Дзета-функция Эйри - Airy zeta function

В математика, то Дзета-функция Эйри, изученный Крэндалл (1996), является функцией, аналогичной функции Дзета-функция Римана и связанных с нулями Функция Эйри.

Определение

Функции Эйри Ai и Bi

Функция Эйри

${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\,dt,}$

положительный для положительного Икс, но колеблется при отрицательных значениях Икс; последовательность значений Икс для которого Ai (Икс) = 0, отсортированные по абсолютным значениям, называются нулями Эйри и обозначаются а₁, а₂, ...

Дзета-функция Эйри - это функция, определяемая из этой последовательности нулей рядом

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{i}|^{s}}}.}$

Этот ряд сходится, когда реальная часть из s больше 3/2 и может быть увеличено на аналитическое продолжение к другим значениям s.

Оценка в целых числах

Как и дзета-функция Римана, значение которой ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ это решение Базельская проблема, дзета-функция Эйри может быть точно вычислена при s = 2:

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}^{2}}}={\frac {3^{5/3}\Gamma ^{4}({\frac {2}{3}})}{4\pi ^{2}}},}$

где Γ - Гамма-функция, непрерывный вариант факториал.Подобные оценки также возможны для больших целых значений s.

Предполагается, что аналитическое продолжение дзета-функции Эйри дает оценку от 1 до

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(1)={\frac {-3^{-2/3}\Gamma ({\frac {2}{3}})}{\Gamma ({\frac {4}{3}})}}.}$

Рекомендации

• Крэндалл, Ричард Э. (1996), "О квантовой дзета-функции", Журнал физики A: математические и общие, 29 (21): 6795–6816, Bibcode:1996JPhA ... 29.6795C, Дои:10.1088/0305-4470/29/21/014, ISSN  0305-4470, МИСТЕР  1421901

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Дзета-функция Эйри". MathWorld.