Лемма Римана – Лебега. - Riemann–Lebesgue lemma

Лемма Римана – Лебега утверждает, что интеграл от функции, подобной приведенной выше, мал. Интеграл будет приближаться к нулю по мере увеличения числа колебаний.

В математика, то Лемма Римана – Лебега., названный в честь Бернхард Риманн и Анри Лебег, заявляет, что преобразование Фурье или Преобразование Лапласа из L¹ функция исчезает на бесконечности. Это важно в гармонический анализ и асимптотический анализ.

утверждение

Если ƒ является L¹ интегрируемый на р^d, т. е. если интеграл Лебега |ƒ| конечно, то преобразование Фурье из ƒ удовлетворяет

${\displaystyle {\hat {f}}(z)\equiv \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\exp(-iz\cdot x)\,dx\rightarrow 0{\text{ as }}|z|\rightarrow \infty .}$

Доказательство

Сначала предположим, что ${\displaystyle f(x)=\chi _{(a,b)}(x)}$, то индикаторная функция из открытый интервал.

Потом:

${\displaystyle \int f(x)e^{i\xi x}\,dx=\int _{a}^{b}e^{i\xi x}\,dx={\frac {e^{i\xi b}-e^{i\xi a}}{i\xi }}\rightarrow 0}$ так как ${\displaystyle |\xi |\rightarrow \infty }$

В силу аддитивности пределов то же самое верно для произвольного ступенчатая функция То есть для любой функции ${\displaystyle f}$ формы:

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\chi _{(a_{i},b_{i})},~~c_{i}\in \mathbb {R} ,~~a_{i}\leq b_{i}\in \mathbb {R} }$

У нас это:

${\displaystyle \lim _{|\xi |\rightarrow \infty }\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=0}$

Наконец, пусть ${\displaystyle f\in L^{1}}$быть произвольным.

Позволять ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} >0}$ быть исправленным.

Поскольку ступенчатые функции плотны в ${\displaystyle L^{1}}$, существует ступенчатая функция ${\displaystyle g}$ такой, что:

${\displaystyle \int \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx<\varepsilon }$

Согласно нашим предыдущим рассуждениям и определению предела сложной функции существует ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ такой, что для всех ${\displaystyle |\xi |>N}$:

${\displaystyle \left\vert \int g(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert <\varepsilon }$

По аддитивности интегралов:

${\displaystyle \int f(x)e^{i\xi x}\,dx=\int (f(x)-g(x))e^{i\xi x}\,dx+\int g(x)e^{i\xi x}\,dx}$

Посредством неравенство треугольника для комплексных чисел, [неравенство треугольника] для интегралов, мультипликативность модуля и Формула Эйлера:

${\displaystyle \left\vert \int f(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert \leq \int \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx+\left\vert \int g(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert }$

Для всех ${\displaystyle |\xi |>N}$, правая часть ограничена ${\displaystyle 2\varepsilon }$ согласно нашим предыдущим аргументам. ${\displaystyle \varepsilon }$ было произвольным, это устанавливает:

${\displaystyle \lim _{|\xi |\rightarrow \infty }\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=0}$

для всех ${\displaystyle f\in L^{1}}$.

Другие версии

Лемма Римана – Лебега верна во множестве других ситуаций.

• Если ƒ является L¹ интегрируема и носит носитель на (0, ∞), то лемма Римана – Лебега верна и для преобразования Лапласаƒ. Это,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt\to 0}$

как |z| → ∞ внутри полуплоскости Re (z) ≥ 0.

• Версия действует для Ряд Фурье а также: если ƒ - интегрируемая функция на интервале, то Коэффициенты Фурье из ƒ стремятся к 0 как п → ±∞,

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}\ \to \ 0.}$

Это следует путем расширения ƒ нулем вне интервала, а затем применяя версию леммы ко всей вещественной прямой.

• Аналогичное утверждение тривиально для L² функции. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что преобразование Фурье принимает L² к L² и такие функции имеют л² Ряд Фурье.

• Однако лемма делает не справедливы для произвольных распределений. Например, распределение дельта-функции Дирака формально имеет конечный интеграл по действительной прямой, но его преобразование Фурье является константой (точное значение зависит от формы используемого преобразования) и не обращается в нуль на бесконечности.

Приложения

Лемма Римана – Лебега может быть использована для доказательства справедливости асимптотических приближений для интегралов. Строгие методы лечения способ наискорейшего спуска и метод стационарной фазы, среди прочего, основаны на лемме Римана – Лебега.

Доказательство

Мы сосредоточимся на одномерном случае, доказательство в более высоких измерениях аналогично. Предположим сначала, что ƒ это компактно поддержанный гладкая функция. потом интеграция по частям дает

${\displaystyle \left|\int f(x)e^{-izx}\,dx\right|=\left|\int {\frac {1}{iz}}f'(x)e^{-izx}\,dx\right|\leq {\frac {1}{|z|}}\int |f'(x)|\,dx\rightarrow 0{\text{ as }}z\rightarrow \pm \infty .}$

Если ƒ - произвольная интегрируемая функция, ее можно аппроксимировать в L¹ нормой гладкой функцией с компактным носителем г. Выбери такой г так что ||ƒ − г||_L¹ < ε. потом

${\displaystyle \limsup _{z\rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{z\to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}\,dx\right|+\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)e^{-ixz}\,dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon ,}$

и поскольку это верно для любого ε > 0, следует теорема.

использованная литература

• Бохнер С., Чандрасекхаран К. (1949). Преобразования Фурье. Издательство Принстонского университета.
• Вайсштейн, Эрик В. "Лемма Римана – Лебега". MathWorld.
• https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Formula