Оператор смещения - Displacement operator

в квантовая механика исследование оптическое фазовое пространство, то оператор смещения для одного режима оператор смены в квантовая оптика,

{ displaystyle { hat {D}} ( alpha) = exp left ( alpha { hat {a}} ^ { dagger} - alpha ^ { ast} { hat {a}} верно)}

,

куда ${ displaystyle alpha}$ это величина смещения в оптическое фазовое пространство, ${ displaystyle alpha ^ {*}}$ является комплексным сопряжением этого смещения, и ${ displaystyle { hat {a}}}$ и ${ displaystyle { hat {a}} ^ { dagger}}$ являются операторы опускания и подъема, соответственно.

Название этого оператора происходит от его способности смещать локализованное состояние в фазовом пространстве на величину ${ displaystyle alpha}$ . Он также может воздействовать на состояние вакуума, перемещая его в когерентное состояние. Конкретно, ${ Displaystyle { шляпа {D}} ( альфа) | 0 rangle = | alpha rangle}$ куда ${ displaystyle | alpha rangle}$ это когерентное состояние, что является собственное состояние оператора аннигиляции (опускания).

Характеристики

Оператор смещения - это унитарный оператор, и поэтому подчиняется ${ displaystyle { hat {D}} ( alpha) { hat {D}} ^ { dagger} ( alpha) = { hat {D}} ^ { dagger} ( alpha) { hat {D}} ( alpha) = { hat {1}}}$ ,куда ${ displaystyle { hat {1}}}$ - тождественный оператор. С ${ displaystyle { hat {D}} ^ { dagger} ( alpha) = { hat {D}} (- alpha)}$ , то эрмитово конъюгат оператора смещения также можно интерпретировать как смещение противоположной величины ( ${ displaystyle - alpha}$ ). Эффект от применения этого оператора в преобразование подобия операторов лестницы приводит к их перемещению.

{ displaystyle { hat {D}} ^ { dagger} ( alpha) { hat {a}} { hat {D}} ( alpha) = { hat {a}} + alpha}

{ displaystyle { hat {D}} ( alpha) { hat {a}} { hat {D}} ^ { dagger} ( alpha) = { hat {a}} - alpha}

Произведение двух операторов смещения - это еще один оператор смещения, кроме фазового фактора, который имеет полное смещение как сумму двух отдельных смещений. Это можно увидеть, используя Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

{ displaystyle e ^ { alpha { hat {a}} ^ { dagger} - alpha ^ {*} { hat {a}}} e ^ { beta { hat {a}} ^ { кинжал} - beta ^ {*} { hat {a}}} = e ^ {( alpha + beta) { hat {a}} ^ { dagger} - ( beta ^ {*} + alpha ^ {*}) { hat {a}}} e ^ {( alpha beta ^ {*} - alpha ^ {*} beta) / 2}.}.}

который показывает нам, что:

{ Displaystyle { шляпа {D}} ( альфа) { шляпа {D}} ( бета) = е ^ {( альфа бета ^ {*} - альфа ^ {*} бета) / 2 } { hat {D}} ( alpha + beta)}

При воздействии на собственный узел фазовый фактор ${ Displaystyle е ^ {( альфа бета ^ {*} - альфа ^ {*} бета) / 2}}$ появляется в каждом члене результирующего состояния, что делает его физически несущественным.^[1]

Далее это приводит к соотношению плетения

{ displaystyle { hat {D}} ( alpha) { hat {D}} ( beta) = e ^ { alpha beta ^ {*} - alpha ^ {*} beta} { hat {D}} ( beta) { hat {D}} ( alpha)}

Альтернативные выражения

Тождество Кермака-МакКре дает два альтернативных способа выражения оператора смещения:

{ displaystyle { hat {D}} ( alpha) = e ^ {- { frac {1} {2}} | alpha | ^ {2}} e ^ {+ alpha { hat {a} } ^ { dagger}} e ^ {- alpha ^ {*} { hat {a}}}}

{ displaystyle { hat {D}} ( alpha) = e ^ {+ { frac {1} {2}} | alpha | ^ {2}} e ^ {- alpha ^ {*} { шляпа {а}}} е ^ {+ alpha { шляпа {а}} ^ { dagger}}}

Многомодовое смещение

Оператор смещения также может быть обобщен на многомодовое смещение. Оператор создания многомодового режима можно определить как

{ displaystyle { hat {A}} _ { psi} ^ { dagger} = int d mathbf {k} psi ( mathbf {k}) { hat {a}} ^ { dagger} ( mathbf {k})}

,

куда ${ displaystyle mathbf {k}}$ - волновой вектор, а его величина связана с частотой ${ displaystyle omega _ { mathbf {k}}}$ в соответствии с ${ displaystyle | mathbf {k} | = omega _ { mathbf {k}} / c}$ . Используя это определение, мы можем записать многомодовый оператор смещения как