Оснащенное гильбертово пространство - Rigged Hilbert space

В математика, а оснащенное гильбертово пространство (Гельфанд тройной, вложенное гильбертово пространство, оборудованное гильбертово пространство) - конструкция, призванная связать распространение и квадратично интегрируемый аспекты функциональный анализ. Такие пространства были введены для изучения спектральная теория в широком смысле.^{[расплывчатый ]} Они объединяют 'связанное состояние ' (собственный вектор ) и 'непрерывный спектр ', в одном месте.

Мотивация

Такая функция, как каноническая гомоморфизм действительной прямой на комплексную плоскость

${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$

является собственная функция из дифференциальный оператор

${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$

на реальная линия р, но не квадратично интегрируемый для обычного Мера Бореля на р. Чтобы правильно рассматривать эту функцию как собственную функцию, необходимо каким-то образом выйти за строгие рамки Гильбертово пространство теория. Это было обеспечено аппаратом Распределения Шварца, а обобщенная собственная функция Теория была разработана в годы после 1950 г.

Подход функционального анализа

Концепция оснащенного гильбертова пространства помещает эту идею в абстрактную функционально-аналитическую структуру. Формально оснащенное гильбертово пространство состоит из Гильбертово пространство ЧАСвместе с подпространством Φ, несущим более тонкая топология, то есть такое, для которого естественное включение

${\displaystyle \Phi \subseteq H}$

непрерывно. это без потерь предположить, что Φ плотный в ЧАС для нормы Гильберта. Мы рассматриваем включение двойные пространства ЧАС^* в Φ^*. Последняя, ​​двойственная к Φ в своей топологии `` пробной функции '', реализуется как пространство распределений или обобщенных функций некоторого вида, а линейные функционалы на подпространстве Φ типа

${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$

за v в ЧАС точно представлены в виде распределений (поскольку мы предполагаем, что Φ плотно).

Теперь, применив Теорема Рисса о представлении мы можем идентифицировать ЧАС^* с ЧАС. Следовательно, определение оснащенное гильбертово пространство в терминах бутерброда:

${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$

Наиболее показательными примерами являются те, для которых Φ является ядерное пространство; этот комментарий является абстрактным выражением идеи, что Φ состоит из тестовых функций, а Φ * - из соответствующих распределения. Также простой пример дается Соболевские пространства: Здесь (в простейшем случае соболевских пространств на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)

${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$

где ${\displaystyle s>0}$.

Формальное определение (тройка Гельфанда)

А оснащенное гильбертово пространство пара (ЧАС, Φ) с ЧАС гильбертово пространство, Φ - плотное подпространство, такое что Φ задано топологическое векторное пространство структура, для которой карта включения я непрерывно.

Идентификация ЧАС с двойным пространством ЧАС^*, примыкающий к я это карта

${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$

Спаривание двойственности между Φ и Φ^* тогда совместим с внутренним продуктом на ЧАС, в том смысле, что:

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$

всякий раз, когда ${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$ и ${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$. В случае комплексных гильбертовых пространств мы используем эрмитово скалярное произведение; это будет комплексно линейно по ты (математическое соглашение) или v (соглашение физики) и сопряженно-линейное (комплексное антилинейное) по другой переменной.

Тройка ${\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$ часто называют «тройкой Гельфанда» (в честь математика Израиль Гельфанд ).

Отметим, что хотя Φ изоморфна Φ^* если оказывается, что Φ является гильбертовым пространством само по себе, этот изоморфизм нет такой же, как и состав включения я с прилегающим я*

${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$

использованная литература

• Ж.-П. Антуан, Квантовая механика за пределами гильбертова пространства (1996), появляясь в Необратимость и причинность, полугруппы и оснащенные гильбертовы пространства, Арно Бом, Хайнц-Дитрих Добнер, Петр Келановски, ред., Springer-Verlag, ISBN  3-540-64305-2. (Предоставляет обзор опроса.)
• Ж. Дьедонне, Éléments d'analyse VII (1978). (Смотрите параграфы 23.8 и 23.32.)
• И. М. Гельфанд и Н. Дж. Виленкин. Обобщенные функции, т. 4: Некоторые приложения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Academic Press, Нью-Йорк, 1964.
• К. Маурин, Обобщенные разложения по собственным функциям и унитарные представления топологических групп, Польское научное издательство, Варшава, 1968.
• Р. де ла Мадрид, "Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства", Кандидатская диссертация (2001).
• Р. де ла Мадрид, "Роль оснащенного гильбертова пространства в квантовой механике", Eur. J. Phys. 26, 287 (2005); Quant-ph / 0502053.
• Минлос, Р.А. (2001) [1994], "Rigged_Hilbert_space", Энциклопедия математики, EMS Press