Дискретный спектр (математика) - Discrete spectrum (mathematics)

В математике, особенно в спектральная теория, а дискретный спектр из замкнутый линейный оператор определяется как множество изолированных точек его спектра таких, что классифицировать соответствующих Проектор Рисса конечно.

Определение

Точка ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$в спектр ${\displaystyle \sigma (A)}$ из замкнутый линейный оператор ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ в Банахово пространство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ с домен ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}}$ Говорят, что принадлежит дискретный спектр ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)}$ из ${\displaystyle A}$ если выполнены следующие два условия:^[1]

1. ${\displaystyle \lambda }$ это изолированная точка в ${\displaystyle \sigma (A)}$;
2. В классифицировать соответствующих Проектор Рисса ${\displaystyle P_{\lambda }={\frac {-1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }(A-zI_{\mathfrak {B}})^{-1}\,dz}$ конечно.

Здесь ${\displaystyle I_{\mathfrak {B}}}$ это оператор идентификации в банаховом пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {C} }$ - гладкая простая замкнутая замкнутая кривая, ориентированная против часовой стрелки, ограничивающая открытую область ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ такой, что ${\displaystyle \lambda }$ единственная точка спектра ${\displaystyle A}$ в закрытии ${\displaystyle \Omega }$; то есть, ${\displaystyle \sigma (A)\cap {\overline {\Omega }}=\{\lambda \}.}$

Отношение к нормальным собственным значениям

Дискретный спектр ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)}$ совпадает с множеством нормальные собственные значения из ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)=\{{\mbox{normal eigenvalues of }}A\}.}$^[2][3][4]

Связь с изолированными собственными числами конечной алгебраической кратности

В общем, ранг проектора Рисса может быть больше, чем размер корневой линейный ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }}$ соответствующего собственного значения, и, в частности, можно иметь ${\displaystyle \mathrm {dim} \,{\mathfrak {L}}_{\lambda }<\infty }$, ${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$. Итак, есть следующее включение:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)\subset \{{\mbox{isolated points of the spectrum of }}A{\mbox{ with finite algebraic multiplicity}}\}.}$

В частности, для квазинильпотентный оператор

${\displaystyle Q:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\qquad Q:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (0,a_{1}/2,a_{2}/2^{2},a_{3}/2^{3},\dots ),}$

надо${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(Q)=\{0\}}$, ${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$,${\displaystyle \sigma (Q)=\{0\}}$,${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(Q)=\emptyset }$.

Связь с точечным спектром

Дискретный спектр ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)}$ оператора ${\displaystyle A}$ не следует путать с точечный спектр ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(A)}$, который определяется как набор собственные значения из ${\displaystyle A}$В то время как каждая точка дискретного спектра принадлежит точечному спектру,

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)\subset \sigma _{\mathrm {p} }(A),}$

обратное не всегда верно: точечный спектр не обязательно состоит из отдельных точек спектра, как это видно на примере оператор сдвига влево,${\displaystyle L:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\quad L:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\dots ).}$Для этого оператора точечный спектр - это единичный круг комплексной плоскости, спектр - это замыкание единичного круга, а дискретный спектр пуст:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(L)=\mathbb {D} _{1},\qquad \sigma (L)={\overline {\mathbb {D} _{1}}};\qquad \sigma _{\mathrm {disc} }(L)=\emptyset .}$

Смотрите также

• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Нормальное собственное значение
• Основной спектр
• Спектр оператора
• Резольвентный формализм
• Проектор Рисса
• Фредгольмов оператор
• Теория операторов

Рекомендации

1. Рид, М .; Саймон Б. (1978). Методы современной математической физики, т. IV. Анализ операторов. Academic Press [издательство Harcourt Brace Jovanovich Publishers], Нью-Йорк.
2. Gohberg, I.C; Крейн, М. Г. (1960). «Фундаментальные аспекты дефектных номеров, корневых чисел и индексов линейных операторов». Переводы Американского математического общества. 13: 185–264.
3. Gohberg, I.C; Крейн, М. Г. (1969). Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Американское математическое общество, Providence, R.I.
4. Boussaid, N .; Комеч, А. (2019). Нелинейное уравнение Дирака. Спектральная устойчивость уединенных волн. Американское математическое общество, Providence, R.I. ISBN  978-1-4704-4395-5.