Оператор сжатия - Squeeze operator

В квантовая физика, то оператор сжатия для одиночной моды электромагнитного поля^[1]

${displaystyle {hat {S}}(z)=exp left({1 over 2}(z^{*}{hat {a}}^{2}-z{hat {a}}^{dagger 2})ight),qquad z=r,e^{i heta }}$

где операторы внутри экспоненциальный являются лестничные операторы. Это унитарный оператор и поэтому подчиняется ${displaystyle S(zeta )S^{dagger }(zeta )=S^{dagger }(zeta )S(zeta )={hat {1}}}$, куда ${displaystyle {hat {1}}}$ - тождественный оператор.

Его действие на операторы аннигиляции и созидания производит

${displaystyle {hat {S}}^{dagger }(z){hat {a}}{hat {S}}(z)={hat {a}}cosh r-e^{i heta }{hat {a}}^{dagger }sinh rqquad { ext{and}}qquad {hat {S}}^{dagger }(z){hat {a}}^{dagger }{hat {S}}(z)={hat {a}}^{dagger }cosh r-e^{-i heta }{hat {a}}sinh r}$

Оператор сжатия присутствует повсеместно в квантовая оптика и может работать в любом состоянии. Например, воздействуя на вакуум, оператор сжатия создает состояние сжатого вакуума.

Оператор отжима также может воздействовать на когерентные состояния и производить сжатые когерентные состояния. Оператор сжатия не коммутирует с оператор смещения:

${displaystyle {hat {S}}(z){hat {D}}(alpha )eq {hat {D}}(alpha ){hat {S}}(z),}$

при этом он не коммутируется с операторами лестничной диаграммы, поэтому нужно внимательно следить за тем, как используются операторы. Однако существует простое соотношение плетения: ${displaystyle {hat {D}}(alpha ){hat {S}}(z)={hat {S}}(z){hat {S}}^{dagger }(z){hat {D}}(alpha ){hat {S}}(z)={hat {S}}(z){hat {D}}(gamma ),qquad { ext{where}}qquad gamma =alpha cosh r+alpha ^{*}e^{i heta }sinh r}$ ^[2]

Применение обоих вышеуказанных операторов к вакууму дает сжатые когерентные состояния:

${displaystyle {hat {D}}(alpha ){hat {S}}(r)|0angle =|alpha ,rangle }$.

Вывод действия на операторы уничтожения и созидания

Как упоминалось выше, действие оператора сжатия ${displaystyle S(z)}$ на операторе уничтожения ${displaystyle a}$ можно записать как

$${displaystyle S^{dagger }(z)aS(z)=cosh(|z|)a-{frac {z}{|z|}}sinh(|z|)a^{dagger }.}$$

Чтобы вывести это равенство, определим (косоэрмитов) оператор ${displaystyle Aequiv (za^{dagger 2}-z^{*}a^{2})/2}$, так что ${displaystyle S^{dagger }=e^{A}}$.

Таким образом, левая часть равенства имеет вид ${displaystyle e^{A}ae^{-A}}$. Теперь мы можем воспользоваться общим равенством

$${displaystyle e^{A}Be^{-A}=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}[underbrace {A,[A,dots ,[A} _{k,{ ext{times}}},B]dots ]],}$$

что верно для любой пары операторов ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$. Вычислить ${displaystyle e^{A}ae^{-A}}$ таким образом сводится к проблеме вычисления повторяющихся коммутаторов между ${displaystyle A}$ и ${displaystyle a}$.Как нетрудно проверить, имеем

$${displaystyle [A,a]={frac {1}{2}}[za^{dagger 2}-z^{*}a^{2},a]={frac {z}{2}}[a^{dagger 2},a]=-za^{dagger },}$$

$${displaystyle [A,a^{dagger }]={frac {1}{2}}[za^{dagger 2}-z^{*}a^{2},a^{dagger }]=-{frac {z^{*}}{2}}[a^{2},a^{dagger }]=-z^{*}a.}$$

Используя эти равенства, получаем

${displaystyle [underbrace {A,[A,dots ,[A} _{n},a]dots ]]={egin{cases}|z|^{n}a,&{ ext{ for }}n{ ext{ even}},-z|z|^{n-1}a^{dagger },&{ ext{ for }}n{ ext{ odd}}.end{cases}}}$

так что наконец мы получаем

${displaystyle e^{A}ae^{-A}=asum _{k=0}^{infty }{frac {|z|^{2k}}{(2k)!}}-a^{dagger }{frac {z}{|z|}}sum _{k=0}^{infty }{frac {|z|^{2k+1}}{(2k+1)!}}=acosh |z|-a^{dagger }e^{i heta }sinh |z|.}$

Смотрите также

• Сжатое когерентное состояние

Рекомендации

1. Джерри, К. И Найт, П. (2005). Введение в квантовую оптику. Издательство Кембриджского университета. п. 182. ISBN  978-0-521-52735-4.
2. М. М. Нието и Д. Труакс (1995), «Преобразования Голштейна – Примакова / Боголюбова и мультибозонная система». arXiv:Quant-ph / 9506025. Дои:10.1002 / prop.2190450204. Уравнение (15). Обратите внимание, что в этой ссылке определение оператора сжатия (уравнение 12) отличается знаком минус внутри экспоненты, поэтому выражение ${displaystyle gamma }$ изменяется соответственно (${displaystyle heta ightarrow heta +pi }$).