Нормальное собственное значение - Normal eigenvalue

В математике, особенно в спектральная теория, собственное значение из замкнутый линейный оператор называется нормальный если пространство допускает разложение в прямую сумму конечномерного обобщенное собственное подпространство и инвариантное подпространство куда ${\displaystyle A-\lambda I}$ имеет ограниченный обратный. множество нормальных собственных значений совпадает с дискретный спектр.

Корневой линейный

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ быть Банахово пространство. В корневой линейный ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ линейного оператора ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ с доменом ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)}$ соответствующему собственному значению ${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$ определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\{x\in {\mathfrak {D}}(A):\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{j}x\in {\mathfrak {D}}(A)\,\forall j\in \mathbb {N} ,\,j\leq k;\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0\}\subset {\mathfrak {B}},}$

куда ${\displaystyle I_{\mathfrak {B}}}$ является тождественным оператором в ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.Этот набор представляет собой линейное многообразие но не обязательно векторное пространство, так как он не обязательно закрыт в ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Если это множество замкнуто (например, когда оно конечномерно), оно называется обобщенное собственное подпространство из ${\displaystyle A}$ соответствующему собственному значению ${\displaystyle \lambda }$.

Определение

An собственное значение ${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$ из замкнутый линейный оператор ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ в Банахово пространство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ с домен ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}}$ называется нормальный (в исходной терминологии, ${\displaystyle \lambda }$ соответствует нормально расщепляющему конечномерному корневому подпространству), если выполнены следующие два условия:

1. В алгебраическая кратность из ${\displaystyle \lambda }$ конечно: ${\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\infty }$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ это корневой линейный из ${\displaystyle A}$ соответствующему собственному значению ${\displaystyle \lambda }$;
2. Космос ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ можно разложить на прямую сумму ${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$ является инвариантное подпространство из ${\displaystyle A}$ в котором ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$ имеет ограниченный обратный.

То есть ограничение ${\displaystyle A_{2}}$ из ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$ оператор с доменом ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A_{2})={\mathfrak {N}}_{\lambda }\cap {\mathfrak {D}}(A)}$ и с диапазоном ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(A_{2}-\lambda I)\subset {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$ который имеет ограниченный обратный.^[1][2][3]

Эквивалентные определения нормальных собственных значений

Позволять ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ быть замкнутым линейным плотно определенный оператор в банаховом пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Следующие утверждения эквивалентны^[4](Теорема III.88):

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ - нормальное собственное значение;
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ это изолированная точка в ${\displaystyle \sigma (A)}$ и ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$ является полуфредгольм;
3. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ это изолированная точка в ${\displaystyle \sigma (A)}$ и ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$ является Фредхольм;
4. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ это изолированная точка в ${\displaystyle \sigma (A)}$ и ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$ является Фредхольм нулевого индекса;
5. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ это изолированная точка в ${\displaystyle \sigma (A)}$ и ранг соответствующего Проектор Рисса ${\displaystyle P_{\lambda }}$ конечно;
6. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ это изолированная точка в ${\displaystyle \sigma (A)}$, его алгебраическая кратность ${\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }}$ конечно, а диапазон значений ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$ является закрыто. (Гохберг – Крейн 1957, 1960, 1969).

Если ${\displaystyle \lambda }$ нормальное собственное значение, то ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }}$ совпадает с диапазоном проектора Рисса, ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(P_{\lambda })}$ (Гохберг – Крейн 1969).

Связь с дискретным спектром

Приведенная выше эквивалентность показывает, что набор нормальных собственных значений совпадает с дискретный спектр, определяемую как множество изолированных точек спектра с конечным рангом соответствующего проектора Рисса.^[5]

Разложение спектра несамосопряженных операторов

Спектр замкнутого оператора ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ в банаховом пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ можно разложить на объединение двух непересекающихся множеств, множества нормальных собственных значений и пятого типа существенный спектр:

${\displaystyle \sigma (A)=\{{\text{normal eigenvalues of}}\ A\}\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).}$

Смотрите также

• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Дискретный спектр (математика)
• Основной спектр
• Спектр оператора
• Резольвентный формализм
• Проектор Рисса
• Фредгольмов оператор
• Теория операторов

Рекомендации

1. Gohberg, I.C; Крейн, М. Г. (1957). "Основные положения дефектных чисел, корневых чисел и индексах линейных операторов" [Фундаментальные аспекты дефектных номеров, корневых чисел и индексов линейных операторов]. Успехи матем. Наук [Амер. Математика. Soc. Пер. (2)]. Новая серия. 12 (2(74)): 43–118.
2. Gohberg, I.C; Крейн, М. Г. (1960). «Фундаментальные аспекты дефектных номеров, корневых чисел и индексов линейных операторов». Переводы Американского математического общества. 13: 185–264.
3. Gohberg, I.C; Крейн, М. Г. (1969). Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Американское математическое общество, Providence, R.I.
4. Boussaid, N .; Комеч, А. (2019). Нелинейное уравнение Дирака. Спектральная устойчивость уединенных волн. Американское математическое общество, Providence, R.I. ISBN  978-1-4704-4395-5.
5. Рид, М .; Саймон Б. (1978). Методы современной математической физики, т. IV. Анализ операторов. Academic Press [издательство Harcourt Brace Jovanovich Publishers], Нью-Йорк.