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\operatorname {Bi} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]\,}$

Отношение к другим специальным функциям

Для положительных аргументов функции Эйри связаны с модифицированные функции Бесселя:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+I_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Здесь, я_±1/3 и K_1/3 являются решениями

${\displaystyle x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$

Первая производная функции Эйри равна

${\displaystyle \operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{\frac {2}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right).}$

Функции K_1/3 и K_2/3 можно представить в виде быстро сходящихся интегралов^[4] (смотрите также модифицированные функции Бесселя )

Для отрицательных аргументов функция Эйри связана с Функции Бесселя:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left(J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right),\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)-J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Здесь, J_±1/3 являются решениями

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$

В Функции секретаря Здравствуй(x) и -Gi(x) решить уравнение у′′ − ху = 1 / π. Их также можно выразить в терминах функций Эйри:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}$

преобразование Фурье

Используя определение функции Эйри Ai (Икс) несложно показать его преобразование Фурье дан кем-то

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.}$

Другие варианты использования термина функция Эйри

Коэффициент пропускания интерферометра Фабри – Перо.

«Функция Эйри» в смысле пропускания интерферометра Фабри-Перо.

Функция пропускания Интерферометр Фабри – Перо также называется Воздушная функция:^[5]

${\displaystyle T_{e}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}({\frac {\delta }{2}})}},}$

где обе поверхности имеют отражательную способность р и

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

это коэффициент ловкости.

Дифракция на круглом отверстии

«Функция Эйри» в смысле дифракции на круговой апертуре.

Самостоятельно, как третье значение термина, форма Диск Эйри в результате волны дифракция на круглой апертуре иногда также обозначается как Функция Эйри (см., например, здесь ). Эта функция тесно связана с Функция Бесселя.

История

Функция Эйри названа в честь Британский астроном и физик Джордж Бидделл Эйри (1801–1892), который столкнулся с этим в своем раннем исследовании оптика по физике (Эйри 1838). Обозначение Ai (Икс) был представлен Гарольд Джеффрис. Эйри стал британцем Королевский астроном в 1835 году и занимал этот пост до выхода на пенсию в 1881 году.

Смотрите также

• Доказательство Гипотеза Виттена использовал матричнозначное обобщение функции Эйри.
• Дзета-функция Эйри

Примечания

1. Дэвид Э. Аспнес, Physical Review, 147, 554 (1966)
2. Абрамовиц и Стегун (1970, п.448 ) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFAbramowitzStegun1970 (помощь), Уравнения 10.4.59, 10.4.61
3. Абрамовиц и Стегун (1970, п.448 ) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFAbramowitzStegun1970 (помощь), Уравнения 10.4.60 и 10.4.64
4. М.Х. Хоконов. Каскадные процессы потери энергии излучением жестких фотонов // ЖЭТФ, Т.99, №4, с. 690-707 (2004).
5. Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-11609-X. Разд. 9,6

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 10». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972); первое изд.) Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 446. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Эйри (1838), «Об интенсивности света в окрестности каустики», Труды Кембриджского философского общества, University Press, 6: 379–402, Bibcode:1838TCaPS ... 6..379A
• Фрэнк Уильям Джон Олвер (1974). Асимптотики и специальные функции, Глава 11. Academic Press, Нью-Йорк.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.6.3. Функции Эйри», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8
• Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), Функции Эйри и приложения к физике, Лондон: Imperial College Press, ISBN  978-1-86094-478-9, МИСТЕР  2114198, заархивировано из оригинал на 13.01.2010, получено 2010-05-14

внешняя ссылка

• «Функции Эйри», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Эйри». MathWorld.
• Страницы функций Wolfram для Ай и Би функции. Включает формулы, средство оценки функций и калькулятор построения графиков.
• Олвер, Ф. В. Дж. (2010), «Эйри и родственные функции», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248