Спектральная геометрия - Spectral geometry

Спектральная геометрия это поле в математика что касается отношений между геометрическими структурами коллекторы и спектры канонически определенных дифференциальные операторы. Дело о Оператор Лапласа – Бельтрами на закрыто Риманово многообразие изучался наиболее интенсивно, хотя другие Операторы Лапласа в дифференциальной геометрии также были исследованы. Эта область занимается двумя видами вопросов: прямыми задачами и обратными задачами.

Обратные задачи стремятся идентифицировать особенности геометрии из информации о собственные значения лапласиана. Один из первых результатов такого рода был связан с Герман Вейль кто использовал Дэвид Гильберт теория интегральное уравнение в 1911 г., чтобы показать, что объем ограниченной области в Евклидово пространство можно определить из асимптотическое поведение собственных значений для Краевая задача Дирихле из Оператор Лапласа. Этот вопрос обычно выражается как "Можно ли услышать форму барабана? ", популярная фраза из-за Марк Кац. Уточнение асимптотической формулы Вейля, полученное Плейжелем и Минакшисундарамом, дает ряд локальных спектральные инварианты с участием ковариантные дифференциации из тензор кривизны, с помощью которого можно установить спектральную жесткость для специального класса многообразий. Однако, как в примере, приведенном Джон Милнор говорит нам, что информации о собственных значениях недостаточно для определения изометрия класс многообразия (см. изоспектральный ). Общий и систематический метод благодаря Тошиказу Сунада породили настоящую кустарную промышленность таких примеров, проясняющих феномен изоспектральных многообразий.

Прямые задачи пытаются вывести поведение собственных значений риманова многообразия на основе знания геометрии. Решения прямых проблем типичны Чигер неравенство, которое устанавливает связь между первым положительным собственным значением и изопериметрическая константа (в Постоянная Чигера ). Многие версии неравенства были установлены со времен работы Чигера (автор: Р. Брукс и П. Бузер, например).

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Спектральная теория и ^*-алгебры
Базовые концепты	Инволюция / * - алгебра Банахова алгебра B * -алгебра C * -алгебра Некоммутативная топология Прогнозно-оценочная мера Спектр Спектр C * -алгебры Спектральный радиус Место оператора
Основные результаты	Теорема Гельфанда – Мазура. Теорема Гельфанда – Наймарка. Представительство Гельфанда Полярное разложение Разложение по сингулярным числам Спектральная теорема Спектральная теория нормальных C * -алгебр
Специальные элементы / операторы	Изоспектральный Нормальный оператор Эрмитский / Самосопряженный оператор Унитарный оператор Единица измерения
Спектр	Теорема Крейна – Рутмана. Нормальное собственное значение Спектр C * -алгебры Спектральный радиус Спектральная асимметрия Спектральный промежуток
Разложение спектра	(Непрерывный Точка Остаточный ) Примерная точка Сжатие Дискретный Спектральная абсцисса
Спектральная теорема	Функциональное исчисление Бореля Теорема мин-макс Прогнозно-оценочная мера Проектор Рисса Оснащенное гильбертово пространство Спектральная теорема Спектральная теория компактных операторов Спектральная теория нормальных C * -алгебр
Специальные алгебры	Аменабельная банахова алгебра С Примерная личность Банахова функциональная алгебра Дисковая алгебра Равномерная алгебра
Конечномерный	Граница Алон – Боппана Теорема Бауэра – Фике. Числовой диапазон Теорема Шура – Хорна
Обобщения	Спектр Дирака Основной спектр Псевдоспектр Пространство структуры (Шиловский рубеж )
Разное	Абстрактная индексная группа Когомологии банаховой алгебры Теорема факторизации Коэна – Хьюитта Расширения симметричных операторов Принцип ограничения поглощения Неограниченный оператор
Примеры	Винеровская алгебра
Приложения	Оператор почти Матье Теорема короны Услышав форму барабана (Собственное значение Дирихле ) Тепловое ядро Формула следа Кузнецова Слабая пара Функция прото-значения График Рамануджана Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. Спектральная геометрия Спектральный метод Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений Теория Штурма – Лиувилля Сверхсильное приближение Оператор трансфера Теория трансформации Закон Вейля

Спектральная геометрия - Spectral geometry

Смотрите также

Рекомендации