Приближение ВКБ - WKB approximation

Для использования в других целях см. WKB (значения).

В математическая физика, то Приближение ВКБ или Метод ВКБ представляет собой метод нахождения приближенных решений линейных дифференциальных уравнений с пространственно изменяющимися коэффициентами. Обычно он используется для полуклассических расчетов в квантовая механика в котором волновая функция преобразуется в экспоненциальную функцию, полуклассически расширяется, а затем считается, что либо амплитуда, либо фаза меняются медленно.

Название - инициализм для Вентцель – Крамерс – Бриллюэн. Он также известен как LG или Метод Лиувилля – Грина. Другие часто используемые комбинации букв включают JWKB и WKBJ, где «J» означает Джеффрис.

Краткая история

Этот метод назван в честь физиков. Грегор Вентцель, Хендрик Энтони Крамерс, и Леон Бриллюэн, который разработал его в 1926 году. В 1923 году математик Гарольд Джеффрис разработал общий метод аппроксимации решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка, класс, который включает Уравнение Шредингера. Само уравнение Шредингера было разработано двумя годами позже, а Вентцель, Крамерс и Бриллюэн, по-видимому, не знали об этой более ранней работе, поэтому Джеффрису часто пренебрегают. Ранние тексты по квантовой механике содержат любое количество комбинаций своих инициалов, включая WBK, BWK, WKBJ, JWKB и BWKJ. Авторитетное обсуждение и критический обзор были даны Робертом Б. Динглом.^[1]

Более ранние появления по существу эквивалентных методов: Франческо Карлини в 1817 г., Джозеф Лиувиль в 1837 г., Джордж Грин в 1837 г., Лорд Рэйли в 1912 г. и Ричард Ганс в 1915 году. Можно сказать, что Лиувилль и Грин основали этот метод в 1837 году, и его также обычно называют методом Лиувилля – Грина или методом LG.^[2][3]

Важным вкладом Джеффриса, Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна в этот метод было включение лечения поворотные моменты, подключив мимолетный и колебательный решения по обе стороны от поворотной точки. Например, это может произойти в уравнении Шредингера из-за потенциальная энергия холм.

Метод ВКБ

Обычно теория ВКБ - это метод аппроксимации решения дифференциального уравнения, старшая производная умножается на малый параметр ε. Метод аппроксимации следующий.

Для дифференциального уравнения

${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$

принять решение в виде асимптотический ряд расширение

${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$

в пределе δ → 0. Асимптотическое масштабирование δ с точки зрения ε будет определяться уравнением - см. пример ниже.

Подставляя указанное выше анзац в дифференциальное уравнение и сокращение экспоненциальных членов позволяет решить для произвольного числа членов S_п(Икс) в расширении.

Теория ВКБ - частный случай многомасштабный анализ.^[4][5][6]

Пример

Этот пример взят из текста Карл М. Бендер и Стивен Орзаг.^[6] Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$

где ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$. Подстановка

${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$

приводит к уравнению

${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).}$

Чтобы ведущий заказ (предполагая на данный момент, что ряд будет асимптотически согласованным), вышеизложенное можно аппроксимировать как

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$

В пределе δ → 0, то доминирующий баланс дан кем-то

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$

Так δ пропорционально ε. Уравнивание и сравнение мощностей дает

${\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),}$

который можно признать Уравнение эйконала, с решением

${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt.}$

Учитывая степени первого порядка ε исправления

${\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$

Это одномерный уравнение переноса, имея решение

${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$

где k₁ - произвольная постоянная.

Теперь у нас есть пара приближений к системе (пара, потому что S₀ может принять два знака); WKB-приближение первого порядка будет линейной комбинацией двух:

${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].}$

Члены более высокого порядка можно получить, рассматривая уравнения для более высоких степеней δ. Ясно,

${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0}$

для п ≥ 2.

Точность асимптотического ряда.

Асимптотический ряд для у (х) обычно расходящийся ряд, чей общий термин δ^п S_п(Икс) начинает увеличиваться после определенного значения п=п_{Максимум}. Следовательно, наименьшая ошибка, достигаемая методом WKB, в лучшем случае имеет порядок последнего включенного члена.

Для уравнения

${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$

с участием Q (х) <0 аналитическая функция, значение ${\displaystyle n_{\max }}$ а величину последнего члена можно оценить следующим образом:^[7]

${\displaystyle n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$

${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],}$

где ${\displaystyle x_{0}}$ это точка, в которой ${\displaystyle y(x_{0})}$ необходимо оценить и ${\displaystyle x_{\ast }}$ - (комплексная) точка поворота, где ${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$, ближайший к ${\displaystyle x=x_{0}}$.

Число п_{Максимум} можно интерпретировать как количество колебаний между ${\displaystyle x_{0}}$ и ближайший поворотный момент.

Если ${\displaystyle \epsilon ^{-1}Q(x)}$ медленно меняющаяся функция,

${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},}$

число п_{Максимум} будет большим, а минимальная ошибка асимптотического ряда будет экспоненциально малой.

Приложение к уравнению Шредингера

ВКБ приближение к указанному потенциалу. Вертикальные линии показывают поворотные точки

Плотность вероятности приближенной волновой функции. Вертикальные линии показывают поворотные точки

Приведенный выше пример может быть применен конкретно к одномерному, не зависящему от времени Уравнение Шредингера,

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$

который можно переписать как

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$

Приближение от точек поворота

Волновую функцию можно переписать как экспоненту другой функции Φ (который тесно связан с действие ), что может быть сложным,

${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$

так что

${\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),}$

где Φ 'обозначает производную от Φ относительно Икс. Эта производная Φ 'можно разделить на действительную и мнимую части, введя действительные функции А и B,

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x).}$

Тогда амплитуда волновой функции равна

${\displaystyle \exp \left[\int _{x_{0}}^{x}A(x')\,dx'\right],}$

пока фаза

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}B(x')\,dx'.}$

Действительная и мнимая части уравнения Шредингера тогда становятся

${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),}$

${\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0.}$

Далее используется квазиклассическое приближение. Это означает, что каждая функция раскрывается в виде степенного ряда в час. Из приведенных выше уравнений видно, что степенной ряд должен начинаться по крайней мере с порядка 1 /час чтобы удовлетворить действительную часть уравнения. Чтобы достичь хорошего классического предела, необходимо начинать с постоянной Планка как можно большей степени. час по возможности:

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x),}$

${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x).}$

В нулевом порядке в этом разложении условия на А и B можно написать,

${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right),}$

${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;.}$

Первые производные А '(х) и В '(х) были отброшены, так как они включают факторы порядка 1 /час, выше доминирующего час⁻².

Тогда, если амплитуда изменяется достаточно медленно по сравнению с фазой (${\displaystyle A_{0}(x)=0}$), это следует из того

${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}},}$

что справедливо только тогда, когда полная энергия больше, чем потенциальная энергия, как всегда в случае классическое движение.

После такой же процедуры в следующем порядке расширения следует, что

${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{\theta +i\int \hbar ^{-1}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}}{\hbar ^{-1/2}{\sqrt[{4}]{2m\left(E-V(x)\right)}}}}.}$

С другой стороны, если фаза изменяется медленно (по сравнению с амплитудой), (${\displaystyle B_{0}(x)=0}$) тогда

${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}},}$

что справедливо только тогда, когда потенциальная энергия больше полной энергии (режим, в котором квантовое туннелирование происходит).

Нахождение следующего порядка расширения дает, как в примере из предыдущего раздела,^[8]

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{\int \hbar ^{-1}{\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,dx}+C_{-}e^{-\int \hbar ^{-1}{\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,dx}}{\hbar ^{-1/2}{\sqrt[{4}]{2m\left(V(x)-E\right)}}}}.}$

В классически разрешенном регионе, а именно в регионе, где ${\displaystyle V(x)<E}$ подынтегральное выражение в показателе экспоненты является мнимым, а приближенная волновая функция - колебательной. В классически запретном регионе ${\displaystyle V(x)>E}$, решения растут или разрушаются. В знаменателе видно, что оба этих приближенных решения становятся сингулярными вблизи классического поворотные моменты, где E = V (х), и не может быть действительным. (Точки поворота - это точки, в которых классическая частица меняет направление.)

Поведение возле поворотных точек

Рассмотрим теперь поведение волновой функции вблизи точек поворота. Для этого нам понадобится другой метод. Рядом с первыми поворотными точками, Икс₁, период, термин ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ может быть расширен в степенной ряд,

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$

В первую очередь можно найти

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$

Это дифференциальное уравнение известно как Уравнение Эйри, и решение можно записать в терминах Воздушные функции,^[9]

${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right).}$

Хотя для любого фиксированного значения ${\displaystyle \hbar }$, волновая функция ограничена около точек поворота, волновая функция будет иметь максимум там, как это видно на изображениях выше. Так как ${\displaystyle \hbar }$ становится меньше, высота волновой функции в точках поворота растет.

Условия согласования

Теперь осталось построить глобальное (приближенное) решение уравнения Шредингера. Чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой, мы должны взять только экспоненциально убывающее решение в двух классически запрещенных областях. Затем они должны надлежащим образом «соединиться» через поворотные точки с классически разрешенной областью. Для большинства значений E, эта процедура сопоставления не будет работать: функция, полученная путем соединения решения рядом с ${\displaystyle +\infty }$ в классически разрешенную область не согласуется с функцией, полученной путем соединения решения вблизи ${\displaystyle -\infty }$ в классически разрешенный регион. Требование согласования двух функций накладывает условие на энергию E, что даст приближение к точным квантовым уровням энергии.

Учитывая два коэффициента по одну сторону от классической точки поворота, 2 коэффициента по другую сторону от классической точки поворота можно определить с помощью функции Эйри для их соединения. Таким образом, связь между ${\displaystyle C_{0},\theta }$ и ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$ может быть найден. Это соотношение получается с использованием известной асимптотики функции Эйри. Связь может быть следующей (часто называемой «формулой связи»):^[10]

${\displaystyle C_{+}=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)},}$

${\displaystyle C_{-}=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

Теперь можно строить глобальные (приближенные) решения. То же самое можно сделать в других поворотных точках; Предположим, есть еще один, Икс₂. Выражение там, однако, будет отличаться от того, которое определено выше в Икс₁ различием аргументов этих тригонометрических функций.

Условие согласования, необходимое для получения однозначного приближенного решения, интегрируемого с квадратом, принимает следующий вид:

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n+1/2)\pi \hbar ,}$

где ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ - точки поворота обсуждаемого потенциала, где подынтегральное выражение обращается в нуль. Вот п - целое неотрицательное число. Это условие также можно переписать так:

Площадь, ограниченная классической кривой энергии, равна ${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$.

В любом случае условие на энергию - это версия Квантование Бора – Зоммерфельда состояние, с "Поправка Маслова "равный 1/2.^[11]

Можно показать, что после объединения аппроксимаций в различных областях можно получить хорошее приближение к фактической собственной функции. В частности, энергии Бора – Зоммерфельда с поправкой на Маслова являются хорошими приближениями к действительным собственным значениям оператора Шредингера.^[12] В частности, ошибка в энергиях мала по сравнению с типичным расстоянием между квантовыми уровнями энергии. Таким образом, хотя «старая квантовая теория» Бора и Зоммерфельда была в конечном итоге заменена уравнением Шредингера, некоторые пережитки этой теории остались в качестве приближения к собственным значениям соответствующего оператора Шредингера.

Плотность вероятности

Затем можно вычислить плотность вероятности, связанную с приближенной волновой функцией. Вероятность того, что квантовая частица окажется в классически запрещенной области, мала. В то же время в классически разрешенной области вероятность того, что квантовая частица будет обнаружена в заданном интервале, приблизительно равна доля времени, которую классическая частица проводит в этом интервале за один период движения.^[13] Поскольку скорость классической частицы стремится к нулю в точках поворота, она проводит больше времени около точек поворота, чем в других классически разрешенных областях. Это наблюдение объясняет пик волновой функции (и ее плотность вероятности) вблизи точек поворота.

Приложения метода ВКБ к уравнениям Шредингера с большим разнообразием потенциалов и сравнение с методами возмущений и интегралами по траекториям рассматриваются в Мюллер-Кирстен.^[14]

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Немедленное включение
• Функция Эйри
• Автоэлектронная эмиссия
• Коррекция Лангера
• Индекс Маслова
• Метод крутого спуска
• Метод согласованных асимптотических разложений.
• Старая квантовая теория
• Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера.
• Методы возмущений
• Квантовое туннелирование
• Приближение медленно меняющейся огибающей
• Суперсимметричное приближение ВКБ

использованная литература

1. Роберт Бэлсон Дингл, Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация (Academic Press, 1973).
2. Адриан Э. Гилл (1982). Динамика атмосферы и океана. Академическая пресса. п.297. ISBN  978-0-12-283522-3. Лиувилль-Грин WKBJ WKB.
3. Ренато Спиглер и Марко Вианелло (1998). "Обзор приближения Лиувилля – Грина (ВКБ) для линейных разностных уравнений второго порядка". В Сабер Элайди; I. Győri & G.E. Ladas (ред.). Успехи в разностных уравнениях: материалы Второй Международной конференции по разностным уравнениям: Веспрем, Венгрия, 7–11 августа 1995 г.. CRC Press. п. 567. ISBN  978-90-5699-521-8.
4. Филиппи, Пол (1999). Акустика: основы физики, теория и методы. Академическая пресса. п. 171. ISBN  978-0-12-256190-0.
5. Kevorkian, J .; Коул, Дж. Д. (1996). Методы множественных масштабов и сингулярных возмущений. Springer. ISBN  0-387-94202-5.
6. Бендер, Карл М.; Орзаг, Стивен А. (1999). Современные математические методы для ученых и инженеров. Springer. С. 549–568. ISBN  0-387-98931-5.
7. Виницки, С. (2005). «Космологическое рождение частиц и точность приближения ВКБ». Phys. Ред. D. 72 (10): 104011, 14 с. arXiv:gr-qc / 0510001. Bibcode:2005PhRvD..72j4011W. Дои:10.1103 / PhysRevD.72.104011. S2CID  119152049.
8. Зал 2013 Раздел 15.4
9. Зал 2013 Раздел 15.5
10. Зал 2013 Утверждение 15.7.
11. Зал 2013 Раздел 15.2
12. Зал 2013 Теорема 15.8.
13. Зал 2013 Вывод 15.5
14. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд. (World Scientific, 2012).

Современные ссылки

• Бендер, Карл; Орзаг, Стивен (1978). Расширенные математические методы для ученых и инженеров. Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-004452-X.
• Чайлд, М. С. (1991). Полуклассическая механика с молекулярными приложениями. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  0-19-855654-3.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-111892-7.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Либофф, Ричард Л. (2003). Введение в квантовую механику (4-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN  0-8053-8714-5.
• Олвер, Фрэнк Уильям Джон (1974). Асимптотика и специальные функции.. Академическая пресса. ISBN  0-12-525850-X.
• Разавы, Мохсен (2003). Квантовая теория туннелирования. World Scientific. ISBN  981-238-019-1.
• Сакураи, Дж. Дж. (1993). Современная квантовая механика. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-53929-2.

Исторические ссылки

• Карлини, Франческо (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla soluzione del проблема Кеплеро. Милан.
• Лиувилль, Жозеф (1837 г.). "Sur le développement des fonctions et séries.". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1: 16–35.
• Грин, Джордж (1837 г.). «О движении волн в переменном канале малой глубины и ширины». Труды Кембриджского философского общества. 6: 457–462.
• Рэйли, лорд (Джон Уильям Струтт) (1912). «О распространении волн через стратифицированную среду, с особым акцентом на вопрос об отражении». Труды Королевского общества А. 86 (586): 207–226. Bibcode:1912RSPSA..86..207R. Дои:10.1098 / RSPA.1912.0014.
• Ганс, Ричард (1915). "Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium". Annalen der Physik. 47 (14): 709–736. Bibcode:1915АнП ... 352..709Г. Дои:10.1002 / andp.19153521402.
• Джеффрис, Гарольд (1924). «О некоторых приближенных решениях линейных дифференциальных уравнений второго порядка». Труды Лондонского математического общества. 23: 428–436. Дои:10.1112 / плмс / с2-23.1.428.
• Бриллюэн, Леон (1926). "La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de Resolution par аппроксимации последовательных". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 183: 24–26.
• Крамерс, Хендрик А. (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung". Zeitschrift für Physik. 39 (10–11): 828–840. Bibcode:1926ZPhy ... 39..828K. Дои:10.1007 / BF01451751. S2CID  122955156.
• Вентцель, Грегор (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik. 38 (6–7): 518–529. Bibcode:1926ZPhy ... 38..518W. Дои:10.1007 / BF01397171. S2CID  120096571.

внешние ссылки

• Фитцпатрик, Ричард (2002). "Приближение У.К.Б.". (Применение приближения ВКБ к рассеянию радиоволн от ионосферы.)